2021年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷解析

2021年全国普通高等学校招生统一考试全国新高考I卷

数学试卷

一、选择题

1.设集合A={划―2＜》＜4},8={2,3,4,5},则AI8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,则zQ+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圆锥的底面半径为血，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2V2c.4D，4X/2

函数fM=7sin(x-胃单调递增的区间是()

4.下列区间中，

B.加C唱D信㈤

5.已知石，鸟是椭圆C:]+A=l的两个焦点，点M在C上，则讣|M周的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

6.若tan”-2,则包*粤=()

"B.二-2n6

C.-D.一

5555

7.若过点3,加可以作曲线)，=e*的两条切线，则()

A.eh<aB.e"<bC,0<a<e*D,0</?<ea

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球.

甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示

事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互对立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、多项选择题

9.一组样本数据看，L,x”,由这组数据得到新样本数据%,L,北，其中

y.=x.+c(i=1,2,L,n),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原点，点[(cosa,sina),(cos/?,-sin/?),Q(cos(a+/?),sin(a+/?)),A(l,0),

则()

IUUIDIIUUITIIUUlUIIUUUIuuuuuuuuiuuuuuiuuiuuuuuuu

=用=R用C.OAOP3=OPt-0P2D.OAOPt=OP2-OP.

11.已知点尸在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),3(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPB4最小时，|/>8|=3&D.当NPB4最大时，|尸8|=3五

UUUUUUUU

12.在正三棱柱48C-AAG中，48=例=1,点P满足8P=/LBC+〃B4,其中

贝lj()

A.当4=1时，的周长为定值

B.当切=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当彳=；时，有且仅有一个点P,使得A/，8P

D.当〃=；时，有且仅有一个点尸，使得ABL平面AgP

三、填空题

13.已知函数/(x)=d(〃.2"—2T)是偶函数，贝I」。=.

14.已知。为坐标原点，抛物线(7:丫2=2*5>())的焦点为尸，P为C上一点，P尸与x轴垂直，Q

为无轴上一点，且PQ^OP.若1尸。1=6,则C的准线方程为.

15.函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为

20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们

的面积之和E=240dn?,对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的

图形，它们的面积之和邑=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为

;如果对折”次，那么名&=—dm2.

*=1

四、解答题

17.已知数列｛叫满足4=1,瞿，

[a“+2,”为偶数.

⑴记”=%，写出4，瓦,并求数列抄“｝的通项公式；

⑵求｛叫的前20项和.

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选

择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问

题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4类问题中的每个问题回答

正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问

题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

19.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知4=的，点。在边AC上，

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b：

⑵若AD=2DC,求cos/ABC.

20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABDJ_平面BC。，AB=AD,。为80的中点.

(1)证明：CM1CD；

(2)若VOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AZ)上，DE=2EA,且二面角E—8C-。的大小

为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

21.在平面直角坐标系xQy中，已知点『-J万,0),月(J万,0),点例满足|M用一|"为=2,记M

的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点7在直线x=；上，过T的两条直线分别交C于A,8两点和P,Q两点，且

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.己知函数/(x)=x(l-lnx).

(1)讨论/。)的单调性；

(2)设。，匕为两个不相等的正数，且从na-aln力=a-匕，证明：2<L+'<e.

ab

参考答案

1.答案：B

解析：AcB={2,3},选B.

2.答案：C

解析：Z=2+zz(z+0=(2-«)(2+2z)=6+2/,选C.

3.答案：B

解析：如图设母线长为/，则兀/=2\/^兀=>/=2上.

4.答案：A

解析：/（X）单调递增区间为：2E-二4*-四42也+二=2也一二4犬42灯1+生

26233

令％=0,故选A.

5.答案：C

解析：由椭圆定义，周=6,则周，幽[叫1]=9,故选C.

\）

6.答案：C

sin0(1+sin26)sin/sina9+cos?e+ZsinOcos®)_sin?e+sinOcos®_tan20+tan02

解析:

sin0+cos(9sin0+cossin-^+cos_0tan_6+\5

故选C.

7.答案：D

解析：

8.答案：B

解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为:

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

两点数和为7的所有可能为:

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

r.p（甲）=LP（乙）=1/=L尸（丙）=W,尸（丁）=色」

66636366

P（甲丙）=0,P（甲丁）=',P（乙丙）=',尸（丙丁）=0

3636

故P（甲丁）=P（甲）•尸（丁），正确，故选B.

9.答案：CD

解析：5=一24，y=-XU+c）=_Zx/+c=x+c,，A错

n,=in,-=1n/=I

设第一组中位数为五，则第二组中位数为”=%+c,，B错

一组医=卜之a-打，二组同=\之收-刊=Rt1a一才,；.c正确

Vn/=iv〃,=iVni=\

设一组中最大为七，最小为马，.•.极差再一勺

则二组中最大为七+c,最小为Xj+c,.・.极差%一勺，D正确

故选CD.

10.答案：AC

,------------------iuuir|------------------------

A=Jcos2a+sin2c=l,|O6|=Jcos2〃+（-sin/?）2=l,.1A正确

unn2liar

2222

=（cosa-1）+sin2a=2—2cosa»AP2=（cos/7-l）+（-sin/?）=2-2cos/?，

B错

UllUUUUUU1uuu

OAOPy=cos（a+/3）、OPX-OP2=cosacos夕一sinasin0=cos（a+0）,•.C正确

UUUUU1uuuuuu

OAOPX=cosa，OP2OR=cosJ3-cos（a+/?）-sin/7•sin（a+£）=cos（a+2/3）,D错

故选AC.

11.答案：ACD

解析：直线AB的方程为2+?=1,x+2y-4=0,设圆心为M(5,5)

42

11

P到直线A8的最大距离为+4<10

故P到直线AB的距离小于10,A正确

P到直线45的最小距离为与-4<2,故B错误

对于C,当NP84最小时，8P与圆M相切，此时8例=取

PB=j34-16=3人,C正确.

ZPBA最大时，PB与圆M也相切，D正确.

故选ACD.

12.答案：BD

UUIUUU1UUllULIUUU

解析：对于A,当2=1时，BP=BC+HBB],:.CP=HBB\

此时P在线段CG上运动，此时VABf的周长不为定值，A错.

对于B,当〃=1时，BP=aBC+BBi=BF=aBC,此时P在线段上运动

=%,-A/C为定值，B正确.

Iutr]urnuuir

对于C,当2=]时，BP=：BC+HBB1,分别取8C,8c的中点E,F,此时P在线段EF上运

动，要使Af_LBP,只需Af在平面BCC£上的射影尸尸与8P垂直，it匕时尸在E或尸的位置,

有两个P,C错误.

iuiruimiuur

对于D,〃=5时，BP=ABC+-BB],分别取现，CG的中点M,N,则P在线段MN上运

动，只需AB在平面BCCg上的射影与片P垂直，有且只有一个点P为N,满足题

意，D正确，故选BD.

13.答案：1

解析：因为/（X）为偶函数，则f（x）=/（-x）,即/（42,-27）=—/（42-*—2。整理则有

（。一1乂2、+2-”）=0,故a=l.

3

14.答案：x=-二

2

解析：因为P尸垂直X轴，故点P坐标为又因为OPLP/则登=2=2

63

即一=2,故〃=3,则准线方程为尤=一7

P2

15.答案：1

解析：/(x)=|2x-l|-21nx>|2x-l|-2(x-l)>|2x-l|-2x-2|>|(2x-l)-(2x-2)|=l,当x=l时,

等号成立，故/（X）最小值为1.

240〃+720

16.答案：5种;

解析：⑴易知有20dmx3dm,10dmx-dm,

5dmx3dm,—dmx6dm-dmxl2dm,共5种规

4224

格

40

(2)(2)由题可知对折2次共有&+1种规格，且面积为竽，故sl?1

?4nVfc+1V^+1imJrVA+1

则=2402一^-,­£T„=2^—1-,贝

k=\k=\乙blN乙hl乙

*k+2n+\

一乙心+i

A=1N2,,+l

〃+3故乃=2400一空=720—240〃+720

则<=3-

~F~T

17.答案：(1)4=%=q+1=2,6=%+2=4,b2=a4=a3+\=5

"+1_%=〃2“+2_=(〃2“+i+1)_%〃=a2n+3_/“=3

..•他｝是以3为公差的等差数列，.•.％=2+5—l)x3=3〃—l

〜10(2+29)-

(2)%+/+LT+。2()=------------=155

q+%+火+L+。[9—a>_]+。4-1+L+a>o_]—155—10=145

.-.S2O=155+145=3OO.

解析：

18.答案：(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分

则X的取值可能为：100,20,0,因为各题互相独立，由分步完成原理得

P(X=100)=0.8x0.6=0.48

P(X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32

尸(X=0)=1-0.8=0.2

列表如下：

X100200

p0.480.320.2

则X的数学期望E(X)=100x0.48+20x0.32+0x0.2=54.4

(2)若小明先回答8类问题，记F为小明的累计得分.

则丫的取值可能为：100,80,0,因为各题作答互相独立，由独立性原理知

p(y=100)=0.6x0.8=0.48

P(Y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12

p(y=0)=1-0.6=0.4

列表如下：

Y100800

P0.480.120.4

先答8类，则y的数学期望为：£(y)=100x0.48+80x0.12+0x0.4=57.6

由⑴知E(F)>E(X)

••・小明先选第二种方案作答.

解析：

19.答案：（1）方法一：

BDsinZABC=asinC,BDb=ac.BDb=b2<BD-b

方法二:

sinCcc护

按照正弦定理，可知—9如此就有30=4•—=—=b

sinZABCbbb

(2)方法一：

UUUlLILIULIUll2^1

AD=2DC^：.BD=-BC^-BA

uun>4uun24uirimniuiro

ABD=—BC+-BABC+-BA

999

j22^2n

u——Cl~H--C~d--CICCOSD

999

9ac=4a2+c24-4<?ccosB①

ac=cr+c2-2〃ccosB②

「一,八8ac-3a24a

Sac=3〃+6accosB,cosB=------=---

6ac32c

9=4—+—+4cosB

ca

由①②知<,/.11=u6—。+3i—c

,61cA八

1=—+——2cos8

ca

1i“八43Tl

...611—+3=0,・.一二一或一

cc23

77

cosBu/或二(舍)

126

cosB——.

12

方法二：

21

AD=—b,CD=-b

33

^b2+h2-c213^-c2

cosNADB=2---------=-2---------

2.h-b4b2

33

-b2+b2-a2—Z?2-a2

cosZBDC=——----------=--------

2-bb%

33

1320

cosZ.ADB+cosABDC=0,—b~-c2H-----b~—2ci~=0

99

方法三:

这里由于NBD4+NB£>C=180°，可以直接动用勾股差定理，可得》叫=BD2+AD2-AB2

BD2+CD2-BC2

S.AD„2bb

注意v匿KnL=7^=2,又显然AO=J，CD=，因此如果变成a,b,c那些，则有

、VBDCLD33

b2^-b2-C22

2=7^,化简得到1仍之=302+6/,][〃0=302+6/,i1£=3鼻+6

22aa

h+^-a~

0

得到£c=；2或3.

a3

这里有两个值，看这个3作为三角形两边比好像挺危险的，不一定能行，验证一下好了，假设

c=3〃好/,那么会有b=，问题是此时。+〃=(1+6)。v3〃=c,根本不成三角形，得踢掉,

只能有£c=；2

a3

^22_h2er+-uc1〃2a7

如此就有c°swc=F^

2ac2_£12

a

解析：

20.答案：(l)解析一：平面43£>，平面8C£),平面43£>c平面3C£>=8。

(^AB=AD,。为80中点，:.AO1BD

AOu平面MO,，4。，平面BCD,CDu平面8C3,:.AO±CD

解析二：首先，。为BD中点，加上9=4),就说明A0JL8。了，加上两个平面垂直，会直接

得到AO_L平面BCD,那么当然就有AO，8.

(2)解析一：取0。中点尸，QVOCD为正三角形，.•.CF_LOD

过0作OMHCF与BC交于M点、,则OM±OD

0M,OD,Q4两两垂直

以。为坐标原点，分别以OM,0D,04为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一空

8(0,-1,0),Cy-,pO,0(0,1,0)

设40,01),则平面BC£>

LIU1

•••平面BCD的一个法向量为。4=(0,0,0

设平面8CE的法向量为A=(x,y,z)

|&+%=o

ruuu

n-BC=O22?

um

r42八

HBE=O_y+Tz=0

133

2r

不妨设x=G，则y=-i,z=—,贝!]〃=

二面角的大小为45°

rum

V2n-OA2

2\OA\\n\-t=i

C1-GG.CG

SVOCD=5X1*1'?=彳，.•S、BCD=

173,

^A-BCD—S'BCD.QA=—•--•]=--

326

解析二：过E作£WJ_3。于H,再过H作“7_L8c于/.

显然这样会有EH，平面BCD,而这个正三角形OCD加上BO=DO,

可知BCLCD,意味着HI"CD,同时很自然的也会有国，

而二面角E-8C-。很显然就是NE/”，这个是45°,说明EH=H7.

CHAF1.uBH=.,匚2BHHI

综合上面的条件，会得到器=普—，然lx后二2,再然4后二=~^77=

2DH3BDCD

2

故止匕“/=£”=—.

3

Anpr>4

同时把=*=±,得到AO=1,

EHAD2

那么就有匕.88==

332o

解析：

21.答案：（1）解析一：c=^/F7，2a=2,。=1,b=4

2

C表示双曲线的右支，C的方程为X2-E=1（XN1）

16

解析二：基本上送分嘛，一看就双曲线嘛，只不过双曲线是|吗-摩卜2,得有个绝对值，如果

没有绝对值只能说明这是双曲线的一支，这个双曲线会有2a=2,两个焦点也已经给出，就是

F）,F2,这样有°=而，然后匕于是乎就有双曲线方程：/-二=1但我们只需

16

要它的右支，因此还可以进一步搞成》=•4-

⑵解析一：设吗,"?],设直线AB的方程为：y=kA\x-^\+m9A（“J,g，%）

（16—A：）/+（#—2攵1勿2卜一；片+k、m—7?22—16=0

:.\TA\\TB\=(\+kf)x,

=（1+奸）玉毛一；（演+x）1

2+-

4

12kM_k；1

----!---7^+-

216-灯4

心幻会M+奸）.

2.iry

设即2=心，同理可得|TP||TQI=（I+《）*7

42—16

•G阳.黑=（】+劭然

=＞片_16片=片—16片

:.k；=片,Q/工为,：,%=一&2，K+自=0

解析二：我们不妨假设Z4-7B=7P-TQ=K,这个显然用参数方程会简单一些，令T:（g,yj,然

—一…x=-+cos^r-x=-+cos^r

后有A氏21,PQ=[22?,

力+sin即N+sin即

这其中用工名.

那么带入C的方程，会有pl+cos即[-5±*必-=1

\011A

2

化简得到(16COS?4-sin4)f+(16cos61-2yTsina)/一(12+%)=0

12+%

于是有K=L478=-

22

16cos0x-sin0x

12+城

同理也会有K=-

22

16cos02-sin02

222222

换句话说,有16cos0}-sin0X=16cos02-sin02,cos=cos02

既然4工“，这会说明cos，=一cos"，

当然就有tanq=-tana，然后变成两个斜率和为0.

这个结果其实也不难猜到，因为只要我令？：（；，0），那么显然两条关于x轴对称的直线就能满足

条件，那么当然得有斜率和为0,而如果它要你证明这是个定值，那这个定值也必然只能是0.

解析：

22.答案：（1）解析一：/（x）=-lnx,令/'（x）=0=x=l

当0cxe1,/(x)>0,/(x)z；当X>1时,/(x)<0,f(x)]

解析二：因为/(x)=-lnx,故/⑴在(O,1)T,(l,y)J

,八lIn67InA11lna+1ln〃+l

(2)解析一：------=-一一,/.------=------

abbaab

令」=〃?，—=nf即证2</〃+〃<e

ab

/.m(\—\nm)=〃(1—Inn)

令f(x)=x(l—Inx),f(x)=—I