2021年山西省吕梁市仁杰中学高三数学理联考试卷含解析

2021年山西省吕梁市仁杰中学高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知i为虚数单位，若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a等于()

1_1

A.2B.2C.2D.-2

参考答案：

A

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】计算题.

【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出.

(2-3=0

【解答】解：:•复数(1+ai)(2+i)=2-a+(l+2a)i是纯虚数，...il+2a=0,解得

a=2.

故选A.

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键.

4

2.设a为锐角，则"tana>2"是"-3<tan2a<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

C

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑.

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等

式的解法进行求解即可.

【解答】解：由tana>2,a为锐角得60°<arctan2<a<90°,则120°<2a<

44

180°则tan(2arctan2)<tan2a<0,而tan(2arctan2)=-3<0,所以，有"-3<

tan2aVO”；

充分性成立.

*/a为锐角，/.0°<2a<180°,

4

-3<tan2a<0,

.•.90°<2a<180°,贝IJ45°<a<90°,贝ijtana>l

442tana

由-3vtan2a<0得-3<1-tana,

4

即-3(1-tan2a)>2tana,

即2tan%-3tana-2>0,

〈-工

解得tana>2或tana2(舍)，即必要性成立，

4

故"tana>2”是“-'Vtan2aVO”的充分必要条件,

故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正切函数的图象和性质以及一元

二次不等式的解法是解决本题的关键.

3.设集合”=[*Ix>2},P«(x|x<3),那么«xcM^trc，”是“*女尸(W”的

()

A、充分非必要条件B、必要非充分条件

C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件

参考答案：

【知识点】命题及其关系；A2

【答案解析】B解析：解：XLMI虹U产表示实数集R,尸=12Vx<$,所

以只有B选项的说法是正确的.

【思路点拨】根据条件求出所表达的集合，再根据命题的关系找到正确结果.

4.设p:|4x-3|<l,q:X-(2a+l)x+a(a+l)<0,若非p是非q的必要而不充分条件，则实

数。的取值范围是

参考答案：

A

**X［

由|4x-3|41解得2一’一，由--(2a+l)x+a(a+l)40得(X-a)(X-a-1)S0,即

a<x<a+l,若非p是非q的必要而不充分条件，则9是P的必要而不充分条件，所以

、八OgxW-

有［a+12l,即［aNO,所以2,选A.

5.若实数1如一，<。,则点汽不可能落在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

参考答案：

D

1-X2.;个心

佝=’2、

6.设函数"+x—2,;r>L则W(2)J的值为()

15_278

A.16B.16C.9

D.18

参考答案：

/②=4,./(有卜公

…3T

416,选A.

7.函数“X)在定义域H内可导，若/(x)=/(2・x).且(x-l)/tx)>0,若

a=/(OX2>=/(l).e=/(3).

则a.瓦c的大小关系是（)

A.a>b>cB.c>a>bc.b>a>cD.c>b>a

参考答案：

B

略

8.按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（）

A.6B.5C.4D.3

参考答案：

B

9.执行如图所示的程序框图，令¥=/<»,若/（◎>1，则实数a的取值范围是

（）

A3⑵皿刃BSTXKLM)

c.S⑵Udi)D.•一。皿5]

参考答案：

D

分析：先根据程序框图得/(9解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.

I

,8=2x-3.2<x<5a>5

a<22<a<5

或《

2

详解：因为x，X>,所以由得a>l2a-3>l

所以a<-瞰l<aW域2<a45二。<-跋1<]45

因此选D.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关

概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终

止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

10.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数丫=『(x).当x#0时，f(x)

f(x)11』工

二_>0.若a=%(1),b=-2f(-2),c=(Ini)f(Ini,则a、b、c的大小

关系是()

A.a<b<CB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

参考答案：

D

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用.

f(x)

【分析】根据式子得出F(x)=xf(x)为R上的偶函数，利用f'(x)+x>0.

当x>0时，x?f'(x)+f(x)>0,

当x<0时，x?f'(x)+f(x)<0,判断单调性即可证明a,b,c的大小.

【解答】解：..•定义域为R的奇函数y=f(x),

；.F(x)=xf(x)为R上的偶函数,

F'(x)=f(x)+xf'(x)

f(x)

•当xWO时，f'(x)+X>0.

,当x>0时，x?f'(x)+f(x)>0,

当x<0时，x?f'(x)+f(x)<0,

即F(x)在(0,+8)单调递增，在(-8,0)单调递减.

gm』厂.

F(2|)=a=2f(3)=F(InVe),F(-2)=b=-2f(-2)=F(2),F(In2)=c=

JJ

(In2)f(In2)=F(ln2),

VlnVe<ln2<2,

：.F(InVe)<F(ln2)<F(2).

即a<c<b

故选：D

【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用

导数判断即可，属于中档题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

aw(・¥.0).疝a=・之.,、

11.已知25,则c°K"-a)=▲.

参考答案：

4

答案：

/(x)=log(ax5-ax+-)[1.-J

12.若-a2在2」上恒正，则实数。的取值范围是

参考答案:

13.若f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(2-x),则f(0)+f(2)

参考答案:

-2

考点：函数奇偶性的性质.

专题：计算题；函数的性质及应用.

分析：运用奇函数的定义，已知解析式，可得f(0)=0,f(2)=-2,即可得到结论.

解答：解：f(x)为R上的奇函数，

贝!|f(-x)=-f(x),

即有f(0)=0,f(-2)=-f(2),

当x<0时，f(x)=logj(2-x),

f(-2)=log2(2+2)=2,

则f(0)+f(2)=0-2=-2.

故答案为：*2.

点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题.

lim------

14.f(x)在x=l处连续，且7x7=2,则f⑴等于_.

参考答案：

0

l+2r

15.若复数-i,则2=.

参考答案：

2-i

/(x)=iogl^z3

16.若函数IX-1伶为常数)在区间(2,4)上是减函数，贝但的取值范围是

参考答案：

[1,2)

略

17.已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，当时，〃力=回曲(-9，则

，(制=

参考答案：

0

【分析】

利用奇函数的性质可以求出3=-人恐=-鹏2=-1,最后求出，(-D的值.

【详解】所以。

/<2)=-/<-2)=-IO8I2=-1,，(/(2»=/(-D=Q-=

【点睛】本题考查了复合函数求值问题，考查了奇函数的性质，考查了运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(12分)如图，在正三棱柱ABC-ABG中，点D为棱AB的中点，BC=1,AAFV3.

(1)求证：BC〃平面ADC；

(2)求三棱锥D-ABC的体积.

参考答案：

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】：空间位置关系与距离.

【分析】：(1)连接AG,交AQ于点0,连结0D,由已知得0D〃BC,由此能证明BG〃

平面ADC.

(2)由已知得AB_LCD,从而CD,平面ABBA,进而CD,平面DBA,由此能求出三棱锥D

-AiBiC的体积.

【解答】：(1)证明：连接AG,交AC于点0,连结0D,

•••ACCA是平行四边形，...0为AG中点，D为AB的中点，

1

.,.0D/7BC1,0D=2BCi,B3?平面A£D,0D?平面ACD,

.♦.BC〃平面ADC.（6分）

（2）解:正AABC中，；D为AB的中点,AABXCD,

又；平面ABC_L平面ABBiAi,平面ABBA,

.•.CDJ_平面DBA,（8分）

送A立

VCD=2,^A1B1D=2,（9分）

AD-AiBic=c-AiBiMLljbAAiBiD=322=4.（12分）

【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意

空间思维能力的培养.

19.已知函数/

（I）求函数/（X）的极值点；

（II）若直线，过点（°-1）,并且与曲线了二f④相切，求直线？的方程.

（III）设函数S+'七其中aeR,求函数在上的最小值（其中e

为自然对数的底数）

参考答案：

M：(I)/*(x)=lnx+l,x>0...................................................................1分

而r(x)>0=lnx+l>0ox>[,/*(x)voalnx+l<O«O<x<-,

所以/G)在(0,目上单调递M.在g,+8)上单调递增............3分

所以X=J是函数/(x)的极小值点,极大值点不存在..............4分

e

(H)设切点坐标为&,*),则乂=x°lnxo,切歧的斜率为ln%+L

所以切在/的方程为y-XolnXoElnxo+lXx-xJ.......................6分

又切线/过点(0.-1),所以有-l-%lnx°=(1nxe+1)(0-%)

第得x0=1,%=0.

所以R统/的方程为y=x-l.............................................................

(HI)g(x)=xlnx-(a+l)x.JMg'(x)=lnx-a.

g'(x)<0olnx-a<0=0<x<e".g'(x)>0=x>e".

所以g(x)在(0,e")上单调递减,在(一,x。)上单调递增............8分

①当/S1,即040时,£x)在［Le］上单调酣••

所以£x)在\e］上的最小值为g(l)=-o-L—................................9分

②当iv/ve.即0<a〈l时,£x)在［3)上能i•递点在(e\e］上单调递增.

式x)在&同上的.小值为g(e)=T..........................................M分

③当eSe".即a21时，£x)在卜,同上隼调遥减.

所以向x)在［l,e］上的量小值为g(e)--ae.....................................12分

像上，当Q40时，g(x)的■小值为-a-L当0<”1时，g(x)的最小值为-<，

当时，g(x)的最小16为-oe..................................................13分

略

20.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系戒”中，以原点°为极点，”轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标

系中，设点P为曲线6力・如°"上的任意一点，点Q在射线op上，且满足

他国-・，记Q点的轨迹为G-

(1)求曲线的直角坐标方程；

⑵直线■■亍分别交G与G交于A,B两点，求⑷.

参考答案：

【知识点】极坐标方程

【试题解析】(1)曲线G的直角坐标方程为：=2x.

设Q(xj),P(x()J。)，所以x；+_y；=2x().⑴

若"1侬卜6,则x%+y%=6.露)

yJo%

_=一»y--%

又点Q在射线OP上，所以X仆所以为(3)

将(3)代入(2)得：x(x：+M)=64...x=3.

故曲线G的直角坐标方程为3；

1

18上—5

(2)直线’3"与aQ-28sd的交点A(1,3),即(2,~2)；

与0，的交点B(3,3/)

,1=J(3-与+(38-野=5

所以Y22

21.如图1,在矩形ZBCO中，E,尸分别是46,CO的中点，沿斯将矩形踊R折

起，使N5)=90°,如图2所示：

(I)若G,A分别是/E,CF的中点，求证：碗〃平面3CD；

(II)若NK=1,ZDC£-W,,求三棱锥C—O质的体积.

B

AD

图i图2

参考答案：

1

（I）见解析；（II）..

试题分析：（I）思路一：取〃中点尸，连结PG、PC,根据G,A分别是CF

的中点，应用三角形中位线定理得到四边形C为平行四边形.

思路二：取CD中点2,连结040口，根据G,H分别是1的中点，应用三角

形中位线定理得到

四边形//日为平行四边形，又的《平面ZMMJ,42<=平面Z&CD,二曲〃平

面JBCD.

思路三：取所中点M,连结MG,M7,根据G,H分别是的中点，

GMIIAD,MHI1CD

得到GW//平面4C。，皿〃平面/BCO,由平面<MT〃平面Z6C0即得.

（H）根据NB）=90TCFLEF}EFfyDF=F

得到CF_L平面皿密，又4后=囱=1,推出ADCR为等边三角形，计算

防=1得到326

试题解析：（I）法一：取d4中点尸，连结HG、

PC..........................................................1分

•：G,H分别是/A,CV的中点

CH//-HECH=UEPGU-HKPG=-HE

2,且2,2,且2

B,..........—

L

A--------5.PG//CHiPG=CH

二四边形CPGV为平行四边形，

：.Gfl/PC.•…4分

乂的《平面&CD,"u平面/1CD

二Gff//平面RJCD...................6分

法二：取CD中点2,连结"0ff.........1分

•;G,日分别是的中点

AG//QH,AG=QHi

，四边形典*为平行四边形

GBUAQ..................................4分

又6//(Z平面加CD,40u平面加CD

二Gff〃平面dffCD......................6分

法三：取X中点M,连结MG,MB1分

分别是4ECF的中点，

：GMllAD,MHUCD

又如（2平面加口），dOu平面

MHtz平面djja）,CDu平面加CD

二由〃平面J«CD,MI〃平面Z8CD……4分

•:WcMH=M,

：.平面GMH//平面45CD

而GBu平面GMH

二GV//平面

AHCD

6分

（n）vZOZ）=5V_•.CFA.DF

--CFiEF,EFcDF=F

二CF人平面4DFE....................................................................................8

分

又屈二75J二1,

，CE-DErJ+EF、,且CF=DF=1

-.-ZDCK-60r二AD<K为等边三角形

而及必