弦-切角等于所夹弧对的圆周角

弦-切角等于所夹弧对的圆周角平面几何中，“圆”是极其重要的。圆涉及的知识面广，综合性强。几乎可以把其它平面中的内容都结合到有关圆的题目中去，证明有关圆的题目，常用到重要定理，圆幂定理就是。圆幂定理包括：“相交弦定理”及推论；“切割线定理”及推论；熟悉圆幂定理的内容，深刻领会它的作用，灵活地应用这些定理，与圆有关的比例线段问题的前提和基础，希望同学们重视。弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。判断下列图形中的∠

BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上”的条件；图B中，缺少“一边和圆相交”的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切”的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件。所以，图中的∠BAC都不是弦切角。分类（以圆心的位置分）：（1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。推论1：弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。必刷好题如图1（4），

有PA=PC·PD当点P从圆内运动到圆上、圆外时（从图1（1）到图1（3）），

总有PA·PB＝PC·PD，图1（2）中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB＝PC·PD，此时PA=PB，所以PA=PC·PD当割线PDC也变为切线PC时，总有PA·PB＝PC·PD，因为PC＝PD，PA＝PB，所以PA=PC，即PA＝PC，此为切线长定理。当图1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，根据相交弦定理，同样有PA·PB＝PC·PD又根据垂径定理，2＝PC·PD。当图1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，根据相交弦定理，同样有PA·PB＝PC·PD，又根据垂径定理，有PA=PB，所以PA＝PC·PD。在上面的图形变化中，点P的位置和AB、CD的位置在不断地变化，而变化中有不变量，即PA·PB＝PC·PD的关系是不变的。我们应抓住图形的本质特征，我们把相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理。考点一弦切角1.如图，AB

是⊙O的直径，C为圆周上一点，BD

是⊙O的切线，B为切点．（1）在图（1）中，∠

BAC＝30°，求∠

DBC

的度数；（2）在图（2）中，∠

BA1C＝40°，求∠

DBC

的度数；（3）在图（3）中，∠

BA2C＝α，求∠

DBC

的度数；（4）通过（1）（2）（3）的探究你发现了什么？用你自己的语言叙述你的发现．2.如图，已知

AB

是圆O的弦，AC

是圆O的切线，∠

BAC

的平分线交圆O于D，连

BD并延长交

AC

于点C，若∠

DAC＝40°，则∠

B＝（）度，∠

ADC＝（）度。3．如图为△ABC

和一圆的重迭情形，此圆与直线

BC

相切于C点，且与

AC

交于另一点D。若∠

A＝70°，∠

B＝60°，则CD的度数为（）．4．如图，割线

PAB

过圆心O，PD

切⊙O于D，C是BD上一点，∠

PDA＝20°，则∠

C的度数是（）度。5．如图，已知

AB

是⊙O的直径，PC

切⊙O于点C，∠

PCB＝35°，则∠

B等于

度。6．定义：由圆的切线和过切点的弦所组成的角叫做弦切角，如图

1，已知

AB

切⊙O于

D点，CD

是⊙O的弦，则图中∠

BCD

与∠

ADC

都是弦切角。（1）如图2，作∠

BCD

所夹弧

CD

所对的圆周角∠

M，求证：∠

BCD＝∠

M；（2）请用文字语言总结（1）中的结论；（3）如图

3，PB

切⊙O于

B点，PAB

交⊙O于A、B两点，利用（2）中的结论，求证PC＝PAPB．重点关注题李华是个爱动脑筋的孩子，学完与圆有关的角圆周角、圆心角后，意犹未尽，又查阅到了与圆有关的另一种角：弦切角。请同学们先仔细阅读下面的材料，再完成后面的问题。材料：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。如图1，弧AMB是弦切角∠

PAB

所夹的弧，他发现弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有关系。问题1：如图2，直线

DB

切⊙O于点A，∠

PCA

是圆周角，当圆心O位于边

AC

上时，求证：∠

PAD＝∠

PCA，请你写出这个证明过程。问题拓展：问题1：如果圆心O不在∠

PCA

的边上，∠

PAD＝∠

PCA

还成立吗？如图3，当圆心O在∠

PCA

的内部时，李华证明了这个结论是成立的。他的思路是：作直线

AE，联结

PE，由问题1结论知∠

PAD＝∠

PEA，而∠

PCA＝∠

PEA，从而证明∠

PAD＝∠

PC。问题2：如图4，当圆心O在∠

PCA

的外部时，∠

PAD

＝∠

PCA

仍