基于弦长密度函数的复合材料浆体厚度定量估计

基于弦长密度函数的复合材料浆体厚度定量估计

混凝土固结距离是水泥基材料薄视结构的重要参数。它为研究负荷影响下老微结构的融合、相邻界面的重构对微观结构的影响以及界面的连通性提供了基础。不同尺度粒子的中心质效应、裂纹扩展以及复合材料的断裂能也与集料间距有密切关系。另外,建立材料微观结构与宏观性能之间定量关系是整个材料学科群内各个领域的最终目标,既是热点问题也是难点问题。随着科技的进步和知识结构的完善,多尺度模拟技术逐渐被意识到是一种很好地建立材料微观结构与宏观性能之定量间关系的研究方法。多尺度模拟技术的基本思路是根据研究需要低尺度的微观结构信息,如:纳观(nano-level)、微观(micro-level)或者细观(meso-level)的结构信息,将这些微观尺度的结构信息输入到高一级的尺度以便获得高一级尺度的材料性能。在采用多尺度模拟技术研究材料微观结构与宏观性能之间关系的一个关键问题是需要将各个尺度等级的模型尺度设定在合理的范围内,也就是说模型尺度的设定不仅需要考虑是否满足代表性单元尺度的要求,还要考虑是否与实际情况相吻合。对与界面过渡区微观结构相关的微观模型而言,其模型尺度的设定也应与实际混凝土中的集料表面间距尺寸相符。然而,由于混凝土的各组分是不透明的,因此很少有研究人员考虑计算混凝土中集料间距分布问题。Diamond等可能是最先开始研究混凝土中集料间距的研究人员,他用扫描电镜(scanningelectronmicroscope,SEM)研究了抛光的砂浆表面从而获得了砂浆中截面上相邻细集料之间最近间距的尺度范围,其结果表明截面上集料的最近间距平均值在75～100µm变化。同时,Diamond等也发现集料的细度对集料最近间距的平均值有影响,但他没能给出二者之间的关系式。之后,Koenders开发了Ribbon模型(Ribbonmodel)试图获取集料细度与集料体积分数对集料表面间距平均值的影响关系,遗憾的是这个模型是错误的,其主要原因是没有考虑到填充集料之间空隙所消耗的浆体。与此同时,Rangaraju提出了1个考虑在集料紧密堆积体系中填充集料间空隙所需消耗的浆体的计算集料表面最近间距平均值的模型,该模型的实际操作起来比较复杂。文献提出了1个正12面体模型来评价集料细度和集料体积分数对邻近集料表面间距平均值影响的定量公式。不过这个模型要假定所有集料尺寸均相同,而单尺度粒子的最高堆积密度约不超过75%,但是实际混凝土中的集料体积分数在60%～80%之间变化。鉴于这一缺陷,文献借助于Fullman提出的平均自由程(meanfreepath)公式其中:λ表示粒子间的平均自由程(mm);ϕ为混凝土中的集料体积分数;Sagg表示单位体积混凝土中集料的表面积(mm–1)。用式(1)来估计混凝土中集料表面间距的平均值。用任意采样线穿过混凝土时,邻近集料表面间距的统计平均值称之为相邻集料间的平均自由程(见图1所示)。平均自由程方法后来也被Hu等所采用。平均自由程方法的优点是对集料的形状、尺寸以及集料的体积分数没有任何限制,其缺点是无法获得集料表面间距分布的详细信息。因此,如果有什么方法能获得混凝土中集料间浆体厚度分布的解析解,那将为研究人员提供很大的方便。Torquato等在物理学领域提出的弦长密度函数(chord-lengthdensityfunction)为解决这个问题提供了可能的思路。1平均自由程公式对于统计随机均匀介质而言,弦长密度函数p(i)(x)定义为:穿过复合材料的随机直线与i相之间的重叠部分的弦线长度在区间[x,x+dx]上的概率。因为p(i)(x)是概率密度函数,所以p(i)(x)≥0,并且。如果研究的是水泥浆体,那么x应为无限长随机线与浆体重叠部分的长度,p(x)表达的就是浆体厚度的概率密度函数,此函数与文献所研究的邻近集料表面最近间距的概率密度函数不同。为方便起见,在与混凝土细观结构相关的模拟技术中,集料常被简化为球形粒子。根据Torquato的描述,对有多尺度分布的球形集料制备的混凝土而言,浆体厚度的概率密度函数p(x)可以表达为浆体厚度的累计概率密度函数P(x)可以表达为浆体厚度的平均值tp为由于单位体积混凝土中集料的总表面积Sagg可以表达为结合式(4)和式(5)得可以看出,式(6)与式(1)给出的平均自由程公式形式上完全一样。下面就需要验证式(2)和式(3)的合理性。2试验证实2.1混凝土结构模型为了验证上述公式的合理性,先生成了1个低集料体积分数的周期边界的立方体模型结构,立方体的边长为300mm,集料的粒径范围为5～10mm,粒子数量为49903个,模型结构中集料的初始体积分数为30.1969%,然后采用动态混合算法将结构密实至固相体积分数达65%的程度(见图2)。目标结构中集料的体积分数在实际混凝土所用集料体积分数(60%～80%)的范围内。目标结构编号为“Fuller–300–5–10–65”,目标结构中集料的粒径分布结果见图3所示。2.2列截面分析法的基本原理为了得到浆体厚度分布,本文采用系列截面分析法(serialsectionanalysisapproach)与系统线采样(systematiclinesampling)相结合的方式。系列截面分析法的基本思想为逐层切整个三维目标结构,在每一层上用不同的颜色代表不同的物相,如:用白色代表浆体部分;用黑色代表集料部分。将一组等间距平行线覆盖在每一层的截面上。这里因为考虑的是浆体厚度,所以对每一根采样线只记录落在白色部分的线段长度。有了这些线段的长度,就可以确定浆体厚度的范围。将整个厚度范围按照预先给定的规则分成M个子区间,判断每个线段λi所属的子区间[xi,xi+dxi],并对属于相应区间的线段进行数量累计,在知道所有落在浆体部分的线段总数后,便可以获得浆体厚度分布的概率密曲线和累计概率分布曲线。浆体厚度的平均值也可以通过累计所有落在浆体上的线段长度及线段的数量计算获得。2.3模型结构与理论解显然,上述算法采用的是图像分析技术,因而计算结果的可靠性与图像的分辨率大小、层数以及采样线的数量密切相关。分辨率越高,可以探测的间距也越小。截面数量越多,获得的样本数量也越多。但分辨率增加和层数增加都会导致工作量的增大。因为考虑的是理论解预测的准确性问题,因此有必要首先调查一下图像分辨率对模拟结果的影响问题。在层数不变的条件下,对同一个模型结构用7个不同的分辨率(即1,0.2,0.1,0.05,0.033,0.025,0.02mm/pixel)来说明分辨率大小对浆体厚度预测精度的影响。结果见图4所示。图4a给出的是不同分辨率下浆体厚度概率密度分布曲线;图4b表示分辨率对浆体厚度平均值的影响。显然,由图4看出:预测精度随着分辨率的提高而增加。当分辨率达到0.05mm/pixel后,分辨率的增加对预测精度影响已经不明显。因此,下面采用分辨率为0.02mm/pixel和层厚为1mm来研究模型结构浆体厚度分布情况。为了获取浆体厚度分布情况,首先有必要确定分区规则。鉴于小厚度浆体出现的概率要高于大厚度浆体出现的概率,因此,对模型结构和理论解采用式(7)所示的区间分区规则来获取它们的浆体厚度分布概率密度曲线和累计概率曲线其中:∆xi=xi+1-xi,ix∈[xmin,xmax],x0=xmin,xM=xmax,i=0,1,…,M;M表示区间的数量,这里取M=30。通过模型结构得到模拟结果和由2.3章节得到的理论解之间的比较见图5、图6和表1所示。图5给出的是浆体厚度概率密度分布曲线。图6给出的是浆体厚度累计概率分布曲线。表1是浆体厚度的统计平均值。图5a和图5b之间的差别是:图5a横坐标是常规线性坐标表达方式(linearscale);图5b的横坐标是以10为底的对数坐标,其目的是为了能够看到浆体厚度比较小的部分在理论值和模拟结果之间的差异。图5a是为了更清楚地看到浆体厚度比较高时理论解和模拟结果之间地差异。同理,图6a的横坐标是常规线性坐标表达方式;图6b的横坐标采用对数表达方式。图5a显示,在浆体厚度比较大时,理论解的预测精度很高。当浆体厚度比较小时(见图5b),理论解的预测相对较弱。这里所说的“浆体厚度较小的时”是一个相对概念,它是基于预测精度较低的浆体厚度值与表1中平均浆体厚度结果之间的比较得到的。由图6的浆体厚度累计分布曲线看出,浆体厚度较小的部分占整个浆体厚度累计分布曲线的比例很低,因此,在累计分布曲线上对预测精度不会引起严重的影响,表1的平均浆体厚度结果进一步证明了这个观点。此外,浆体厚度累计分布曲线的模拟结果与理论预测结果之间的吻合程度(见图6)要比浆体厚度概率密度曲线的吻合程度(见图5)高,这主要是概率密度曲线对结构变化的敏感程度要比累计概率曲线对结构变化的敏感程度高的缘故。综上所述,理论解较好地预测混凝土中浆体厚度的分布情况。因此,只要知道了实际水泥基复合材料中集料的粒径分布情况和集料的体积分数,人们便可以用提出的方法来预测浆体厚度的分布情况。3集料粒径对集料细度的影响由于Fuller分布[见式(8)]常被用来代表实际混凝土中集料的粒径分布情况,因此,以符合Fuller分布的集料为例,来预测砂浆和混凝土中浆体的厚度分布情况其中:Fv(D)表示集料的体积基(volume-based)累计概率分布函数;D表示集料的直径(mm);Dmax表示集料的最大直径(mm);Dmin表示集料的最小直径(mm)。因为集料的体积基累计概率分布函数已知,因此,由式(9)很容易得到集料的数量基(number-based)概率密度函数,其结果为集料数量基平均直径的n阶原点矩可以表达为集料数量基平均半径的2阶原点矩和3阶原点矩分别为鉴于实际混凝土中集料的最小粒径可能很小,为方便起见,有必要先设定一下集料的最小粒径。鉴于Koenders曾假定集料的最小粒径为0.125mm,所以,假定Dmin=0.125mm,所考虑的集料粒径范围分别为:0.125～5,0.125～10,0.125～20mm和0.16～30mm.。当然,研究人员可以根据实际情况做出自己的选择,这里只是给出1个方法。这样根据式(3)很容易得到各种模型砂浆和混凝土中浆体厚度的累计分布曲线。结果见图7所示。根据式(4)可以计算出集料体积分数和集料细度对浆体厚度平均值的影响,结果见图8所示。如果将浆体厚度分布累计概率曲线中小于2.5%和高于97.5%的上下界部分忽略的话,图7a显示:当集料体积分数在40%～70%之间变化时,模型砂浆中浆体厚度分布的主要部分集中0.02～2mm到0.006～0.5mm之间变化。对采用较粗集料制备的模型混凝土而言(见图7d),随着集料体积分数的增加,浆体厚度的主要部分在0.02～3mm到0.08～1mm之间变化,大部分集中出现在0.01～1.5mm的区域内。另外,图8显示:浆体厚度的平均值大概在190～860µm。在集料体积率保持不变的条件下,集料细度的增加将导致浆体厚度平均值的减小。综合本文给出的定量表征混凝土中浆体厚度的方法以及文献给出的表征混凝土中邻近集料表面最近表面间距的方法,可以根据自己配制的混凝土中集料粒径分布信息和集料体积分数信息定量表