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文档简介
多元复合函数的求导法则一阶全微分形式不变性隐函数的导数§8.4多元函数的求导法则一多元复合函数的求导法则
证中间变量为一元函数的情形
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.设z
f(u
v)
u
(t)
v
(t)
则
定理2
如果函数u
(x
y)
v
(x
y)都在点(x
y)具有对x及y的偏导数
函数z
f(u
v)在对应点(u
v)具有连续偏导数
则复合函数z
f[
(x
y)
(x
y)]在点(x
y)的两个偏导数存在
且有中间变量为多元函数的情形定理1的推广设z
f(u
v
w)
u
(x
y)
v
(x
y)
w
(x
y)
则设z
f(u
v)
u
(x
y)
v
(x
y)
则例1
解
exy[y
sin(x
y)
cos(x
y)]
eusin
v
1
eucos
v
y
eusin
v
exy[x
sin(x
y)
cos(x
y)]
1
eucos
v
x设z
f(u
v)
u
(t)
v
(t)
则设z
f(u
v)
u
(x
y)
v
(x
y)
则设z
f(u
v)
u
(t)
v
(t)
则讨论
提示
设z
f(u
x
y)
且u
(x
y)
则例2
解
yxyxeyxxx2422sin22)sin21(2+++=.
etcos
t
etsin
t
cos
t
v
cos
t+u
et
(sint)
解
et(cos
t
sint)
cos
t.引入记号
提示
提示
解
令u
x
y
z,v
xyz,则w
f(u,v).
例4
设w
f(x
y
z,xyz),f具有二阶连续偏导数,
设z
f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分二全微分形式不变性如果z
f(u,v)具有连续偏导数,而u
j(x,y),v
y(x,y)也具有连续偏导数,则由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.
设z
f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分二全微分形式不变性如果z
f(u,v)具有连续偏导数,而u
j(x,y),v
y(x,y)也具有连续偏导数,则
例5
设z
eusinv,u
xy,v
x
y,利用全微分形式不变性求全微分.
解
exy[ysin(x
y)
cos(x
y)]dx
(yeusinv
eucosv)dx
(xeusinv
eucosv)dy
eusinv
eusinv
exy[xsin(x
y)
cos(x
y)]dy.dv
eucosv
du
(dx
dy)
eucosv
(ydx
xdy)隐函数的求导公式三隐函数的导数解令则解令则1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不
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