基于分段幂函数插值的经验模态分解算法

基于分段幂函数插值的经验模态分解算法

包络线生成和两端延拓算法hlt-qill-qill是一种用于分析非线性和非稳定信号的新信号分析方法。它在测量机械误差、声波和信号治理方面发挥着良好的作用。EMD算法是HHT的核心算法之一,用来将信号分解为一组性能较好的固有模态函数(IMF),以便进行Hilbert变换。目前,包络线生成和端点延拓是EMD算法研究的热点问题。这是因为信号的EMD分解本质上是通过求包络线对信号不断进行移动平均的迭代过程,包络线的不准确将导致信号分解的不完全。求包络线时在信号端点处易产生飞翼现象,即在端点处会产生过大或过小振幅,若不先对信号进行端点延拓,EMD分解将无法继续。目前,常见的包络线生成算法为三次样条插值算法。研究表明,三次样条插值算法可能产生过冲现象,影响EMD分解结果的准确性,文献提出以分段幂函数插值算法代替三次样条插值算法,但并未从理论上解释其原因。本文结合文献和文献中的一种改进的端点延拓算法得到了一种新的EMD算法,并通过分析分段幂函数插值算法的误差估计,从数学角度解释了这种插值算法优于已有的算法。最后,通过一个股票模型的仿真实验表明:本文的EMD算法分解信号更完全。1h0t-3确定约束束的相关计算EMD算法的目的在于将性能不好的信号分解为一组性能较好的IMFs,这里IMF须满足如下两个性质:(1)信号的极值点(极大值或极小值)数目和过零点数目相等或最多相差一个;(2)由局部极大值构成的上包络线和由局部极小值构成的下包络线的平均值为零。EMD算法的计算步骤可叙述如下:步骤1:计算出信号s(t)所有的局部极值点。步骤2:求所有的极大值点构成的上包络线和所有的极小值点构成的下包络线,分别记为u0(t)和v0(t)。步骤3:记上、下包络线的均值为并记信号与上、下包络线的均值的差为步骤4:判断h0(t)是否满足IMF的上述两条性质。若满足,则h0(t)为IMF;否则,记h0(t)为s(t)重复步骤1-步骤3,直至得到一个IMF,记为c1(t)。步骤5:记r1(t)=s(t)-c1(t)为新的待分析信号重复步骤1-步骤4,以得到第二个IMF,记为c2(x),此时余项r2(t)=r1(t)-c2(t)。重复上述步骤,直至得到的余项rn(t)是一个单调信号或rn(t)的值小于预先给定的阈值,分解结束。如此,最终可得到n个IMFs,c1(x),…,cn(x),余项为rn(x),因此,原始信号s(t)可表示为2分段物插值算法的误差分析EMD算法的关键是求上、下包络线,包络线生成不准确将导致信号的EMD分解不完全。目前,常用的求包络线算法均存在着一些不足,如:三次样条插值算法要求信号足够光滑,否则易造成过冲现象,即插值得到的函数可能越过了一些原本应该是极值点的信号点;而对光滑性要求较低的Akima插值算法,得到的曲线容易出现明显的折点。为此,本文采用分段幂函数插值算法,叙述如下:记所有的插值点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn),插值函数为y=f(x)。对任意3个相邻点Pi-1(xi-1,yi-1),Pi(xi,yi),Pi+1(xi+1,yi+1)进行幂函数插值:当x≤xi时,插值函数fi(x)满足当x≥xi时,插值函数fi(x)满足用fi(x),fi+1(x)重新插值以得到Pi(xi,yi),Pi+1(xi+1,yi+1)之间的分段幂函数插值曲线fi,i+1(x):fi,i+1(x)=xxii++11--xxifi(x)+xix+1--xixifi+1(x)(6)下面,分析分段幂函数插值算法的误差精度。定理设f(x)∈C1[a,b],S(x)为满足(6)的分段幂函数,si(x)和si+1(x)满足(4)-(5)。令h=max{xi+1-xi:1≤i≤n},则有估计式设f(xi-1)=yi-1,f(xi)=yi,f(xi+1)=yi+1。则:计算f(x)-si(x):其中,xi≤ξ1≤x,xi-1≤ξ2≤xi,xi-1≤ξ3≤xi+1。由此可得估计式推论分段幂函数插值算法的误差范围随β的增大而减小,且误差的最大范围为[Mh2/2,5Mh2/2]。由定理可知:分段幂函数的光滑性介于三次样条插值函数和Akima插值函数之间,生成包络线时,不易产生过冲现象,也不会出现明显折点。也就是说,分段幂函数插值算法适合生成非线性、非平稳信号的包络线。HHT的提出者HuangNE曾指出,根据端点信号的振幅和频率,可以对原始信号分别加两个特征波进行端点延拓,但没有给出具体的算法。为此,本文采用文献提出的端点延拓算法在对信号进行端点延拓,即,将信号的端点值作为第一个延拓点的值,而离该端点最近的极值点的值作为第二个延拓点的值,然后进行插值,生成包络线,进行EMD分解。3低频部分的fs-hhd分析结果本节,我们对一个股票模型进行仿真实验,实验数据来自于上海石化(600688)从2000年7月27日到2001年3月22日,共154个交易日的收盘价。分别用本文的算法和文的算法对该信号进行分解,结果如图1所示。其中,(a)和(b)分别为本文和文分解得到的IMFs。可以看出,采用本文的算法,原始信号被分解为10个IMFs,采用文的算法原始信号被分解为6个IMFs,且(a)中的c10比(b)中的c6单调趋势更明显,EMD分解更完全。对低频部分的IMFs进行HHT分析,以代替股票中常用的移动平均方法,整理分析结果,可以得到该股票的交易日收盘价,见表1。分析表1知,采用本文的算法和文的算法分析该股票模型均可得到三次交易机会,其中A、C、E为154个交易日的买入点,B、D、F为卖出点。采用本文的算法得到的三次买入卖出差价分别为:AB两点0.44元,CD两点0.33元,EF两点0.42元,比文的得到三个买入卖出差价分别高0.14元、0元和0.01元。可见,采用本文的算法分析该股票得到了更大的买入卖出差价,则股民的收益更大。这是由于本文用分段幂函数插值算法代替三次样条插值算法生成包络线,求得的包络线更准确,使对该股票信号的EMD分解更完全,得到的低频IMFs更准确地反映了该股票的变化趋势。仿真结果与理论分析结果相一致。4算法的有效性分析本文研究了Hilbert-H