四川省成都市九校联考高一(下)期中数学试卷(理科)

./省市九校联考高一〔下期中数学试卷〔理科一、选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分；在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．1．〔5分数列1,﹣4,9,﹣16,25…的一个通项公式为〔A．an＝n2B．an＝〔﹣1nn2C．an＝〔﹣1n+1n2D．an＝〔﹣1n〔n+122．〔5分计算2sin275°﹣1的值等于〔A．B．C．D．3．〔5分已知实数列﹣1,x,y,z,﹣2成等比数列,则xyz等于〔A．﹣4B．±4C．﹣2D．±24．〔5分等于〔A．﹣1B．1C．D．﹣5．〔5分如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于〔A．100米B．50〔+1米C．米D．200米6．〔5分若α,β为锐角,且满足cosα＝,cos〔α+β＝,则sinβ的值为〔A．﹣B．C．D．7．〔5分《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份的量为〔A．B．C．D．8．〔5分在△ABC中,cos2＝,〔a,b,c分别为角A,B,C的对边,则△ABC的形状为〔A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．〔5分已知△ABC中,∠A＝30°,2AB,BC分别是、的等差中项与等比中项,则△ABC的面积等于〔A．B．C．或D．或10．〔5分若,且,则cos2α的值为〔A．B．C．D．11．〔5分设等差数列{an}满足＝1,公差d∈〔﹣1,0,当且仅当n＝9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,求该数列首项a1的取值围〔A．〔,B．[,]C．〔,D．[,]12．〔5分在锐角三角形△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,〔a+b+c〔a+c﹣b＝,则cosA+sinC的取值围为〔A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．〔5分已知函数f〔x＝sinx+cosx,则f〔x的最大值为．14．〔5分等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2＝2,S4＝8,则S6等于．15．〔5分已知△ABC角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,sinC＝2sinA,则△ABC的面积为．16．〔5分已知数列满足：a1＝1,an+1＝,〔n∈N*,若bn+1＝〔n﹣λ〔+1,b1＝﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值围为．三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔10分已知公差不为零的等差数列{an}中,a1＝1,且a1,a3,a9成等比数列．〔1求数列{an}的通项公式；〔2设bn＝+n,求数列{bn}的前n项和Sn．18．〔12分〔1设α,β为锐角,且,求α+β的值；〔2化简求值：．19．〔12分已知函数〔1求函数f〔x的最小正周期和函数的单调递增区间；〔2已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,求AB．20．〔12分已知数列{an}前n项和〔1求数列{an}的通项公式；〔2若,求数列{bn}的前n项和Tn．21．〔12分△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA•cosC﹣cos〔A+C＝sin2B．〔Ⅰ证明：a,b,c成等比数列；〔Ⅱ若角B的平分线BD交AC于点D,且b＝6,S△BAD＝2S△BCD,求BD．22．〔12分已知数列{an}的前n项和为Sn,a1＝1,且〔n+1an＝2Sn〔n∈N*,数列{bn}满足,,对任意n∈N*,都有．〔1求数列{an}、{bn}的通项公式；〔2令Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn．若对任意的n∈N*,不等式λnTn+2bnSn＜2〔λn+3bn恒成立,试数λ的取值围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分；在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．1．〔5分数列1,﹣4,9,﹣16,25…的一个通项公式为〔A．an＝n2B．an＝〔﹣1nn2C．an＝〔﹣1n+1n2D．an＝〔﹣1n〔n+12[分析]观察分析可得通项公式．[解答]解：经观察分析数列的一个通项公式为：an＝〔﹣1n+1n2故选：C．[点评]本题考查数列的通项公式的写法,属于基础题．2．〔5分计算2sin275°﹣1的值等于〔A．B．C．D．[分析]利用二倍角的余弦公式,求得要求式子的值．[解答]解：2sin275°﹣1＝﹣〔1﹣2sin275°＝﹣cos150°＝cos30°＝,故选：D．[点评]本题主要考查二倍角的余弦公式的应用,属于基础题．3．〔5分已知实数列﹣1,x,y,z,﹣2成等比数列,则xyz等于〔A．﹣4B．±4C．﹣2D．±2[分析]根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于〔﹣1×〔﹣2,开方即可求出y的值,然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．[解答]解：∵xz＝〔﹣1×〔﹣2＝2,y2＝2,∴y＝﹣〔正不合题意,∴xyz＝﹣2．故选：C．[点评]此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道中档题．4．〔5分等于〔A．﹣1B．1C．D．﹣[分析]根据正切的和与差的公式求解即可．[解答]解：由tan45°＝tan〔17°+28°＝,∴＝．故选：B．[点评]本题考查了正切的和与差的公式的运用．属于基础题．5．〔5分如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于〔A．100米B．50〔+1米C．米D．200米[分析]直角△ABC与直角△ABD有公共边AB,若设AB＝x,则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件,可以用x表示出BC与BD的长,根据BD﹣BC＝CD,即可列方程求解．[解答]解：设AB＝x米,在直角△ACB中,∠ACB＝45°,∴BC＝AB＝x米．在直角△ABD中,∠D＝30°,BD＝x,∵BD﹣BC＝CD,∴x﹣x＝200,解得：x＝100〔+1．故选：C．[点评]本题主要考查了解直角三角形的方法,解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边,利用公共边表示其它的量,从而把问题转化为方程问题．6．〔5分若α,β为锐角,且满足cosα＝,cos〔α+β＝,则sinβ的值为〔A．﹣B．C．D．[分析]由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin〔α+β的值,再利用两角和差的正弦公式求得sinβ＝sin[〔α+β﹣α]的值．[解答]解：∵α,β为锐角,且满足cosα＝,cos〔α+β＝,∴sinα＝,sin〔α+β＝,∴sinβ＝sin[〔α+β﹣α]＝sin〔α+βcosα﹣cos〔α+βsinα＝﹣＝,故选：B．[点评]本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的正弦公式的应用,属于中档题．7．〔5分《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份的量为〔A．B．C．D．[分析]易得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得a1和d的方程,解方程可得．[解答]解：由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得[20+〔a1+3d+〔a1+4d]×＝a1+〔a1+d,解得a1＝,故选：C．[点评]本题考查等差数列的通项公式,属基础题．8．〔5分在△ABC中,cos2＝,〔a,b,c分别为角A,B,C的对边,则△ABC的形状为〔A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形[分析]利用二倍角公式代入cos2＝求得cosB＝,进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2＝c2,根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．[解答]解：∵cos2＝,∴＝,∴cosB＝,∴＝,∴a2+c2﹣b2＝2a2,即a2+b2＝c2,∴△ABC为直角三角形．故选：B．[点评]本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．9．〔5分已知△ABC中,∠A＝30°,2AB,BC分别是、的等差中项与等比中项,则△ABC的面积等于〔A．B．C．或D．或[分析]由等差中项与等比中项的定义求出AB＝,BC＝1,由余弦定理得AC＝1或AC＝2,由此能求出△ABC的面积．[解答]解：△ABC中,∠A＝30°,2AB,BC分别是、的等差中项与等比中项,∴,解得AB＝,BC＝1,∴由余弦定理得：,解得AC＝1或AC＝2,当AC＝1时,△ABC的面积S＝＝＝．当AC＝2时,△ABC的面积S＝＝＝．故选：D．[点评]本题考查三角形面积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比中项、等差中项、余弦定理的合理运用．10．〔5分若,且,则cos2α的值为〔A．B．C．D．[分析]利用二倍角公式及正弦函数两角差公式得到cosα+sinα＝,从而求出sin2α＝﹣,由此能求出cos2α．[解答]解：∵,且,∴3〔cos2α﹣sin2α＝sincosα﹣cossinα,即3〔cosα﹣sinα〔cosα+sinα＝〔cosα﹣sinα,∴cosα+sinα＝,∴1+sin2α＝,∴sin2α＝﹣,∵,∴cos2α＝﹣＝﹣．故选：A．[点评]本题考查三角函数的余弦值的求法,考查二倍角公式、正弦函数两角差公式、同角三角函数关系式,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题．11．〔5分设等差数列{an}满足＝1,公差d∈〔﹣1,0,当且仅当n＝9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,求该数列首项a1的取值围〔A．〔,B．[,]C．〔,D．[,][分析]由已知条件推导出sin〔a3﹣a6＝1,或sin〔a3+a6＝0,由仅当n＝9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,推导出．由此能求出该数列首项a1的取值围．[解答]解：∵等差数列{an}满足＝1,∴〔sina3cosa6﹣sina6cosa3〔sina3cosa6+sina6cosa3＝sin〔a3+a6＝〔sina3cosa6+sina6cosa3,∴sina3cosa6﹣sina6cosa3＝1,即sin〔a3﹣a6＝1,或sin〔a3+a6＝0〔舍当sin〔a3﹣a6＝1时,∵a3﹣a6＝﹣3d∈〔0,3,a3﹣a6＝2kπ+,k∈Z,∴﹣3d＝,d＝﹣．∵＝+〔a1﹣n,且仅当n＝9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,∴﹣＝9,化为．∴＝．故选：C．[点评]本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法,属于难题．12．〔5分在锐角三角形△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,〔a+b+c〔a+c﹣b＝,则cosA+sinC的取值围为〔A．B．C．D．[分析]由已知利用余弦定理可求cosB,结合B是锐角,可求B,进而可得,利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC＝,由已知可求围,利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．[解答]〔本题满分为12分解：由：〔a+b+c〔a+c﹣b＝,可得：,根据余弦定理得：,∵B是锐角,∴．∴,即,＝,又△ABC是锐角三角形,∴,即,∴,∴,∴．故选：B．[点评]本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．〔5分已知函数f〔x＝sinx+cosx,则f〔x的最大值为2．[分析]由条件利用两角和的正弦公式,正弦函数的值域,求得函数的最大值．[解答]解：∵函数＝2sin〔x+,∴f〔x的最大值为2,故答案为：2．[点评]本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的值域,属于基础题．14．〔5分等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2＝2,S4＝8,则S6等于18．[分析]由等差数列{an}的前n项和性质可得：S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等差数列．即可得出．[解答]解：由等差数列{an}的前n项和性质可得：S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等差数列．∴2×6＝2+S6﹣8,解得S6＝18．故答案为：18．[点评]本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．15．〔5分已知△ABC角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,sinC＝2sinA,则△ABC的面积为．[分析]由题意和正余弦定理可得a,c的值,由同角三角函数的基本关系可得sinB,代入三角形的面积公式计算可得．[解答]解：在△ABC中由正弦定理可知：＝＝＝2R,由sinC＝2sinA,则c＝2a,cosB＝,sinB＝＝,由余弦定理可知：b2＝a2+c2﹣2accosB,即32＝a2+〔2a2﹣2a•2a×,解得a＝,c＝3,△ABC的面积S＝acsinB＝××3×＝,故答案为：,．[点评]本题考查三角形的面积,涉及正余弦定理的应用,属基础题．16．〔5分已知数列满足：a1＝1,an+1＝,〔n∈N*,若bn+1＝〔n﹣λ〔+1,b1＝﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值围为λ＜2．[分析]数列{an}满足：a1＝1,an+1＝,〔n∈N*,两边取倒数可得,化为,利用等比数列的通项公式可得,于是bn+1＝〔n﹣λ〔+1＝〔n﹣λ•2n,由于b1＝﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列,可得bn+1＞bn,解出即可．[解答]解：∵数列{an}满足：a1＝1,an+1＝,〔n∈N*,∴,化为,∴数列是等比数列,首项为+1＝2,公比为2,∴,∴bn+1＝〔n﹣λ〔+1＝〔n﹣λ•2n,∵数列{bn}是单调递增数列,∴bn+1＞bn,∴n≥2时,〔n﹣λ•2n＞〔n﹣1﹣λ•2n﹣1,化为λ＜n+1,∵数列{n+1}为单调递增数列,∴λ＜3．n＝1时,b2＝〔1﹣λ×2＞﹣λ＝b1,解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值围为λ＜2．故答案为：λ＜2．[点评]本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔10分已知公差不为零的等差数列{an}中,a1＝1,且a1,a3,a9成等比数列．〔1求数列{an}的通项公式；〔2设bn＝+n,求数列{bn}的前n项和Sn．[分析]〔1利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．〔2利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．[解答]解：〔1设数列{an}公差为d,∵a1,a3,a9成等比数列,∴,∴〔1+2d2＝1×〔1+8d．∴d＝0〔舍或d＝1,∴an＝n．〔2令；Sn＝b1+b2+b3+…+bn＝〔21+1+〔22+2+〔23+3+…+〔2n+n＝〔21+22+…+2n+〔1+2+3+…+n＝＝,．[点评]本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．18．〔12分〔1设α,β为锐角,且,求α+β的值；〔2化简求值：．[分析]〔1利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos〔α+β的值,结合α+β的围,可得α+β的值．〔2利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式,求得所给式子的值．[解答]解：〔1∵α为锐角,,∴；∵β为锐角,,∴,∴cos〔α+β＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝,∵α+β∈〔0,π,∴α+β＝．〔2＝＝sin50°•＝＝1．[点评]本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、诱导公式的应用,属于基础题．19．〔12分已知函数〔1求函数f〔x的最小正周期和函数的单调递增区间；〔2已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,求AB．[分析]〔1利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asin〔ωx+φ的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,最后将层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间；〔2根据f〔A＝3时,求解A,正弦定理求解b,再有余弦可得AB即c的值〔或者求解sinC,正弦定理求解c[解答]解：函数,化解可得：f〔x＝2sin2xcos+cos2x+1＝sin2x+cos2x+1＝2sin〔2x++1．∴函数f〔x的最小正周期T＝,由得,故函数f〔x的单调递增区间,〔2∵,∴,∵0＜A＜π,∴,∴,,在△ABC中,由正弦定理得：,即．,即．[点评]本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,正余弦定理的运用和计算能力,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．20．〔12分已知数列{an}前n项和〔1求数列{an}的通项公式；〔2若,求数列{bn}的前n项和Tn．[分析]〔1利用数列递推公式即可得出．〔2利用"裂项求和"方法即可得出．[解答]解：〔1数列{an}前n项和为当n≥2时,an＝Sn﹣Sn﹣1＝＝n+1．当n＝1时,,不满足an＝n+1．∴{an}的通项公式为．〔2当n≥2时,＝＝．当n＝1时,,∴Tn＝b1+b2+b3+b4+…+bn﹣1+bn＝﹣++++…++＝﹣+＝﹣．[点评]本题考査了利用递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．21．〔12分△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA•cosC﹣cos〔A+C＝sin2B．〔Ⅰ证明：a,b,c成等比数列；〔Ⅱ若角B的平分线BD交AC于点D,且b＝6,S△BAD＝2S△BCD,求BD．[分析]〔Ⅰ利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC＝sin2B,由正弦定理可得：b2＝ac,即可得证．〔Ⅱ由已知可得：AD+CD＝6,由三角形面积公式可得AD＝2CD,从而可求AD＝4,CD＝2,由〔Ⅰ可得：b2＝36,利用角平分线的性质可得AB＝2BC,即c＝2a,从而可求a,c的值,进而利用余弦定理可求cosA,即可由余弦定理求得BD的值．[解答]〔本题满分为12分解：〔Ⅰ证明：∵cosA•cosC﹣cos〔A+C＝sin2B．∴cosA•cosC﹣〔cosAcosC﹣sinAsinC＝sin2B,可得：sinAsinC＝sin2B,∴由正弦定理可得：b2＝ac,∴a,b,c成等比数列；〔Ⅱ如图,∵角B的平分线BD交AC于点D,且b＝6,可得：AD+CD＝6,∵S△BAD＝2S△BCD,可得：AD＝2CD,∴解得：AD＝4,CD＝2,∵由〔Ⅰ可得：b2＝ac＝36,∵＝,可得：AB＝2BC,即c＝2a,∴解得：a＝3,c＝6,∴cosA＝＝,∴BD＝＝2．[点评]本题主要考查了两角和的余