加法乘法原理教师

加法原理一、知识概要1.加法原理如果完成一件任务有几类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法；在第二类中有m2种不同的方法；…在第n类方法中有mn种不同的方法；那么，完成这件任务总共就有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。这就是加法原理。2.意义加法原理是计数方法中的常用的重要原理之一，也常用于我们的生活实际，我们一定要掌握好这个原理。二、典型题目精讲1.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。若从两个盒子里任取一球，有多少种不同的取法？分析：要么从第一个盒子任取一球，有5种取法；要么从第二个盒子任取一球，有9种取法；总共则有9+5种取法。解：5+9=14(种)答：有14种不同的取法。2.将5，6，7，8，9这五个数字从小到大排成一行，在这五个数中间任意插入加号(要求最少加一个加法)，可以得到多少种不同的和？分析：因为5_6_7_8_9五个数之间有4个间隔，所以，要先成“加加号”这个任务，有四种不同的方法，是加法原理，我们分四步来解决。第一步，加一个加号，有4种方法，第二步，加2个加号，有6种方法；第三步，加3个加号，有4种方法；第四步加4个加号，有1种方法。解：4+6+4+1=15(种)答：可以得到15种不同的和。3.上海去江苏某地，每天有3班火车、6班汽车和4班轮船。试问：乘坐这些交通工具有多少种不同的走法？分析：坐火车有3种走法，坐汽车有6种走法；坐轮船有4种走法。不论乘坐哪种交通工具，都能完成“去江苏某地”的任务，故是加法原理。解：3+6+4=13(种)答：乘坐这些交通工具有13种不同的走法。4.小明有1分、2分、5分硬币各一枚，用这些硬币能表示出多少种不同的布值？分析：用1枚表示时，有3种；用2枚表示时，有3种；用3枚表示时，有1种；再求一共有多少种，故运用加法原理。解：3+3+1=7(种)答：能表示出7种不同的布值。5.如图所示，从A点沿实线走最短的路线到B点，共有多少种不同的走法？分析：如图(二)从A点到B点去的走法有两大类，一类是从A点出发，经过C点到达B点；另一类是从A点出发，经过D点到达B点。然而，C、D又分别有过E和F，F和G的走法总数的走法，依次反推到A点，便知图中每个点的走法总数。所以，这是加法原理。解：20+15=35(种)答：共有35种不同的走法6.在□处填入适当的数字，使四位数23□□是3的倍数，有()种不同的填法。分析：3的倍数依次是3、6、9、12、15、18、212+3+□+□=3或6或9或12或18或21(3明显不符，舍去)。因此，这个任务分六步来完成，然后求六步之总和，故是加法原理。(1)当2+3+□+□=6时，□里填1和0，有2种填法；(2)当2+3+□+□=9时，□里可填0，1，2，3，4，有5种填；(3)当2+3+□+□=12时，□里可填0～7这个数字，有8种填法；同理，推知当2+3+□+□=15或18或21时，分别有9种、6种、3种不同的填法。解：2+9+5+8+6+3=33(种)三、练习巩固与拓展1.星期天，妈妈带小明去逛街。街上好吃的东西可多啦，小明喜欢吃的水果有6种，喜欢吃的熟食有5种。那个电动小火车他也喜欢玩。妈妈说：由不够钱？吃的玩的只能买一样。你说小明有多少种不同的选法？2.学校羽毛球队有12名男队员，10名队员。现要推选一名运动员去台上领奖，有多少种选法？3.一把钥匙只能开一把锁，现有9把不同的钥匙和锁。如果要找出每把锁的钥匙，最多需要试几次才能把每把锁和钥匙配对？4.整个书架分为上、下两层，第一次摆放图书30册，第二层摆放图书80册，所有这些图书的名称各不相同。若要从两层书架中任取一本书，有多少种不同的取法？5.小林要登上16级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上16级台阶共有多少种不同的登法？6.有3个工厂共订300份报纸，每个工厂最少订99份，最多订101份，一共有多少种不同的订法？7.从1写到100，一共用了多少个“5”这个数字？8.有两个相同的正方体，每个正方体的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情况？9.从1到300的所有自然数中，不含数字的自然数有多少个？10.如图，小明从家去学校，要求任何线段和点不得重复经过，小明从家到学校最多有几种不同的走法？11.有几根火柴，每次取走1—3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法？12.已知一个三位数，各位上数字之和是24，这样的三位数一共有多少个？13.用数字0、2、5、8可组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？14.王冬要走12级台阶到二楼阳台去，每步可登1级或2级台阶。共有多少种不同的登法？15.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。那么小明借1本书有多少种不同的选法？16.从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？第16题图第17题图17.如图，从A走到B，要求每一步都是向右，向上或向斜上方，问有多少种不同的走法？第八讲<练习巩固与拓展>答案1.6+5+1=12(种)2.10+12=32(种)3.8+7+6+5+4+3+2+1=(8+1)×8÷2=36(次)4.30+80=110(种)5.1+2=32+3=53+5=8…377+610=987987+610=1597(种)6.1+6=7(种)7.∵5在十位上出现的次数为10次；5在个位上出现10次。∴10+10=20(次)8.提示：从两个方面考虑：①两个数同为奇数②两个数同为偶数。3×3+3×3=18(种)9.提示：从1到300的所有自然数分为三大类，即一位数，二位数和三位数。8+8×9+2×9×9+1=243(种)10.提示：小明从家到学校最终有三条路线，先算出各条路线上的走法，然后相加。3+3+3=9(种)11.提示：取走1根，有1种方法；取走2根，有2种方法，取走3根，有4种方法；取走4根，有7种方法……规律如下：1，2，4，7，13，24，44，81，148，274，504，927(从第四项起，每项都是前三项之和)因而，共有927种不同取法。12.提示：分为三类：第一类由9、9、6三个数字组成的三位数；第二类由9、8、7三个数字组成的三位数；第三类由8、8、8组成的三位数。3+6+1=10(个)13.提示：此题分为两类：第一类：个位是0，第二类：个位是5。3×2×1+2×2×1=10(种)14.提示：登第三级台阶的方法数是由前两个数相加的和所得运用排列的方法可知1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，故共有233种不同的登法。15.提示：选法分三类：选外语；选科技书；选小说加法原理，故150+200+100=450(种)选法。16.提示：路线分为两大类—从甲经乙至丙，从甲至丙。4×2+3=11(种)。17.如图所示，每个顶点上所标的数字就是从A点走到此点的不同路线数，它等于它下面及左面与它相邻的顶点上的数之和。所以，从A到B，不同的路线有22条。乘法原理一、知识概要如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……，做第n步有mn种方法，即么，按这样的步骤完成这件任务共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。这就是乘法原理。乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工作的方法有几类，之间不相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一类中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。二、典型例题精讲1.从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问：从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？分析：如图，很明显，这是个乘法原理的题目。要完成“从甲到丙的行走任务”必须分两步完成。第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故有3种走法。第二步：甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。这两种走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。解：3×2=6(种)答：共有6种不同的走法。2.右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、每列只能出现一个棋子，共有多少种不同的放法？分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成。第一步放棋子A，A可任意摆放，有16种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格可任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。解：16×9×4×1=576(种)答：共有576种不同的放法。3.有五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。现从中取出3张片排在一起，组成一个三位数，如eq\o\ac(□,1)eq\o\ac(□,5)eq\o\ac(□,2)，可以组成个不同的偶数。分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个位用去1张，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位共放了两张，所以还有3张可选放，有3种放法。解：3×4×3=36(个)4.兴趣小组有7名男生，5名女生，现要从这些同学选出4名参加数学竞赛，其中至少要有2名女生，共有种不同的选法。分析：分三类选出(加法原理)：第一类：2名学生，先从5名女生中选2名，有5×4÷2=10(种)选法，再从7名男生中选2名有7×6÷2=21(种)，共有10×21=210(种)；第二类：3名女生，先从5名女生中选3名，(其实等于选出2名不比赛)有10种选法；再从男生中选1人，有7种选法。共有10×7=70(种)选法。第三类：4名学生，即从5名选1人不比赛，有5种方法。解：10×21+10×7+5=285(种)5.有4名男生，2名女生，排成一行录像，要求2名不站在两边，且2名女生站在相邻位置，共有多少种不同的排法？分析：分两步考虑，第一步，先确定女生排法，2名女生不站两边，有6种站法。第二步，确定男生的站法，4名男生4个位置可选择，故有4×3×2×1=24(种)站法。解：6×24=144(种)答：共有144种不同的排法。6.地图上a、b、c、d四个国家(如下图)，现有红、黄、绿、蓝四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同。有种不同的染色方法。分析：着色分四步，在图A中，第一步给a着色，有四种方法；第二步给b着色，因a：b相邻，故有3种色选着，方法有3种；第三步给c着色，有2种着法；第四步，给d着色，有2种着法。在图B中，a着色后可将b、d的着色分为相同与不同两类去考虑，染色的顺序为a、b、d、c.解：图A4×3×2×2=48(种)图B当b、d同色的有4×3×1×3=36(种)；当b、d不同色时，有4×3×2×2=48(种)；共有36+48=84(种)三、练习巩固与拓展1.某人到食堂买饭，主食有3种，副食有5种，他买主食和副食各1种，共有多少种不同的买法？2.书架上有6本不同的外语书，4本不同的数学书，从中任取外语、数学书各1本，有多少种不同取法？3.小明、小军各小勇三人报名参加学校运动会，每人必报跳高、跳远、100m跑、200m跑这四项中的一项，报名会出现多少各不同的情形？4.图中有七个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点去。若要求甲虫不重复经过点、线段，则甲虫最多有多少种不同走法？5.由数字0，1，2，3组成三位数，向：(1)可组成多少个不相等的三位数？(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？6.现有1元的人民币3张，2角的人民币2张，1角的人民币4张，如果从中至少取一张，至多取九张，那么，可组成多少种不同的布值？7.某电影院有六个行，其中A、B、C、D门只供退场时作出口，甲、乙门作为入口也作为出口。共有多少种进出路线？8.“WFO”是世界贸易组织的缩写，把这三个字母写成三种不同颜色，现有5种不同色彩的笔，按上述要求能写多少种不同颜色搭配的“WTO”？9.下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交点上，但不能在同一条棋盘线上，共有多少各不同的放法？10.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，能够组成多少个没有重复数字的三位数？11.有6人参加军训，在操场上站成一排，其中2名队长不在起，一共有多少种排法？12一排房有四个房间，四个房间中住着甲、乙、丙三人，现定每个房间只许住1人，且只允许两个人住的房间挨在一起，第三个人的房间必须和前两个人隔开，有多少种住法？13.用9颗钉子组成3×3方阵，用橡皮筋勾在3颗钉子上，组成一个三角形，共可组成多少个三角形？14.要在3×n方格中(n是自然数，将每列中的3个方格分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同)。最少需要多少列才能保证至少使两列染色的方式相同？15.七个相同球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的方法有多少种？16.如图，从A点出发，经过C点到B点的最短路线，共有多少条？第九讲<练习巩固与拓展>答案1.3×5=15(种)2.6×4=24(种)3.4×4×4=64(种)4.3×3=9(种)5.(1)3×4×4=48(个)(2)3×3×2=18(个)6.9×4-1=35(种)7.2×6=1