河南省城镇体系空间结构的多分形特征及其与水系的分维关系

河南省城镇体系空间结构的多分形特征及其与水系的分维关系

在国外科学家研究城市分隔结构和形状的过程中，中国地理工作者对城市体系进行了更多的微分理论探讨。但是,城市体系作为复杂的地理系统,仅用简单分形进行描述是不够的——许多重要的地理信息不能得到有效反映,如果能够证明城市体系具有多分形(multi-fractals)特征,则可以借助多分维谱刻画其空间复杂性。在研究城市等级体系分形性质的时候,我们发现,城市的位序-规模分布在一定时空条件下可能发育多重分形结构。考虑到城市等级体系与空间结构的数理关系,自然可推断:城市体系的空间结构在一定条件下也会具有多分形特征。另一方面,早在1960年就有人发现中心地与河流具有相似的结构;进一步研究表明,水系构成与城市体系的等级结构具有完全相同的数学模型。这就启发另一个推断,城市体系空间结构与水系存在一定的分维关系。多分形测度探讨的是几何支体(geometricsupport)上某种量的分布,其支体可以是普通平面、立体或球面乃至分形体自身。多分形与简单分形的主要区别在于标度性质与方向有关。地理现象绝大多数是非均匀和各向异性的,用简单分形描述只能反映平均性质,而无法揭示系统的全部数理特征。采用多分形测度或者维数的连续谱,不仅可以较全面的反映地理系统的空间复杂性,而且可以了解系统的发育历史和进化程度。为了验证上述理论推想,本文将以河南省为研究区,探讨城市体系空间结构的多分维特征。河南省的城市发育历史悠久,城市空间分布蕴涵大量的时空信息,揭示这些信息对我们发展地理学理论具有重要意义,也对河南省的城市体系优化具有现实的实践价值。1理论和方法1.1多分形的广义维dq首先从分形思想出发给出刻画城市体系空间结构的多分形模型。考虑在d=2维的欧式空间中,城市呈现某种概率分布,可将区域空间划分成边长为r的2维网格,假定城市群点(population)进入每个网格中的概率为Pi,则对于任意的正数q(q≠1),从Renyi信息熵出发,可定义城市空间分布的q阶信息量为Iq(r)=11−qlog∑Piq(1)Ιq(r)=11-qlog∑Ρiq(1)如果泛函方程Iq(λr)∝λ-σIq(r)成立(这里λ为尺度比,σ为标度指数),则城市体系的空间结构是自相似的,从而Iq(r)∝r−σ(2)Ιq(r)∝r-σ(2)令σ=Dq,则可得广义维数表达式为Dq=limr→0Iq(r)log(1/r)(3)Dq=limr→0Ιq(r)log(1/r)(3)可以证明,当q=0时,Dq=D0为容量维,即Hausdorff维数;当q=1时,Dq=D1为信息维;当q=2时,Dq=D2为关联维。在理论上,q可取任意实数,即有q∈(-∞,+∞),这样,由式(3)便可得到所谓的多分维谱。然后借助关系τ(q)=Dq(1−q)(4)τ(q)=Dq(1-q)(4)可以结算多分形的质量指数τ(q)。广义维Dq和q阶矩的标度指数τ(q)是我们刻画城市体系多重分形的第一套参量,它们可以从整体上描述多重分形结构,但不能反映系统的局部特征。为了描述多重分形体的细节变化,有必要引入另外一套参量,即非均匀标度指数即Lipschitz-Hölder指数α(q)及其维数分布函数f(α),这些参数可以由Legendre变换给出α(q)=−dτ(q)dq=ddq[(q−1)Dq](5)f[α(q)]=qα(q)+τ(q)=qα(q)+(1−q)Dq(6)α(q)=-dτ(q)dq=ddq[(q-1)Dq](5)f[α(q)]=qα(q)+τ(q)=qα(q)+(1-q)Dq(6)式(5)、式(6)是我们刻画城市体系多重分形的第二套参量。为了研究方便,将城镇体系视为dE=2维的欧氏空间中的群点集合,其拓扑维数dT=0,可以想见,如果它们是多分形,则其多分维谱Dq必然变化于0～2之间,即有D-∞≤2,D+∞≥0;相应地,奇异谱f(α)变化于0～D0之间。分维D的大小反映系统要素分布的均衡程度,D值越大城镇分布越均匀;反之则分布越集中。改变矩的阶次q,从某种意义上讲,相当于改变城镇系统的分辨率:q值增大,相应的分辨率也随之增大,从而系统的不均匀性显示得更为清晰。另一方面,D-∞对应于α(q)的最大值,表征城镇体系测度最为分散的区域;D+∞对应于α(q)的最小值,表征城镇体系测度最为集中的区域。借助多分形的宏观描述参量Dq、τ(q)和微观刻画参量α(q)、f(α)以及Legendre变换关系可对城镇体系空间结构的分形特征进行从整体到细节的精致分析。1.2城市体系与城市水系有同一点或无约由于地形、水系等都具有分形性质,城镇体系可被看作分形支体上的复合分形,其空间结构在一定时空范围内可能发育出多重分形结构。城市体系与水系的关系本质上是一种人地关系,建立城市—水系关系的理论和现实依据如下:第一,从发生学的角度看来,绝大多数城市都不是短期内暴发形成的,它们的漫长发育历程通常与水资源的空间分布具有内在联系。第二,从现实状况看,即便是没有多少文化知识的农民也具有这样一个经验性常识:城市的发展离不开河流或湖泊,否则就不可能有良好的发展前景。第三,从现已发现的理论规律看来,中心地和城市体系都与水系具有相同的数学模型。如果说城市体系与水系之间不存在某种关系,这种数理规律就很难解释。现在我们感兴趣的是城市体系与分形支体的关系。由于分形城市体系的支体是一个外延较广的概念,本文将集中讨论城市与水系的联系。综观世界城市分布,城市发展必然依赖某种水源,江河是城市寄托的主要水体。正因为如此,水系才与城市体系具有相似的中心地结构。现已证明,城市等级体系与水系分形具有相同的数学模型,本文将给出城市体系与水系空间结构的分维关系。由于城市依赖于水系,而水系并不依赖于城市,假定用同一套网格对区域城市和水系进行标度测量,必然有Nu(r)≤Ns(r)(7)Νu(r)≤Νs(r)(7)式中,Nu(r)为在尺度r下的城镇占据的网格数目,Ns(r)为同一尺度下水系占据的网格数目。上式的地理意义是城市与水系的不对称关系:有城市的地方或大或小都会具有某种河流支持,但有河流的地方未必有城市。根据Hausdorff维数公式可知Du=−logNu(r)logr≤Ds=logNs(r)logr(8)Du=-logΝu(r)logr≤Ds=logΝs(r)logr(8)即原则上要求城市体系的分维不得大于水系的分维,这个概念对发展人地关系理论和建设城市体系的空间优化方法具有一定的理论意义。式(8)只是一个理论推论,如果得到实验支持,则其正确性将被肯定——这个规律下文将予以证实。2计算方法和结果2.1基于-权重法的城市体系空间结构的多分维谱本文将以河南省城镇体系为实证对象,研究区的范围限于河南境内,城市等级的门槛以县级城镇为界。从理论上讲,由于分形体的自相似性,研究区范围没有严格的规定。但是,从可测性的角度看,研究区范围不宜太大,太大容易受到地图投影变形的较大影响,以致计算结果的可比性降低;研究范围也不能太小,太小则分析样本不足,系统的内在规律难以体现。另一方面,由于城市规模分布的无标度性,城市等级体系的下界可以根据研究目标确定。想象地图信息资料的分辨率(比例尺),本文将取县级城镇为规模(等级)分界的下限。这样,研究区范围内共有128个城镇,即取N=128(包括郑州市的某些远离中心市的“区”在内)。如果直接采用第1节的有关方程计算城市体系空间结构的多分维谱非常麻烦,为了简明起见,我们引用μ-权重法计算Lipschitz-Hölder指数α(q)及其支集的分维f(α);进而通过Legendre变换求出q阶矩质量指数τ(q)和广义维数Dq。2.2信息维数计算法首先借助地图信息资料提取河南省城市分布的空间数据。选择一个合适的矩形覆盖研究区内的城市,矩形的范围分别以河南省域的东、西、南、北的极点为限。将矩形区的各边分成k等份,则其化为k2个矩形子区,每个子区的边长可以表作r=1/k。首先统计包含城镇的网格数,记为N(k)或N(r);再统计每个子区出现的城镇数目,记为Nij(k)或Nij(r),这里i、j表示子区所在的行、列编号(i、j=1,2,…,k)。按二倍数改变k值,即取等比数列k=2n,这里n=0,1,2,…(n的上限以Nij(k)≡1为判据),可得到不同的N(k)或N(r)。基于k值分析和r值计算,分维数值完全一样,为简明起见,本文借助点列[k,N(k)]计算维数。实验表明,对于本例而言,当n=7时,Nij(k)=1,这意味着n的上限为7。空间数据的提取结果列于表1。根据表1中的数据,首先计算容量维D0和信息维D1,以确定系统是否具有多分形性态。将点列[k,N(k)]标绘于log-log坐标图中(取以2底的对数),发现点列分布具有局部对数线性性质,即有无标度区的出现,无标度区的范围为k=21～24,其直线段的斜率便是容量维(图1)。为精确起见,可采用最小二乘技术计算维数。式(1)中,令q=0,可得Iq(r)=logN(r),式(2)化为D0∝logN(r)log(1/r)=logN(k)logk(9)D0∝logΝ(r)log(1/r)=logΝ(k)logk(9)利用上式对无标度区内的点列进行回归运算,得到D0=1.509,测定系数R2=0.993。采用相似的方法,可以计算信息维数。在式(1)中,令q=1,借助l′Hospital法则可将Renyi熵化作Shannon信息量公式。根据本文的情况再令Pij(k)=Nij(k)/N(注意这N=128为样本总数),可将信息量表作I(r)=−∑ik∑jkPij(r)logPij(r)(10)Ι(r)=-∑ik∑jkΡij(r)logΡij(r)(10)式中双求和只须对Pij≠0的小矩形区进行。改变k,可得不同的Pij(k)或Pij(r)值,从而得到不同I(r)值(表1)。将点列[log2(l/r),I(r)]绘成坐标图,发现曲线中存在无标度区间,区间内直线段的斜率便是信息维(图1)。计算结果为D1=1.503测定系数R2=0.998。计算结果显示,河南省城市体系虽然发育了明确的分形结构,但容量维与信息维的数值没有显著差异,即D0≈D1。因此,在图1所示的标度区范围内,河南省城市体系的空间结构尚未发育多重分形,只具备简单分形特征。然而,根据城市等级体系的研究经验,地理分形是演化的分形,多分形是在简单分形的基础上进化而来的。因此,多分形发育的无标度区可能较之与简单分形更为狭窄。为了验证这一猜想,我们缩小无标度区的范围至k=21～23,这时计算的容量维为D0=1.642,信息维为D1=1.552。显然D0与D1具有明显差异。借助μ-权重法不难算出奇异性指数α(q)及其分维分布参数f(α);然后利用Legendre变换容易得到质量指数τ(q);至于广义维数Dq,既可以通过式(1)～(3)直接计算,也可以运用Legendre变换在α(q)和f(α)值的基础上间接求取(表2)。3关于问题的讨论3.1对多分形结构的对称破缺分维测算结果表明,在较大的标度范围内(r=2-1～2-4,包含15个等差序列点),河南省城镇体系是一种简单的分形系统;但是,在较小的标度范围内(r=2-1～2-3,包含7个等差序列点),河南省城市体系具有奇异性质,已经在一定程度上发育了复杂分形结构。简单分形的标度范围远较多重分形宽阔这一事实暗示:城市体系空间结构的单分形演化先于多分形的发育,而多重分形是在简单分形的基础上发育出来的,这个发现与关于城市体系等级结构的分形研究结论完全一致。最为引人注目的现象是河南省城市体系的多分维和奇异谱,有关计算结果给出来大量关于河南城市演化的时空信息。从图2、图3等可以看到,城市体系空间结构的多分维谱已经形成较为优美的对称图式,但当矩的阶次达到一定临界尺度以后发生了明显的对称破缺。从表2、图2和图3可见,对称破缺的q临界值为qc=3,当q<-3时,刻画多分维的许多参量不能收敛。具体说来,主要问题如下:第一,多分维谱的数值理当介于1～2之间,但是,当q≤-6时,Dq>2,即多分维“溢出”了分形嵌入空间(表2,图2a);第二,Lipschitz-Hölder指数α(q)曲线理应单减,但是,当q<-3时,曲线失去了单调性,从而奇对称性质也遭到一定程度的破坏(图2c)。第三,标度指数α(q)支集的分维f[α(q)]形成的奇异谱线在q<-3时破坏了偶对称规则(图2d)。第四,f[α(q)]随α(q)变化的单峰曲线在q<-3时也失去了对称规则,呈现不正常的向上扬起(图3)。总之,当q<-3时,刻画多分维的参量数值大多发生了畸变。撇开数值,仅从图2a-b似乎看不出什么问题,但图2c-d和图3揭示的多分形结构对称破缺显而易见。将Lipschitz-Hölder指数α(q)及其支集的维数f(α)随q变化的曲线与理论推论比较,可以明显地看出系统在参数q∈(-∞,-3)时出现异常。这种现象有两种可能的解释:一是河南省城市体系的多分形发育不够成熟,二是分形结构发生某种程度的退化。我们的判断是:河南省城市体系的分形结构目前尚且不够进化,随着城市系统的自组织演化,多分形结构的对称规律必将得以重建。河南省城市体系空间结构的多分形在q<0时发生对称破缺,而在q>0时一切正常,其地理意义值得探讨。如前所述,D-∞对应于分形测度最分散的区域,据表2、图2及图3可以想见,在研究区内的城镇聚集地带,系统的分形结构发育;在远离聚集区的地带,分形结构不够健全;在历史悠久的城市化区域,城市体系分形结构发育,在演化历史较短的区域,城市体系分形不够健全。由于中原地区的城镇在历史上是以开封和洛阳为核心向周围扩散发育的,尽管今天郑州是区域的核心,但从分形几何的角度看来,它仍不在地域的中心地位。在这里可以看到城市体系分形发育的时空对应关系:城市演化历史悠久的区域也是分形测度集中的区域,分形测定分散的区域实则城市发育历史较短的区域。从理论上讲,多分维谱的标度断裂可能意味着城镇体系时空演化的某种相变,但有关机制有待深入探讨。我们感兴趣的是:城市体系的分形结构不仅与演化历史有关,还应该与分形支体有关,城市与环境的关系是我们下一步将要讨论的主题。3.2关于城市体系多分维的预测前面提到,城镇体系是发育在地形、水系等分形支体上的多重分形,其空间结构与自然环境理当相关:“自然地理条件如地质地貌、气候水文、土壤,植被首先作为人类生存环境通过影响人口分布而影响城市的形成发展。”在城市与环境的众多关系特征之中,临水性是城市分布的普遍规律。也许有人会提出异议:“如果说在区域发展水平很低的阶段,城镇的分布受自然条件控制比较大的话,目前城市特别是新城市的形成与发展应该说受经济与社会因素影响更大。”我们并不反对社会经济因素对城市形成与发展的巨大影响,但不能因此而否定水系对现代城市体系扩展的关键性作用,巴西北部地区的城市化进程就是最好的例证。由于经济的全球化效应,从1950年代开始,巴西北部的亚马孙(Amazon)河流域城市化进程加快;到1991年的时候,城市化水平由1960年的30%左右上升到60%上下,5000居民以上的城镇也由1960年22所骤增到133所。令人惊讶的是,考察这些城镇可以发现,这30年间新增的100多座城镇主要是沿着亚马孙水系从沿海向内陆扩展开来的。巴西的经济发展水平当然不是太低,至少不低于本文的研究区——中国河南。其实,中国著名经济地理学家陆大道先生在创立社会经济点-轴系统理论的时候就曾发现,海岸、江河和交通道路是轴带发育的重要依托,而轴带实则城市体系空间发育的能量集散廊道。河流通常具有交通和供水双重职能,至少具备其中之一。在中国北部城市普遍缺水的今天,无视水系的巨大作用是不符合城市化过程的成本-效益原则的。现已证明,水系构成具有分形特征,而城镇体系与水系具有相似的分形结构,二者的空间结构维数比较接近,水系的分维应当大于等于相同区域内城镇体系的维数。为了验证这一猜想,我们利用计算城市体系空间结构维数的网格体系在相同的地图资料上提取空间数据,计算河南省河流分布的分维数值。结果得到D0=1.689,R2=0.997(图4)。显然,水系的容量维(1.689)大于城市体系的容量维(1.642);如果扩大或缩小标度范围,得到的分维数值将会更大。计算结果与理论判断完全一致,式(8)表征的数理关系得到证实:水系的分维大于城市体系,或者说城市体系的分维被水系的分维“包容”——这决不是一种现象,而是一种严格的地理规则,否则城市体系与自然环境的关系不能协调。作为支体的主要组成,水系的分形测度影响城市体系的分形测度。在水系分形测度集中的地方,城市体系的分形测定也将发育;在水系分形测定分散的地方,城市体系的分形测度将会发育缓慢。城市体系多分维谱的对称破缺可能与水系的构成具有一定的动力关系。虽然我们目前不能给出水系与城市体系多分维关系的严格模型,但至少可以得到如下两点推论:其一,城市体系的分维不宜高于水系的分维,否则将会违背空间优化原则:一方面一些水资源不能有效利用,而另一方面一些城市将会水源短缺。其二,由于城市体系的发展总体上以水系的结构为模范,城市体系多分维的对称性将会逐渐加强,直到与水系的多分维谱趋于一致。但是,如果一个区域的水系分形测度对称破缺,城市体系的进化将不能得到环境支体的有效支持。因此,城市体系的建设空间优化必须对河流的分布有所选择,而不能无视自然水体的天然格局。从这个意义上讲,大规模的调水工程可能劳民伤财而事倍功半。其三,从演化的角度看来,城市体系的分维呈波动上升趋势,而水系分布的维数长期看来是降低的。考虑到Shannon信息熵与Hausdorff维数的等价性,我们自然联想到水系的熵的变化与城市体系的熵的变化的关系:自然地理系统的热力学熵的变化方向与人文地理系统正好相反:在自然地理系统熵增的同时,人文地理系统发生熵减。在这个过程中涉及到自然人文地理系统的能量转移与耗散,也涉及到人地关系的深刻本质。如前所述,人地关系是不对称的:城市依赖于环境,但环境并不依赖于城市,尽管城市能够对环境产生巨大影响。当城市不断将热力学熵转移到环境的时候,人地关系或迟或早必将发生某种相变。协调人地关系,城市与水系的关系是具体而实在的研究内容。近年来国外学者将城市系统作为复杂的空间系统,借助自组织理论和分形几何学方法,基于GIS技术,展开了大量的模型实验和理论探讨。如果我们能够借助集成分析技术,对城市体系与水系的时空演化进行模拟实验,将会得到更为引人入胜的研究成果,这方面也是我国地理学者今后需要努力的学术方向之一。遗憾的是,模拟研究在概念层次没有表达。作为多重分形的内核,α-f(α)可与q-τ(q)构成共轭热力学变量,据此可以进行多分形与热力学的类比,这为我们借助多分形理论研究城市与环境(包括水系)的关系提供了全新的视角。可以想见,未来