西建大复变B集解答

./工程数学〔复变与积分变换B集目录TOC\o"1-2"\h\z\uB.1导数〔第二章22.1复变函数的极限、连续性22.2导数4B.2积分〔第三章63.1积分的概念、性质和计算63.2柯西定理及其推广8B.3级数〔第四章104.1复数项级数104.2幂级数14B.4留数〔第五章185.1孤立奇点的分类185.2留数及留数定理〔121B.5保形映照〔第六章246.1保形映照的定义246.2分式线性函数及其映照性质256.3指数函数与幂函数所确定的映照29B.6拉普拉斯变换〔第八章308.1拉普拉斯变换、逆变换的概念308.2拉普拉斯变换的性质328.3拉普拉斯变换的应用34.B.1导数〔第二章2.1复变函数的极限、连续性1.判断题<1>对数函数Ln在整个复平面上处处连续. 〔×<2>在整个复平面上连续.〔√<3>〔不等于整数的每一个分支在除去原点的复平面上连续.〔×2.选择题<1><D><A><B><C>0<D>不存在<2>下列函数中,都有则<C>在原点不连续<A><B><C><D><3>函数在点处连续的充要条件是<C><A>在处连续<B>在处连续<C>和在处连续<D>在处连续3.计算<1>解<2>解<3>为多项式解对多项式,有,所以4.证明题：设,试证在处不连续.证因即不存在,故在处不连续.2.2导数5.选择题<1>函数在点处可导的充要条件是<C><A>在点处有偏导数<B>在点处满足柯西-黎曼方程<C>在点处可微,且满足柯西-黎曼方程<D>在点处可微<2>下列函数中,在处可导的是〔B<A><B><C><D><3>对函数,下列结论正确的是〔C<A>在整个复平面上可导<B>在整个复平面上不可导<C>仅在点可导<D>以上结论都不对6.判断题<1>如果在连续,那么存在. 〔×<2>如果,的偏导数存在,那么可导.〔×<3>函数在除以外的复平面上处处不可导.〔√<4>设,则.〔√7.讨论下例函数在何处可导,并在可导处求出<1>解<2>解因,而,且这四个偏导连续,所以仅在时可导,且<3>解由于在平面上处处连续,且当且仅当时,柯西-黎曼方程成立.故仅在直线上可导,且<4>解因,而在除外处处连续,且满足柯西-黎曼方程.故在除外均可导,且.B.2积分〔第三章3.1积分的概念、性质和计算1.填空题<1><2>若以为圆为半径的正向圆周,则<3>设则当为沿上半圆周从0到时,I=当为沿下半圆周从到时,I=当为沿上半圆周从0到时,I=2.选择题<1>=〔Ｂ,其中Ｃ为的正向圆周.<A>０<B><C><D><2>=<B>,其中C是沿从0到的直线段.<A><B><C><D><3>=<Ｃ><A>1<B>4<C>8<D>03.计算其中为<1>从0到的直线段;<2>从沿实轴到再到的直线段;<3>从0沿虚轴到再到的直线段.解<1>设,故,于是<2><3>4.计算积分的值,其中C为的正向.解令则当时,为3.2柯西定理及其推广5.选择题<1>设在单连通域解析,为任一闭曲线,则必有〔D<A><B><C><D><2>函数在单连通域解析是沿任一闭曲线的积分的〔C<A>充分条件<B>必要条件<C>充要条件<D>既非充分也非必要条件<3>函数在单连通域解析是存在原函数的〔A<A>充分条件<B>必要条件<C>充要条件<D>既非充分也非必要条件<4>下列积分中,其积分值不为零的是<C><A><B><C><D><5>设函数是复平面上的解析函数,C是复平面上的任意一条简单闭曲线,则在下例〔B的条件下成立,其中.<A>在C<B>在C外<C>在C上<D>均不对6.计算<1>解<2>,其中C为沿从0到的曲线段解因为解析函数,所以,原式=7.计算的值,并说明所得结果的依据.解以上积分均为零.原因：<1>函数奇点为在之外,由柯西定理知其积分为0；<2>函数奇点为在之外,积分为0；<3>函数奇点为,均在之外,积分为0..B.3级数〔第四章4.1复数项级数1.选择题<1>设则复数列收敛的充要条件是〔C〔A收敛〔B收敛〔C同时收敛〔D以上均不对<2>若复数项级数收敛,则<D>〔A对部分和,有〔B对部分和数列有界〔C〔D和都收敛<3>若级数绝对收敛,则下列各项不正确的是<C>〔A收敛〔B和都收敛〔C和均不一定收敛〔D任意重排各项次序所得到的级数也绝对收敛,且其和不变2.根据复数列收敛的充要条件,判定下列数列是否收敛,如果收敛求出它们的极限.<1>解<2>解于是由知收敛,且3.选择题<1>设数列则<C>〔A0 〔B1〔C〔D不存在<2>下列级数中,绝对收敛的级数是〔D〔A〔B〔C〔D<3>级数为〔B〔A收敛〔B发散〔C绝对收敛〔D条件收敛<4>下列级数中绝对收敛的是〔A〔A〔B〔C〔D4.判断下列级数的敛散性<1>解因故绝对收敛.<2>解由所以原级数绝对收敛.<3>解因发散,而上两级数均为收敛的交错级数,故原级数条件收敛.4.2幂级数5.判断题<1>每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. 〔×<2>每一个幂级数在它的收敛圆与收敛圆上收敛. 〔×<3>每一个幂级数收敛于一个解析函数.〔×<4>每一个幂级数的和函数在收敛圆可能有奇点.〔×<5>若函数在处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数.<√>6.选择题<1>若级数在发散,则它必在〔B〔A收敛〔B发散〔C收敛〔D以上全不正确<2>设幂级数的收敛半径,则它〔B〔A在上收敛〔B在上一致收敛〔C在上一致收敛〔D在上绝对收敛<3>幂级数的收敛半径是〔A〔A〔B2〔C0〔D7.求下列幂级数的收敛半径.<1>解<2>解<3>解<4>解<5>解当时,；当时,8.选择题<1>幂级数的收敛半径是〔D〔A2〔B〔C〔D<2>设幂级数在点收敛而在发散,则它的收敛半径〔Ａ〔A2〔B〔C1〔D9.填空题<1>幂级数的绝对收敛域为,发散域为<2>设幂级数在收敛而在发散,则其收敛半径2,该幂级数的收敛域为<3>设幂级数的收敛半径,那么幂级数的收敛半径10.讨论幂级数能否在收敛而在发散？为什么？解不能.因幂级数在收敛,则收敛半径而在其收敛圆,故幂级数在收敛,矛盾.11.讨论级数的收敛性.解级数的部分和为当时,,级数收敛.当时,不存在,级数发散.当时,,级数收敛.当时,不存在,级数发散..B.4留数〔第五章5.1孤立奇点的分类1.选择题<1>设函数则为的〔B〔A二阶零点<B>二阶极点<C>本性奇点<D>可去奇点<2>设函数则为的〔C〔A本性奇点<B>一阶极点<C>可去奇点<D>一阶零点<3>设、分别以为本性奇点和阶极点,则为的〔B〔A可去奇点<B>本性奇点<C>阶极点<D>小于阶极点<4>为的阶零点是为的阶极点的〔C〔A充分条件<B>必要条件<C>充要条件<D>均不对2.找出下例函数的孤立奇点并加以分类,若为极点,指出其阶数.<1>解因,所以,为三阶极点,为二阶极点.<2>解因,所以,为二阶极点.<3>解因,所以,为本性奇点.<4>解孤立奇点为,<>,因不存在,又因,且,所以,为本性奇点,为一阶极点.3.选择题<1>设函数其中,则为〔B〔A本性奇点 <B>3阶极点<C>4阶极点 <D>可去奇点<2>函数在的奇点个数为〔D〔A1<B>2<C>3<D>4<3>设是的阶零点、是的阶极点,则为的〔A〔A可去奇点 <B>本性奇点<C>阶极点 <D>均不对<4>设是的阶极点,则是的〔C阶极点〔A<B><C><D>均不对<5>若函数在点a解析,且,则a是的〔B〔A一阶零点.<B>二阶零点.<C>一阶极点.<D>二阶极点.<6>设是的本性极点,则一定为的〔D〔A零点.<B>可去极点.<C>极点.<D>本性极点.5.2留数及留数定理〔14.利用留数定理计算下列积分〔所给曲线均为正向曲线<1>解原式===.<2>解因,原式==0.<3>,n=1,2,…解因被包含的所有奇点均为一阶极点,且,所以,=.5.选择题<1>函数在处的留数为〔C<A0 <B>1 <C><D><2>设,则〔D〔A<B>0 <C><D><3>设则<C>〔A0<B>1<C>-1<D>2<4>设函数则〔D〔A0 <B>1<C><D><5>设是的阶极点,则在处的留数为〔D〔A<B><C><D><6>设C为正向圆周,则〔B〔A-<B><C><D><7>设C为正向圆周,则=<B>〔A<B>-<C>-1<D>-6.利用留数定理计算下列积分〔所给曲线均为正向曲线<1><为整正数>解因,所以,①当时,原式=0②当时,原式=③当时,原式=<2>,C为不过0和1的任何简单闭曲线解①C不包含0,1时,原式=0②C只包含0时,原式=③C只包含1时,原式=④C同时包含0,1时,原式.B.5保形映照〔第六章6.1保形映照的定义1.填空题<1>保形映照的概念：如果函数解析且导数不为零,则称此函数所形成的映照为保形映照<2>保形映照具有保角性和保伸缩性：保角性是指映照前后两曲线交点处切线间的夹角和夹角的方向保持不变保伸缩性是指映照前的图象与映照后的图象近似保持相似2.选择题<1>映射在点处的伸缩率和旋转角分别为<A><A><B><C><D><2>映射将映照为<A><A>圆周<B>直线<C>上半平面<D>A,B,C都不对<3>解析函数的导数的几何意义是〔A<A>伸缩比和转动角<B>伸缩比<C>转动角<D>曲线的斜率6.2分式线性函数及其映照性质3.试说明以下各题的映照结果.<1>,解,.映为虚轴.又,映照成.映照成.<2>,解,.映为虚轴.又,映照成.映照成.4.填空题<1>分式线性映照的定义：分式线性函数形成的映照称为分式线性映照.<2>分式线性映照具有保角性、保圆性、保对称性。5.选择题<1>把分别映照为的分式线性函数为<B><A><B><C><D><2>把分别映照为的分式线性函数为<B><A><B><C><D>6.求把单位圆映照成单位圆,且满足的分式线性函数.解设,则,由得.所以.7.求把上半平面映成单位圆,并且满足的分式线性映照.解设,由得即所以8.填空题<1>分式线性函数将平面的上半平面映照成平面的单位圆.<2>若分式线性映照将平面上圆周的部,那映照为平面上的圆周的外部.那么,的外部整个映成的部9.选择题<1>将上半平面映照成单位圆的分式线性函数的一般形式为〔C<A><B><C><D><2>将平面的单位圆映照成平面的单位圆的分式线性函数的一般形式为<B><A><B><C><D>6.3指数函数与幂函数所确定的映照10.问答题<1>幂函数将角形域映照成什么区域,指数函数将带形域映照成什么区域？解幂函数将角形域映照成角形域,指数函数将带形域映照成角形域.<2>函数将扩充的平面上的区域映成扩充的平面上的什么区域,函数将扩充的平面上的区域映成扩充的平面上的什么区域？解函数将扩充的平面上的区域映成扩充的平面上的区域,函数将扩充的平面上的区域映成扩充的平面上的区域.11.求将圆和围成的区域映照为上半平面的函数.解①通过分式线性函数将原区域映照为平面上的带形域。这里映照成,映照成直线,两圆圆映照成带形域外.②