抛物线焦点弦性质

本文格式为Word版，下载可任意编辑——抛物线焦点弦性质抛物线焦点弦性质总结一、基础回想：A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2)1.以AB为直径的圆与准线L相切；x1?x2?p22.4;3.y1?y2??p2;4.?AC'B?90?;5.?A'FB'?90?;6.AB?x1?x2?p?2(x3?p2)?2psin2?;7.

1AF?12BF?P;8.A、O、B'三点共线；9.B、O、A'三点共线；10.Sp2?AOB?2sin?；S211.?AOB?(p)3AB2（定值）

；

1

12.AF?'PP；BF?；

1?cos?1?cos?'13.BC垂直平分BF；14.AC垂直平分AF；

'15.CF?AB；

''16.AB?2P；17.CC'?18.KAB=11AB?(AA'?BB')；22p；y3y2;x2-p219.tan?=220.A'B'?4AF?BF;21.C'F?1A'B'.222.切线方程y0y?m?x0?x?

性质深究

一)焦点弦与切线

1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何特别之处？结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦AB?x轴时，则点P的坐标为??证明:从略

结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

??p?,0?在准线上．

2?2

3、AB是抛物线y2?2px（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1?l，

BB1?l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB．结论7PF⊥AB．结论8M平分PQ．

结论9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．结论10FA?FB?PF结论11S?PABmi?np二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果：结论12①xp?22y?y2y1y2，yp?1

22p结论13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．结论14?PFA??PFB结论15点M平分PQ结论16FA?FB?PF

2二、经典问题：

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少绮丽的篇章.

例1、P为抛物线y?2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）

2A.相交B.相切C.相离D.位置由P确定

解如图，抛物线的焦点为F??p?,0?，准线是?2?YHQNPM2p.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PF?PH，2p且QH?OF?.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

2l:x??

OF(p,0)l:x=-p2X3

y=2px2中位线，MN?111OF?PQ?PH?PF.故以??222PF为直径的圆与y轴相切，选B.

注：相像的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，大量都与它的焦点弦有关.理解并把握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

例2、过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，求证：（1）AB?x1?x2?p（2）证明（1）如图设抛物线的准线为l，作

112??AFBFppAA1?lA1,BB1?l于B1，则AF?AA1?x1?，

2pBF?BB1?x2?.两式相加即得：AB?x1?x2?p

2（2）当AB⊥x轴时，有

YA1A(x,y)11X?AF?BF?p，112??成立；AFBFpFB1B(x,y)22l当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

p?p???y?k?x??.代入抛物线方程：k2?x???2px.化简得：

2?2???p22kx?p?k?2?x?k?042222?1?

k2∵方程（1）之二根为x1，x2，∴x1?x2?.

4x1?x2?p111111??????pp2AFBFAA1BB1x?px?px1x2??x1?x2??122224x1?x2?px1?x2?p2??.22pppp?x1?x2?p?p??x1?x2??2424?4

故不管弦AB与x轴是否垂直，恒有

112??成立.AFBFp（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的大量试题，又与它的切线有关.理解并把握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

例3、证明：过抛物线y2?2px上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）证明对方程y2?2px两边取导数：2y?y??2p，?y??p.切线的斜率yk?y?x?x0?pp.由点斜式方程：y?y0??x?x0??y0y?px?px0?y02y0y0?1?

2y0y=p（x+x0）?y0?2px0，代入（）即得：1（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在大量不不易发现，却简单为人疏忽的定点和定值.把握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例：1.一动圆的圆心在抛物线y?8x上，且动圆恒与直线x?2?0相切，则此动圆必过定点（）

2A.?4,0?B.?2,0?C.?0,2?D.?0,?2?

显然.此题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线y?2px的通径长为2p；

3.设抛物线y?2px过焦点的弦两端分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?，那么：y1y2??p2

22以下再举一例

例4、设抛物线y?2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点

分析：假定这条焦点弦就是抛物线的通