大学物理第三章

第三章刚体的转动教学基本要求

一

理解描述刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.

二

理解力矩和转动惯量的概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

三理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律.

四掌握力矩的功和转动动能定理.掌握刚体转动时角动量守恒的条件.

本章重点1刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量；2力矩计算、转动定律的应用；3刚体转动动能、转动时的角动量的计算。

本章难点力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。一、何谓刚体在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。mimj二、刚体运动的两种基本形式平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动(即该直线方向保持不变)§3-1刚体的定轴转动理想模型刚体的平动过程bcabca刚体的平动过程bcab刚体的平动过程bca刚体的平动过程bca刚体的平动过程bca刚体的平动过程bca刚体的平动过程bca刚体的平动过程bca刚体的平动过程二、刚体运动的两种基本形式1)平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动mimjO选取参考点O，则：对（1）式求导：结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道-----质心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映物体平动的规律。2）转动:定轴转动和定点转动刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，称为刚体作定轴转动。OO’定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。刚体的定轴转动刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。3）刚体的一般运动一般运动：总可以看成是一个随质心的平动加上绕质心的转动组合。平动＋转动参考平面角位移角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动角速度矢量

方向:右手螺旋方向参考轴三、刚体定轴转动的角速度和角加速度角加速度1）每一质点均作圆周运动，转动平面为圆面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.rip在p点取一质点，OXY刚体的平动动能mimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMCmimjMC其平动动能应为各质元动能和。vc为质心的速度miMC§3-2转动动能转动惯量一、转动动能M刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小的质元任取一质元距转轴，则该质元动能：故刚体的动能：刚体绕定轴以角速度旋转ri质量不连续分布（离散）质量连续分布Mri转动惯量－质量不连续分布－质量连续分布I－转动惯量:物体转动惯性大小的量度－线分布λ＝m/ι－面分布σ＝m/S－体分布ρ＝m/V质量元:二、决定转动惯量的三因素hO质BAX3）刚体转轴的位置。（如细棒绕中心、绕一端）1）刚体的质量；2）刚体的质量分布；（如圆环与圆盘的不同）；例3-1求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：

转轴通过棒的中心o并与棒垂直

转轴通过棒的一端B并与棒垂直

转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直hO质BAX已知：L、m求：IO、IB、IA解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分割成许多质元dm.平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Ic有如下关系：为刚体的质量、为轴A与轴C之间的垂直距离MCA正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）

(z⊥x、y，xy轴在刚体平面内,坐标原点位置任意)Iz－绕垂直其平面的转轴的转动惯量，Ix，Iy－在转动平面内两个正交轴的转动惯量。例题3-2半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RR例3-3求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrdZZ§3-3力矩转动定律rpθ

矢量式：力矩：注意：单位：米.牛顿1）力必须在转动平面内：2）若力不在转动平面内，分解成一力矩3）若刚体受N个外力作用，力是连续的－力不连续注意:4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O例3-4如图所示,均匀细杆,长为L，在平面内以角速度ω绕端点转动，摩擦系数为μ求M摩擦力。rω解:质量线密度:质量元:所受摩擦力为:例3-5现有一圆盘在平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩（μ、m、R）。ω解:要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律——转动定律。二、转动定律O刚体可看成是由许多小质元组成，在p点取一质元，受力：外力，与成角合内力，与成角----①

P用左叉乘①式----②

对整个刚体，对②式求和－转动定律定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。或说明：1）定轴转动定律是瞬时对应关系；如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。Z

2）应是对同一轴而言的如何求力对轴的力矩呢？3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量度。因为：即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？T’例3-6一质量为m1的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘上,开始时静止,求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重物下降多高?(绳的质量与轴上的摩擦力不计).rm2m1m1grm2gTT’N已知:m1、m2、r求：a、T、h解：建立转动轴的正方向，加速度的正方向.T隔离物体分析力：a+

+2m1g(2m1+m2)=am1gt22m1+m2h=T=m1m2g2m1+m2求：解：以为研究对象。受力分析：例3-7质量分别为m1。m2的物体通过轻绳挂在质量为m3半径为的圆盘形滑轮上。求物体m1。m2运动的加速度以及绳子张力,（绳子质量不计）已知：抵消建立轴的正向：（力矩投影的正方向）m1m2例3-8一静止刚体受到一等于M0的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1，M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=

a,(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为I,试求刚体角速度变化的规律。M+M0M1已知：M0M1=–a

I|t=0=0求：

（t）=？解：1）以刚体为研究对象；2）分析所受力矩3）建立轴的正方向；4）列方程：I