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文档简介

多元复合函数的求导法则一阶全微分形式不变性隐函数的导数§8.4多元函数的求导法则一多元复合函数的求导法则

证中间变量为一元函数的情形

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则

定理2

如果函数u

(x

y)

v

(x

y)都在点(x

y)具有对x及y的偏导数

函数z

f(u

v)在对应点(u

v)具有连续偏导数

则复合函数z

f[

(x

y)

(x

y)]在点(x

y)的两个偏导数存在

且有中间变量为多元函数的情形定理1的推广设z

f(u

v

w)

u

(x

y)

v

(x

y)

w

(x

y)

则设z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

则例1

解

exy[y

sin(x

y)

cos(x

y)]

eusin

v

1

eucos

v

y

eusin

v

exy[x

sin(x

y)

cos(x

y)]

1

eucos

v

x设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则设z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

则设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则讨论

提示

设z

f(u

x

y)

且u

(x

y)

则例2

解

yxyxeyxxx2422sin22)sin21(2+++=.

etcos

t

etsin

t

cos

t

v

cos

t+u

et

(sint)

解

et(cos

t

sint)

cos

t.引入记号

提示

提示

解

令u

x

y

z,v

xyz,则w

f(u,v).

例4

设w

f(x

y

z,xyz),f具有二阶连续偏导数,

设z

f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分二全微分形式不变性如果z

f(u,v)具有连续偏导数,而u

j(x,y),v

y(x,y)也具有连续偏导数,则由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.

设z

f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分二全微分形式不变性如果z

f(u,v)具有连续偏导数,而u

j(x,y),v

y(x,y)也具有连续偏导数,则

例5

设z

eusinv,u

xy,v

x

y,利用全微分形式不变性求全微分.

解

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dx

(yeusinv

eucosv)dx

(xeusinv

eucosv)dy

eusinv

eusinv

exy[xsin(x

y)

cos(x

y)]dy.dv

eucosv

du

(dx

dy)

eucosv

(ydx

xdy)隐函数的求导公式三隐函数的导数解令则解令则1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不

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