专题11 函数与导数（选填题8种考法）（解析版）

专题11函数与导数（选填题8种考法）考法一函数图像【例1-1】（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.【例1-2】（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.【例1-4】（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.考法二函数的单调性【例2-1】（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.【例2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若在为增函数，则，解得；在为减函数，则，即或，因为“”能推出“或”，反之不成立，所以命题q是命题p的必要不充分条件，故选：B．【例2-3】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】当时，，解得，当时，，即，解得，综上，不等式的解集为.故答案为：【例2-4】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【解析】令，则在为减函数，所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，即的取值范围为．故答案为：【例2-5】（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.【答案】【解析】函数的定义域为.因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，又，所以不等式的解集为.故答案为：考法四函数奇偶性【例4-1】（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）函数为上的奇函数，当时，，则（

）A．98 B． C．90 D．【答案】A【解析】因为函数为上的奇函数，所以，又当时，，所以.故选：A.【例4-2】（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.【例4-3】（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【例4-4】（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B考法四函数的周期性与对称性【例4-1】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，解得：.故选：A.【例4-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】因为的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以，所以为偶函数．因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，所以．因为，所以，故．故选：A【例4-3】（2023·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，令，则；关于对称，，，为定义在上的奇函数；又为上的增函数，为增函数，在上单调递增，则由得：，，解得：，即的解集为.故选：D.【例4-4】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D考法五函数的最值及极值【例5-1】（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【例5-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.【例5-3】（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【例5-4】（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，又∵在恰有2个极大值点，∴由正弦函数图象可知，，解得：.故选：B.【例5-5】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.【答案】4【解析】因为函数有两个极值点与由，则有两根与所以，得因为，所以，又则，所以故答案为：【例5-6】（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．【答案】【解析】因为是的一个零点，，将看作直线上一个点的坐标，则原题就变为：求当时，点到原点的距离的平方的最小值，原点到直线的距离为，，令，，当时，,是增函数，在时，；故答案为：.【例5-7】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在处取得极大值，则实数a的范围是______．【答案】【解析】，可得，令，则．①当时，在上单调递增.又，则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以在处取得极小值，不合题意；②当时，，令，解得在上单调递增.又，.可得当时，，从而在上单调递减；当时，，从而，在上单调递增，所以在处取得极小值，不合题意；③当时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，从而，所以在上单调递减，不合题意；④当时，，令，解得在上单调递减.又,故当时，，从而在上单调递增，当时，，从而在上单调递减．所以在处取得极大值，符合题意.综上，实数a的范围为．故答案为：.考法六切线及应用【例6-1】（2023·四川·校联考一模）曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知时，，即切点为，又，则，故曲线在处的切线斜率为，故切线方程为，即，故选：D【例6-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数是偶函数，当时，．若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】当时，，所以，又函数是偶函数，所以当时，，则，所以．又，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以，，解得．故选：C【例6-3】（2023·四川·校联考一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C【例6-4】（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【例6-5】（2023·陕西西安·统考一模）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，设切点为，则切线方程为，切线过点，，整理得到，方程有三个不等根.令，则，令，则或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，极大值，极小值，函数与有三个交点，则，的取值范围为.故选：D考法七零点定理【例7-1】（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数有且仅有2个零点，则有且仅有2个解，设，根据符号作出的草图如下：则或，故选：D.【例7-2】（2023·山西忻州·统考模拟预测）若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．综上，的取值范围是．故选:D【例7-3】（2023·江西上饶·统考一模）已知函数，则在上的零点个数是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】B【解析】因为，所以函数是周期为的周期函数，又，当时，令，可得或或当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，因为，，所以函数在存在一个零点；当时，，当且仅当时，，所以函数在上单调递减，因为，，所以函数在存在一个零点；当时，，所以函数在上单调递增，因为，，所以函数在不存在零点；所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内，所以在上共有个零点.故选：B.【例7-4】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为函数满足，所以，，即函数为周期函数，周期为，因为当时，，所以，当时，恒成立，所以，函数在上单调递增，因为为定义在上的偶函数，令，则定义域为，，所以函数为定义在上的偶函数，因为因为，所以所以，作出函数，图象如图，由图象可知，当时，函数与图象有4个交点，所以，由偶函数的对称性可知，当时，函数与图象有4个交点，所以，方程实根个数为个.故选：B【例7-5】（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得，（1）时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即；（2）当时，，，当时，，无零点；当时，，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是.考法八求参数【例8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，对于恒成立，则满足题意的a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数，对于恒成立，所以，对于恒成立，所以，对于恒成立，设，则为上的增函数，所以，则，对于恒成立，设，则，当时，恒成立，所以在上为增函数，因为，所以存在，使得，不满足，对于恒成立；当时，令，得，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，则，设，则，令，得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即.综上所述：的取值集合为.故选：D【例8-2】（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.【例8-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，恒成立，则的最大值为______．【答案】【解析】因为，由于，则，即，令，则，即，令，，则当时，，当时，，则函数在单调递减，当时，，则函数在单调递增，所以当时，，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，则，所以．设，则，易知当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即的最大值为．故答案为:1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．3．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.4．（2021·北京·统考高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.6（2023·四川·校联考一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图象的对称性可知，函数为偶函数.对于A，，为偶函数；对于B，，为奇函数，不符合题意；对于C，，为偶函数；又，不符合题意；对于D，，为奇函数，不符合题意，故选：A．7．（2023·江西上饶·统考一模）若函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】由函数得，.故选：A.8．（2023·山东临沂·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则在R上单调递增，由，则时，即，而，∵，∴..综上：.故选：B.9．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知在上单调递增，所以当时，；在上单调递增，所以当时，.所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.故选：C.10．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先化简，构造函数，所以有，显然在单调递增，所以；又因为，，所以由“”不能得出“”，由“”可得出“”，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B11．（2023·河南·校联考模拟预测）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，只需研究的图象，当时，，则，排除选项.故选：．12．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）若某函数在区间上的大致图像如图所示，则该函数的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A选项，设，则当时，，则，不符合图像，排除A；C选项，设，当时，，且，，，所以．所以，不符合图像，排除C；D选项，设，令，解得或，与图像不符，排除D.故选：B．13．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在R上单调递减，在同一坐标系中作的图像，如图：所以，故，故选：A.14．（2023·山西忻州·统考模拟预测）溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（

）（取，）A．摩尔/升 B．摩尔/升C．摩尔/升 D．摩尔/升【答案】A【解析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，从而，即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．故选：A15．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于，当时，，所以，故选项错误；对于，当时，，所以，故选项错误；对于，当时，，所以，且时，，；当时，，所以，且时，，，故选项正确；对于，当时，，则，所以，故选项错误，故选：.16．（2023·陕西西安·统考一模）函数在区间上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是偶函数，排除选项B和D当时，，，即，排除选项C故选：A17．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则函数图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由得函数与的零点相同，所以可排除C选项，因为当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，趋近于正无穷，所以当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，排除选项B和D，故选：A．18．（2023·河南·校联考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，化简得，所以．又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得．因为，所以．故选：A．19．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，函数的定义域是，在上不是单调函数，A错误．对于B，由题得，解得，所以函数的定义域为，不符合题意，B错误；对于C，根据对勾函数单调性可知：函数在上单调递减，C错误；对于D，令，则的定义域为，且，因此是奇函数，又，当且仅当时等号成立，则函数在R上单调递增，D正确．故选：D20．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于函数，令，解得或，所以函数的定义域为，又，所以为偶函数，当时，则在上单调递增，令，，所以，所以在上单调递增，则在上单调递增，从而得到在上单调递减，则不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为.故选：C21．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，，若满足，则的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由题意，令，则，，，即，，，令，则，，，解得，.故选：C.22．（2023·吉林·统考二模）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，若，则，故A错误，若，则，故B错误；对于CD，因为，在上的导函数存在，且，令，则，所以在上单调递减，因为，即，所以，由得，则，故C正确；由得，则，故D错误.故选：C.23．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.24．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.25．（2023·山东淄博·统考一模）（多选）已知函数，则（

）A．当时，在有最小值1B．当时，图象关于点中心对称C．当时，对任意恒成立D．至少有一个零点的充要条件是【答案】AC【解析】对于，当时，，当时，则当且仅当，即时去等号，所以函数在有最小值1，故选项正确；对于，当时，则，因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误；对于，当时，则，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则当时，对任意恒成立，故选项正确；对于，因为时，函数有一个零点，所以选项错误，故选：.26．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知，，且，下列结论中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，因为，，且，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，由于函数在上单调递减，所以，故A不正确；对于B，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；对于C，因为，，且，所以，则，设，则恒成立，所以在上单调递增，则，则，即，故C正确；对于D，因为，，且，所以，则，所以，当时，等号成立，故D不正确.故选：BC.27．（2023·山西忻州·统考模拟预测）（多选）已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C． D．【答案】ABC【解析】因为，所以（a为常数），所以．因为，所以．令，得，解得，所以，则的图象关于直线对称，故选项正确．因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则选项正确．因为是奇函数，所以，所以，所以，则是周期为4的函数．因为，所以，所以，，则．因为是奇函数，所以，所以，则选项正确．因为，所以，所以，，，，所以，所以，则选项错误．故选：.28．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）（多选）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】令，则方程化为，由给定的选项知，方程有实根，设其根为，函数定义域为R，，在上递减，在上递增，且的图象关于直线对称，，当时，方程无解，当时，方程有一解，当时，方程有两解且和为2，对于A，当时，方程有两解且和为4，与题意矛盾，故A不符合要求；对于B，当时，方程有两解且和为2，又关于对称，故B符合要求；对于C，当时，方程有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不符合要求；对于D，当时，方程有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于对称，关于对称，故D符合要求，故选：BD.29．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）（多选）设函数，则（

）A．的一个周期为 B．在上单调递增C．在上有最大值 D．图象的一条对称轴为直线【答案】BD【解析】对A：，故不是的周期，A错误；对B：令，则，则，∵，则，∴在上单调递增，且，又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；对C：∵，则，∴，则，又∵在上单调递增，且，∴在上最大值为，即在上有最大值，C错误；对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.故选：BD.30．（2023·山西忻州·统考模拟预测）（多选）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，所以，所以．设，则在上单调递增．因为，所以，则A正确．因为，，且，所以，所以，则B正确，因为，取，则，所以C不正确.因为，所以，所以，即，则D正确．故选：ABD.31．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）（多选）已知函数的定义域均为，且满足，，，则（

）A． B．C．的图象关于点对称 D．【答案】ABD【解析】因为，所以的图象关于点对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，A正确；因为定义域为的函数的图象关于点对称，所以，B正确；由，得，即，．因为，所以，又因为，相减得，所以的图象关于点中心对称，C错误；因为函数的定义域为，所以，所以．记，结合A、C分析知：数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，故，，所以，D正确；故选：ABD．32．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．为函数的一个周期B．的图象关于直线对称C．在上有两个极值点D．的值域为【答案】AB【解析】A选项：，故A正确；B选项：，所以的图象关于直线对称，故B正确；C选项：易知，令，得或，当时，无解，由，得，故函数在上只有一个极值点，故C错误；D选项：易知，又，所以，故D错误．故选：AB33．（2023·全国·模拟预测）（多选）若函数的定义域为，且满足与都为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为是奇函数，所以，所以，即的图象关于直线对称．因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，所以是周期为4的周期函数．选项A，B：因为的周期为4且其图象关于点对称，所以，，所以A，B正确；选项C：易知，，所以，所以，故C错误；选项D：因为，所以，故D正确．故选：ABD．34．（2023·山东临沂·统考一模）（多选）已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.对于A，定义域为，所以不满足题意；对于B，定义域为，，符合题意；对于C，定义域为，，不符合题意；对于D，定义域为，，而，符合题意.故选：BD.35．（2023·山东威海·统考一模）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，因为为偶函数，所以，所以，故A正确；对于B，因为，左右两侧分别取导数可得，，所以，故B正确；对于D，因为，又为奇函数，则，所以，即，则，故D正确；对于C，令，则为偶函数，为奇函数，满足题干，当时，，，所以，即存在，使得不成立，故C错误.故选：ABD.36．（2023·山东潍坊·统考一模）（多选）已知，过点和的直线为.过点和的直线为，与在轴上的截距相等，设函数.则（

）A．在上单调递增 B．若，则C．若，则 D．均不为（为自然对数的底数）【答案】CD【解析】由已知可得，直线的方程为，由，可得；直线的方程为，由，可得.由已知可得，，整理可得，.因为，函数在上单调递增，所以，所以.对于A项，令，，则，.令，则在R上恒成立，所以，在R上单调递增，即在R上单调递增.又，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，故A项错误；对于B项，设，则.令，则，显然在上单调递增，且，，根据零点存在定理，可得，有，且当时，有，即在上单调递减，所以在上单调递减；当时，有，即在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，，根据零点存在定理，可得，有，且当时，有，即在上单调递减；当时，有，即在上单调递增.因为，，，.所以有，可得或，因为，所以有可得，，所以或（舍去）.所以，，所以，，故B项错误；对于C项，因为，则由可知，.所以，，所以，故C项正确；对于D项，因为，所以，所以.①当时，则有.令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立，所以，方程在上无解，即不存在；②当时，则有.令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以恒成立，所以，方程在上无解，即不存在.综上所述，均不为，故D项正确.故选：CD.37．（2023·吉林·统考二模）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，，，所以BD正确，C错误；若，则，A错误.故选：BD38．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）【解析】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）39．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.40．（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.【答案】2【解析】，故，故答案为：2.41．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：142．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.【答案】1【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.43．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.44．（2022·北京·统考高考真题）函数的定义域是_________．【答案】【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：45．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：46．（2023·四川成都·统考模拟预测）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.【答案】【解析】当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得.故答案为：.47．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_____________．【答案】【解析】因为为奇函数，则，令，则，故，则，令，则，又因为为偶函数，则，令，则，令，则因为，即，所以，联立，解得，所以当时，.又因为，即，则，所以函数是以4为周期的函数，故.故答案为：.48．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）请写出与曲线在处具有相同切线的另一个函数：______．【答案】（答案不唯一）【解析】的导函数为，又过原点，在原点处的切线斜率，在原点处的切线方程为；所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，，又过原点，在原点处的切线斜率，在原点处的切线方程为.故答案为:（答案不唯一）.49．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【解析】因为，所以．因为，，所以所求切线方程为，即.故答案为：50．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）若函数的极小值点为1，则实数a的取值范围是__________，【答案】【解析】由得，，令得，令，所以，又，所以有两个不同的根，令，当或时，单调递减；当单调递增，①当即时，的大致图象如图1：当时，，当时，，所以为的极大值点，当时，，当时，，所以1为的极小值点，当时，，当时，，所以为的极大值点，故时满足题意.②当时,是的最大根，的大致图象如图2：时，当时，所以1为的极大值点，此时不满足题意.③当时，的大致图象如图3图4，时，，当时，所以1为的极大值点，此时不满足题意.④当时，，时，，当时，所以1为的极大值点，此时不满足题意.综上：的取值范围：，故答案为：51．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数______．【答案】2【解析】设切点为，则有.故答案为：2.52．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函