《相对论百问》评介

《相对论百问》评介

1.关于测地线和世界线的长度在讨论中，有一个著名的双重孩子错误。这个错误是在讨论的开始时由法国理论家郎志万提出的。该佯谬说,有双胞胎兄弟A与B,A一直生活在地球上,B乘宇宙飞船到外星球去旅行,回来时B将比A年轻。如果飞船加速到接近光速,然后再返回,B将比A年轻许多,可能A已是老头子了,B还很年轻。这种貌似天方夜谭的事情,真是可能的吗?相对论回答说,这是可能的,而且是千真万确的,星际旅行者将比他留在地球上的双胞胎兄弟年轻。现在让我们来解释这一佯谬。我们每个人都可以看做三维空间中的一个点,静止的人,上下前后左右都固定,在三维坐标系中就是一个不动的点。三维空间再加上时间,就变成了四维时空。由于时间总在不停地流逝,任何物体和人都必须与时俱进,所以三维空间中的质点,在四维时空中一定会描出一条线。我们用一条横坐标轴代表三维空间,纵坐标代表时间,三维空间中静止的质点(例如人)在此四维时空中描出一条与时间轴(t轴)平行的直线。匀速运动的质点,由于位置随时间变化,将描出一条斜线。变速运动的质点将描出一条曲线。这种描述质点在四维时空中位置变化的曲线或直线,在相对论中称为世界线。其中做惯性运动的质点描出的世界线称为测地线(或短程线),在平直时空的惯性系中,测地线就是直线。相对论中,一个质点描出的世界线的长度是用伴随它运动的真实的钟所走的时间来参数化的。所以质点描出的世界线的长度,与它经历的真实时间成正比。换句话说,质点描出的世界线的长度就是它经历的真实时间,在相对论中称为该质点的固有时间。图1中直线a,就是留在地球上的双胞胎中的A描出的世界线,地球绕日的运动可以忽略不计,因此A的空间位置可近似看做不变,A描出的世界线可以近似看做测地线。曲线b是星际旅行者B描出的世界线。它的飞船先加速,接近外星球时减速,降落,然后再启动返回地球,先加速,接近地球后减速,最后降落,与他留在地球上的同胞兄弟相会。显然,曲线b不是测地线。我们已经讲过,相对论认为世界线a的长度就是留在地球上的兄弟A经历的时间,b的长度就是做星际旅行的兄弟B经历的时间,从图可以看出,a线与b线不一样长,也就是说,双胞胎兄弟二人经历了不同长度的时间。哪一个人经历的时间长呢?看图后有人可能会认为b比a长,看来B会比A老。这不是与我们前面说的矛盾吗?双生子佯谬不是说B比A年轻吗?怎么会反过来呢?其实,并没有反过来,你之所以认为b线比a线长,是犯了用欧氏几何的习惯来判断闵氏几何曲线长短的错误。我们通常用的几何是欧氏几何,斜边的平方等于两条直角边的平方和[(dι)2=(dx)2+(dy)2],所以两点之间以直线距离为最短。但在相对论中,四维时空的几何不是欧氏的,而是闵氏的,闵氏几何属于伪欧几何。在这张用闵氏几何表达的时空图中,斜边的平方等于两条直角边的平方差[(dτ)2=(dt)2-(dx)2,式中τ为固有时,即质点世界线的长度],两点之间以直线距离为最长。所以曲线b比直线a短,B经历的时间也就比A短。双胞胎中的星际旅行者经历的时间比地球上的同胞兄弟经历的时间短。因此返航会面时,B将比A年轻。也许有人会说,你的上述说法都是以地球为静止参考系的,飞船跑出去,又跑回来。如果以飞船为静止参考系,在飞船上的人看来,自己没有动,地球跑向远方,又跑回来。这样不就会得出相反的结论,认为地球上的A比飞船上的B年轻吗?这种说法是不对的。参考系确实可以任意选择,运动也是相对的,即速度是相对的,三维加速度(即我们通常谈论的相对加速度)也是相对的;但四维加速度(又称固有加速度,即亲历者自身感受到的、与惯性力成正比的加速度)是绝对的。这就是说,观测者A与B的固有加速度是否为零,有没有受到惯性力,是否在做惯性运动,是绝对的。双生子佯谬问题本质上是讨论图中P、Q两点之间有没有最长线,哪一条是最长线的问题。欧几里德空间中两点间一定有最短线,它就是连接这两点的直线。研究表明,闵可夫斯基时空中有因果关系的两点之间没有最短线,但有最长线,它就是做惯性运动的质点描出的测地线。具体到我们讨论的情况,就是图1中A描出的那条直线。如果换一个参考系,换一张图(例如上例中以飞船为参考系的情况),A描出的线形式上可能不是直线,但A做惯性运动,固有加速度为零,它描出的世界线一定是测地线。B的固有加速度不为零,不做惯性运动,它的世界线一定不是测地线。因此,究竟哪一条是测地线,这一点是绝对的,也就是说四维时空中世界线的长度是绝对的,它不随坐标变换、参考系或观测者的选择而改变。换句话说,时空几何是绝对的。所以,A描出的世界线最长,A经历的时间最长,A比B老。这个结论是绝对的,是时空几何决定的,与参考系的选择无关。2.星在正前方的光行差现象高速飞行的星际飞船上的宇航员会看到两种景象,一种是多普勒效应造成的,另一种是光行差效应造成的。由于多普勒效应,飞船前方的星体射来的光会发生蓝移,后方和侧面星体射来的光会发生红移。因此,宇航员觉得前方的星体颜色变蓝,后方的星体颜色变红。侧面的星体由于横向多普勒效应,也会略微变红。光行差效应会使宇航员觉得侧面的星体向正前方聚集,后面的星体移向自己的侧面。总之,正前方好像是一个“吸引”中心,随着飞船速度的增加,所有的星体都向那里集中,后方的星体越来越少。从地球起飞,正在远离太阳系的飞船上的宇航员,会觉得太阳系不在飞船的正后方,而在侧后方,飞船越接近光速,太阳系看起来越远离正后方,随着飞船速度的增加,太阳系从自己的侧面向侧前方移动。当飞船的速度非常接近光速时,他将看到太阳系处于自己的侧前方,飞船的后方已经没有任何星体了。飞船正在逃离太阳系,而在宇航员看来,太阳系不位于飞船的后方,而位于侧前方,这是多么奇妙的情景啊!图2显示,当宇宙飞船向北极星飞去时宇航员看到的景象。当飞船速度远小于光速时,宇航员看到的天象与地面上的人看到的相同,北极星位于正前方,北斗、仙后等星座围绕着它,南天的星座都看不到。当速度达到光速的一半时,飞行员前方的景象大大变化了,北极星周围的星座都在向中央趋近,挤到虚线范围以内,原来出现在飞船后面的天蝎座和天狼星(大犬座α星)也都进入前方的视野。当飞船速度加快到0.9c时,南天的十字座和老人星等(这些位于南天的星,生活在地球北半球的人原本看不到)也出现在前方了。飞船速度再进一步趋近光速时,整个南天的星系就都挤到前面去了。我们可用打雨伞的人和接雨水的桶来比喻天文学中的光行差现象。从中容易理解,在运动观测者看来,光线的来源方向会向自己的正前方聚集。所以,高速飞行的飞船上的宇航员,会观察到所有星系都向正前方汇聚的现象。上述多普勒效应和光行差现象与飞船发动机是否关闭,飞船是否做加速运动无关,只与飞船的运动速度有关。宇航员除去看到上述两种景象之外,还会感受到其他一些相对论效应,例如失重和双生子佯谬造成的效应。当飞船关闭发动机、加速度为零时,宇航员会处于完全失重的状态,这时飞船沿测地线飞行。当飞船加速时,宇航员将感受到惯性力,飞船转动时,他们将感受到惯性离心力和科里奥利力。由于等效原理,在飞船那样狭小的空间区域内,飞行员无法区分这些惯性效应造成的力和万有引力,因此加速运动和转动形成的惯性力,可以视做人造重力来加以利用。例如,在未来的星际航行中,可以制造人造重力来缓解长期失重给宇航员生理机能带来的不利影响。双生子佯谬效应与飞船和地球在四维时空中描出的世界线不同有关,而世界线的差别又与二者的加速度有关。宇航员感受到惯性力时,飞船的加速度是真加速度,这种加速度在物理上称为固有加速度,在数学上称为四维加速度,它是绝对的,它使飞船偏离测地线运动。我们通常说“加速运动是相对的”,指的是三维加速度。三维加速度是相对的。如果仅仅三维加速度不为零,四维加速度仍为零,则这种加速为“假加速”,它不产生惯性力。真假加速度的物理差别在于它是否伴随惯性力的出现。产生惯性力的加速运动,飞船不沿测地线运动,飞船上的钟变慢,一切时间过程都变慢,宇航员的生理代谢也变慢。地球上的人相对于飞船仅仅三维加速度不为零,四维加速度仍为零(重力效应很小,可以忽略),地球仍沿测地线运动,时钟不变慢,所以宇航员返回地球时,会比留在地球上的双胞胎兄弟年轻。以接近光速的速度做星际飞行的宇航员,返回时将明显感受到这一效应导致的结果。有人计算过双生子佯谬会造成多么明显的效应。如果飞船驶向距离我们4.3光年的比邻星,在飞行的前4个月中,火箭一直以3g的加速度加速(g是重力加速度),也就是说,宇航员处于超重状态,所受惯性力是地球重力的3倍,这是人长期可以承受的“重力”。加速结束时,飞船达到25×107m/s,这时关闭发动机,宇航员处于失重状态,做惯性运动。接近比邻星时再以3g减速。访问比邻星后再以同样的方式返回。地球上的人觉得飞船往返用了12年,宇航员则觉得整个旅行只用了7年,他比留在地球上的同胞兄弟年轻了5岁。再设想一艘去银河系中心旅行的用光子发动机发动的飞船。飞船先以2g加速度加速,一直加速,不关闭发动机,飞行一半距离后,再以2g加速度减速,到达银心后再以同样方式返回地球。计算表明,地球上的人觉得飞船返回时已过了6万年,但飞船上的飞行员则觉得只过了40年。他返航了,但他认识的人都早已作古成为了历史人物。地球上的人将热烈欢迎这位生于6万年前的祖宗凯旋归来。3.广义相对论的基本方程广义相对论,实际上是一个关于时间、空间和引力的理论。狭义相对论认为时间、空间是一个整体(四维时空),能量、动量是一个整体(四维动量),但没有指出时间一空间与能量一动量之间的关系。广义相对论进一步指出了这一关系,认为能量一动量的存在(也就是物质的存在),会使四维时空发生弯曲!万有引力并不是真正的力,而是时空弯曲的表现!如果物质消失,时空就回到平直状态。爱因斯坦给出了广义相对论的基本方程,这个方程被称为“爱因斯坦场方程”:式中常数k与万有引力常数G有关:其中c是光速。爱因斯坦场方程是张量方程,式中带有下角标字母的Rμv、Tμv、gμv以及R都是张量。爱因斯坦之所以采用张量来表述广义相对论,是因为张量方程在坐标变换下形式不变,他认为这符合自己的广义相对性原理:物理规律不依赖于坐标系的选择。我们不想在此处做过于专门的讨论,感兴趣的读者可参看任何一本介绍广义相对论的书籍。用爱因斯坦场方程,可以精确地算出,能量一动量的存在如何影响时空的弯曲。该方程左端是描述时空曲率的量,右端是描述能量一动量的量:实际上,这是由10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组,非常难解。广义相对论认为,质点在万有引力作用下的运动(例如地球上的自由落体;行星的绕日运动等),是弯曲时空中的自由运动——惯性运动。它们在时空中描出的曲线,虽然不是直线,却是直线在弯曲时空中的推广——“测地线”,粗略地说,“测地线”就是“短程线”,即两点之间的最短线或最长线(注意,相对论中把最短线和最长线都称为“短程线”)。当时空恢复平直时,测地线就成为通常的直线。需要说明的是,在通常的平直空间或正曲率空间中,两点之间存在最短线。但在相对论的四维时空中,两点之间有的有最短线,有的却没有最短线,只有最长线。例如自由质点描出的测地线,实际上是两点间最长的世界线,而不是最短线。双生子佯谬问题中的直线就是测地线,是两点间的最长线。也就是说,在两个确定的时空点之间运动的一群人,其中处于惯性运动状态的那个人描出的世界线最长。由于世界线的长度就是他经历的真实时间,所以他经历的时间也就最长。爱因斯坦采用数学家们已经得到的测地线方程,作为决定弯曲时空中自由质点如何运动的“运动方程”:方程中s是测地线的弧长,称为“联络”,描述引力场强或惯性场强。场方程表示“物质告诉时空如何弯曲”,运动方程则表示“时空告诉物质如何运动”。爱因斯坦初建广义相对论时,认为广义相对论的基本方程有两个:场方程(1)和运动方程(3)。后来,爱因斯坦和福克分别证明,从场方程可以推出运动方程,因此,广义相对论的基本方程只有一个——场方程(1)。另外,在他们的证明中还得到一个值得注意的副产品:场方程中作为场源的质量,在推出的运动方程中,同时出现在惯性质量和引力质量两个位置上。这告诉我们,在广义相对论的理论框架中,引力质量和惯性质量是同一个东西。严格而美妙的数学物理体系,高深难懂的黎曼几何和张量分析,精密神奇的实验验证,再加上爱因斯坦发表狭义相对论和光子说的巨大影响,使广义相对论很快就得到了科学界的承认,爱因斯坦的威望也达到了一生中的顶峰。4.宇宙创生前存在时间和空间“大爆炸”这一名称虽然很能激起人们的兴趣,但也带来不少误解。例如,一些人以为宇宙的创生就像一包炸药爆炸,以为宇宙创生前时间和空间就已经存在,这包炸药原本存在于空间的一个小区域内,那里就是爆炸的中心。爆炸区内压强大,爆炸区外压强小,压强差促使爆炸的生成物在空间中扩散开来,成为膨胀的宇宙。这一理解是错误的(图3)。正确的理解是:宇宙创生前没有时间也没有空间。时空是和物质一起诞生的。宇宙膨胀是整个三维空间的膨胀,爆炸和膨胀并非发生在空间的某个局部区域,而是发生在空间的每一点。爆炸和膨胀没有中心,或者说空间的每一点都是爆炸和膨胀的中心(处于空间任何一点的观测者都会看到周围的星系在远离自己)。空间各点的压强都一样,不存在压强差。宇宙膨胀不是压强差导致的物质在空间中的扩散,而是纯粹的三维空间的膨胀。空间与物质同时在爆炸中创生,空间膨胀初期,各物质团(例如各星系)的间距随之膨胀。但相邻星系间的引力阻止它们远离,从而形成一个个星系团(群)。星系团内部各星系,既受到空间膨胀的作用而有相互远离的倾向,又受到万有引力的吸引作用而有相互趋近的倾向,最终达到一个平衡状态。这时星系团保持一定大小,本身不再膨胀。但空间仍在膨胀,导致各星系团远离,展现出宇宙学红移(图4)。应该再次强调,处于膨胀宇宙中任何一个地点的观测者,都会看到周围的星系团在远离自己。图5是一个示意图。气球的表面好比一个二维空间的宇宙,上面的墨水点表示许多星系。当气球膨胀时,任何一个墨水点上的生物都会看到其他的墨水点(星系)在远离自己。5.广义相对论导致的引力红移近年来的研究表明,哈勃定律所描述的宇宙学红移本质上并非多普勒红移。多普勒效应反映的是,在一个不随时间变化的空间中,光源相对于观测者运动所造成的光波波长变化。而宇宙学红移是由于空间本身膨胀所造成的光波波长增长(图6)。在多普勒效应中,从不同角度看,光源发出的光各向异性(波长变化不一样)。例如A是光源,B、C是两个观测者,光源A向B运动。观测者C看到红移,B则看到蓝移。与多普勒效应不同,空间膨胀效应造成的光波波长变化是各向同性的,无论观测者B还是C,都看到光源A在远离自己,所以都看到光波波长发生红移。多普勒效应中,光在脱离光源时波长就已发生了变化,在传播途中不再进一步变化。而宇宙学红移情况,光波脱离光源时波长尚未发生变化,只是在传播过程中,空间膨胀把光波波长拉伸才逐渐产生了变化。所以宇宙学红移本质上不是多普勒红移,而是广义相对论导致的引力红移。空间膨胀同时导致了“宇宙学红移”和“光源与观测者远离”这两个效应,从而给出了与多普勒效应相似的结果,得出了哈勃定律。6.退行速度c宇宙学红移表明河外星系在远离我们。这种远离是三维空间膨胀造成的,由于膨胀是空间均匀的,即空间各点的膨胀率相同,离我们越远的星系,退行速度就越大。这一点很好理解。打个比方,假如空间长度的相对膨胀率为每秒0.1,那么距观测者104km的天体在1s内将退行103km的距离,也就是说此天体1s后将距我们1.1×104km,所以它的退行速度为103km/s。距观测者106km的天体,1s内将退行105km,成为距我们1.1×106km的天体,其退行速度为105km/s。所以越远的天体退行速度越大。研究表明,河外星系的退行速度可以达到甚至超过光速。有一个距离称为“哈勃距离”:式中c为真空中的光速,H为哈勃常数。处在哈勃距