湖北省部分重点中学（六校）2021-2022学年高一下学期五月联考数学试题

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，共=sectionpages33页…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，共=sectionpages33页绝密★启用前湖北省部分重点中学（六校）2021-2022学年高一下学期五月联考数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（

）①，则；②，则；③，则.A．1 B．2 C．3 D．03．如图，在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则（

）A． B． C． D．4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（

）A． B． C． D．85．小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图，纸卷的直径为12cm，轴的直径为4cm，当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm6．已知圆柱的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为（

）A． B． C． D．7．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（

）．A． B． C． D．评卷人得分二、多选题9．下列说法不正确的是（

）A．圆心和圆上两点可以确定一个平面B．平行于同一条直线的两个不同平面平行C．若两条平行直线中的一条与已知直线垂直，则另一条也与已知直线垂直D．两个平面垂直，过其中一个平面内一点作交线的垂线，则此垂线必垂直另一平面10．已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（

）A．B．若复数z的模是5，实部为3，则C．若复数，则，D．若，，则的充要条件是11．.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（

）A．是偶函数B．是上的减函数C．在上的最小值为D．若，则实数的取值范围为12．已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（

）A．时， B．时，的最小值为C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．时，正方体被平面截的图形最大面积是第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．已知函数是函数且的反函数，且的图像过点，则___________.14．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为________．15．在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________.16．在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为___________.评卷人得分四、解答题17．已知函数是指数函数．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．18．在①，②，且，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c已知______．(1)求角A的大小；(2)若D是BC的中点，，求△ABC面积的最大值．19．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点．(1)求证：平面BDF；(2)求三棱锥E-BDF的体积．20．自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为（，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.21．已知O为坐标原点，，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.已知函数，(1)求的伴随向量，并求.(2)关于x的方程在内恒有两个不相等实数解，求实数的取值范围.(3)将函数图像上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图像向左平移个单位长度得到函数的图像，已知，在函数的图像上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.22．如图，在五面体中，平面平面，，且.（1）求证：平面平面（2）线段上是否存在一点F，使得二面角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【解析】【分析】由的幂运算的周期性可直接求得结果.【详解】，，，，其中，.故选：B.2．A【解析】【分析】对于①，利用线面垂直的性质判断即可，对于②，由线面垂直的性质和线面平行的判定判断，对于③，由线面平行的性质判断【详解】对于①，当时，则相交垂直或异面垂直，所以①正确，对于②，当时，或，所以②错误，对于③，当时，与平行，或相交，或，所以③错误，故选：A3．B【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.【详解】在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则，所以.故选：B4．B【解析】【分析】利用斜二测画法还原直观图即得.【详解】由题可知，∴，还原直观图可得原平面图形，如图，则，∴，∴原平面图形的周长为.故选：B.5．B【解析】【分析】设出剩下的这卷纸的直径，根据体积关系即可求出.【详解】设小明用掉的纸后，剩下的这卷纸的直径为cm，卷纸高为cm，则由题可知，解得，所以剩下的这卷纸的直径最接近于7cm.故选：B.6．B【解析】【分析】做平行线，将所求的异面直线夹角转化为同一平面内的直线夹角，构造三角形即可求解.【详解】如上图，过点A做平面的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，平面，，所以四边形是平行四边形，，与的所成的角就是或其补角；由题意可知AB=2，AD=1，在中，，在等腰中，由余弦定理，，由于异面直线的夹角范围是，故取的补角，故选：B.7．B【解析】【分析】由直角三角形和等腰三角形的性质得出，，取的中点M，根据面面垂直以及线面垂直的判定得出平面，从而得出就是点D到平面的距离.【详解】由已知，可得，所以．又，所以，取的中点M，则，且．因为平面平面，平面平面，所以平面，所以．又因为，，所以平面，所以就是点D到平面的距离.故选：B．8．A【解析】【分析】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.【详解】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，则由题意知，解得，AB与圆弧相切于点B，则，∴在中，，由对称性可知，，则，∴，故选：A．9．ABD【解析】【分析】利用平面的性质和空间中的线面关系进行求解.【详解】若圆心和直径的两个端点共线，则不能确定平面，A不正确；平行于同一条直线的两个不同平面还可能相交，B不正确；若两条平行直线中的一条与已知直线垂直，由平行线的性质可知，另一条也与已知直线垂直，C正确；如果两个平面垂直，在其中一个平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直另一平面，过其中一个平面内一点作交线的垂线，则不一定垂直另一平面，D不正确；故选：ABD.10．AC【解析】【分析】根据复数的运算、共轭复数的概念及模的定义可判断A，举反例可判断BD，根据只有实数才能比较大小判断C.【详解】设，则，所以，故A正确；复数z的模是5，实部为3，也可有，故B错误；因为只有实数能比较大小，故由可得，，故C正确；因为，，所以结论不成立，例如满足条件，得不出结论，故D错误.故选：AC11．CD【解析】【分析】函数是奇函数，所以选项A错误；函数是上的增函数，所以选项B错误；在上的最小值为，所以选项C正确；实数的取值范围为，所以选项D正确.【详解】解：取，，则，解得，令，则，即，函数是奇函数，所以选项A错误；令，且，则，因为当时，，所以，则，即，函数是上的增函数，所以选项B错误；因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，，，，故，在上的最小值为，所以选项C正确；，即，因为函数是上的增函数，所以，所以，所以实数的取值范围为，所以选项D正确.故选：CD.12．ABD【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到点在线段上，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，作出辅助线，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到的最小值，求出答案；C选项，作出辅助线，找到直线与面的交点轨迹，求出长度；D选项，作出辅助线，分P位于线段DZ上和线段BZ上，分别求出截面的最大面积，比较得到结果.【详解】取AD中点F，BC的中点G，连接，，，则，因为，，所以，即点在线段上，因为E为线段的中点，则，故，所以，由于，所以，又⊥平面，平面，所以⊥，因为，所以平面，因为平面，所以，A正确；B选项，在AB上取点H，使得，在DC上取点K，使得，因为，，所以点P在线段HK上，将平面与平面沿着HK展开到同一平面内，如图1，连接交HK于点P，即三点共线时，取得最小值，其中由勾股定理得：，所以，所以，故B正确；C选项，，，时，由向量共线定理的推论可得：P点在线段BD上，连接，交于点M，交于点N，连接MN，则线段MN即为直线与面的交点轨迹，其中三角形是等边三角形，，由三角形相似可知：，而，所以，同理可得：，所以三角形是等边三角形，所以，直线与面的交点轨迹长度为，C错误；由C选项的分析可知，：P点在线段BD上，连接AC，BD相交于点Z，当P位于线段DZ上时，连接AP并延长交CD于点Q，连接，则平面截正方体所得图形为三角形，则当与重合时，Q与C重合，此时截面三角形面积最大，面积为；当P位于线段BZ上时，如图3，连接AP并延长，交BC于点W，过点W做WR∥交于点R，连接，则四边形即为平面截正方体所得的截面，设，则由平行性质可知：，则，所以四边形为等腰梯形，其中，设梯形的高为h，则，则截面面积为，如图4所示，直角三角形，直角边，在上取一点，连接，则三角形的面积即为，显然当时，面积取得最大值，最大面积为，因为，所以时，正方体被平面截的图形最大面积是，D正确..故选：ABD【点睛】立体几何中的点的运动轨迹问题，或线的运动轨迹问题，要结合题目特征，利用平行或垂直关系，找出轨迹是线段或圆弧，或是椭圆，抛物线等，进而求出相应的轨迹长度.13．4【解析】【分析】先得出的解析式，再代入点得出的值.【详解】因为函数是函数且的反函数，所以由，解得.故答案为：14．【解析】【分析】由中点的向量表示可得O为BC的中点，设三角形ABC的外接圆的半径为r，求得，以及向量在向量上的投影，进而得到所求向量．【详解】解：由，可得O为BC的中点，设△ABC的外接圆的半径为r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，,则所以向量在向量上的投影为，则向量在向量上的投影向量为.故答案为：.15．9【解析】【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式求最值.【详解】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，即，因此当且仅当，即时取等号，即的最小值为.故答案为：916．2π【解析】【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的高最大，即此时平面平面，即平面，设球心为在平面内作，垂足为,证明平面即得解.【详解】解：由题得,因为.因为,所以是△外接圆的圆心，外接圆的半径为当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面的高最大，即此时平面平面，即平面.如图，设球心为在平面内作，垂足为,因为,所以,所以平面,所以过点的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆.所以截面的最小值为.故答案为：17．(1)(2)【解析】【分析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.(1)为指数函数，，解得：，.(2)由（1）知：，，解得：，的取值范围为.18．(1)(2)【解析】【分析】(1)对条件①②③逐项分析，运用正弦定理或余弦定理即可求出A；(2)在（1）的基础上，根据与互补，运用余弦定理可以找出AC与AB之间的关系，再利用基本不等式即可.(1)若选择条件①由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；若选条件②，由，且得：，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，即；若选条件③，由正弦定理得，由余弦定理得，∵，∴；(2)在△ABC中，由余弦定理知，…①，在△ACD中，由余弦定理知，，在△ABD中，由余弦定理知，，∵，∴，化简得…②，由①②得，∴，当且仅当时，等号成立，∴△ABC面积，即△ABC面积的最大值为；综上，，△ABC面积的最大值为.19．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，连接FO，利用中位线定理及线面平行判定定理即得；（2）由题可得，然后利用棱锥体积公式即得.(1)连接AC交BD于O，连接FO，因为F为AE的中点，又O为AC的中点，则FO是△ACE的中位线，所，又因为面BDF，且平面BDF，所以平面B