2021年全国高考数学压轴题新高考全国Ⅱ卷

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考

全国n卷)压轴题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

8.已知函数/(X)的定义域为R,f(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()

A./(-A)=0B.-1)=0C./'(2)=0D.f(4)=0

2

答案：B

本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题.

解：由题意，f(x+2)为偶函数，可得/'(x+4)=f(-x),

f(2x+l)为奇函数，可得-2x+l)=-f(2x+l),

令F(x)=/(2x+l)为奇函数，

可得/(0)=/(1)=0,

/./(-1)=-/(3)=-/(1)=0,

即/(-x)=-f(x+2),

:•/(x+4)=-f(x+2),

易知/(x)的周期T=4,其他选项的值不一定等于0.

BP/(-1)=0,故选：B.

二.多选题(共1小题)

12.设正整数〃=。。・20+。1・21+…+四-1・23】+以,2%,其中。作{0,1},记3(〃)=ao+m+…+四，则()

A.U)(2〃)=3(〃)B.U)(2〃+3)=u)(〃)+1

C.O)(8〃+5)=3(4〃+3)D.3(2"-1)=n

答案：ACD

本题考查数列递推式，考查数学运算能力，属于难题.

解：V2n=ao92]+a\•22+,**+^-i92k+ak92k+l,/.o)(2n)=a>(n)=〃o+m+…+Z,•'.A对；

当〃=2时，2n+3=7=P2°+P21+l-22,Aco(7)=3.V2=0*2°+P2l,Au)(2)=0+1=1,A

3(7)Ko)(2)+1,・・・8错；

8〃+5=40•23+41"+••・+以"+3+5=1・2°+l"+323+41"+•••+以•2好3,

.*.a)(8〃+5)=ao・+m・+・・・+ak+2.V4«+3=ao•22+^i•23+•••+ak•2^+2+3=1•2°+1•21+tzo•22+tzi*234-

•••+以・2-2,

.*.0)(4〃+3)=〃()・+m•+•♦•+01+2=0)(8〃+5)..二。对；

,.・2〃-1=1・2°+1・21+・・・+1・2'11(2〃-1)=〃，・・・。对.

故选：ACD.

三.填空题(共1小题)

16.已知函数f(x)=|/-1|,xi<0,^2>0,函数/(x)的图象在点A(xi,f(xi))和点B(X2,

f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交)，轴于M,N两点，则物的取值范围是

|BN|一

答案：(0,1)

本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中

档题.

解：当x<o时，/co=1-/,导数为r(X)=-〃，

可得在点A(XI,1-j)处的斜率为依=--，

切线AM的方程为y-(1-cvl)=-(x-xi),

令x=0,可得y=1-即M(0,l-e”+xiR),

当xVO时，f(x)=/-1,导数为/(x)=炭，

可得在点B(X2,er2-l)处的斜率为近=/2,

x22v2

令x—0,可得y=e，2-1-X2e,即N(0,e*-1-x2e),

由f(x)的图象在4,B处的切线相互垂直，可得依&2=-1,

四.解答题(共2小题)

21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后

为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同

的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，尸(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,「2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(II)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，0是关于x的方程：

=x的一个最小正实根，求证：当E(X)W1时，p=\,当E(X)>1时，/?<1；

(Ill)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

本题考查了样本估计总体的应用，事件概率的理解和应用，数学期望公式的运用，考查了逻辑推

理能力与运算能力，属于中档题.

解：(1)解：由题意,Po=O.4,Pi=0.3,22=0.2,尸3=0.1,

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)证明：由题意可知，po+p\+p2+p3—i,则E(X)=pi+2P2+3p3,

所以po+pix+pf+ps/nx,变形为po-(1-pi)犬+02金+039=0,

所以0)+p2x2+p3x3-(po+p2+p3)X=0,

即po(1-X)+P2X(X-1)+P3X(X-1)(x+l)=0,

即(X-1)[/73X2+(p2+〃3)X~po]=O,

令f(X)=/73X2+(p2+〃3)X-pO,

则fCx)的对称轴为0，

2P3

注意到/(0)=-po<o,/(I)=2p3+p2-po=pi+2P2+303-1=E(X)-1,

当E(X)时，/(1)WO,f(x)的正实根xo》l,原方程的最小正实根p=l,

当E(X)>1时，/(1)>0,f(x)的正实根xo<l,原方程的最小正实根p=xo<1；

(in)解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近

灭绝；

当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能.

22.已知函数/'(x)=(x-1)d-aR+b.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点.

12

①。—,b>2a；

22

®0<a<—>bW2a.

2

本题考查了分类讨论函数的单调性及函数的零点问题，考查零点存在定理，属于难题.

解：(I)(x)=(x-1)，-ax^+b,f(x)—x-2a),

①当aWO时，当x>0时，/(x)>0,当x<0时，/(x)<0,

：.f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

②当a>0时，令/(x)=0,可得x=0或x=/〃2a,

(力当0<a<2时，

2

当x>0或时，/(x)>0,当/"2a<x<0时，/(x)<0>

：.f(x)在(-8,加2.),(0,+8)上单调递增，在(/〃2a,0)上单调递减,

(ii)a=_l时，

2

f(x)=x(er-1)>0且等号不恒成立，.'./(x)在R上单调递增，

(Hi)当a〉」T'h

2

当xVO或加2〃时，f(x)>0,当0VJVV/〃2〃时，f(x)<0,

f(x)在(-8,0),(及20+8)上单调递增，在(0,历2〃)上单调递减.

综上所述：

当时，f(x)在(-8,o)上单调递减；在(0,+8)上单调递增；

当0〈a<」时，/(x)在(-8，加2a)和(0,+~)上单调递增；在Qn2a,0)上单调

2

递减；

当a」时，F(x)在R上单调递增；

2

当a>1时，f(x)在(-8,0)和(加2a,+°°)上单调递增：在(0,ln2a)上单调递

2

减.

(H)证明：若选①，由(1)知，/小)在(-8,0)上单调递增，(0,/"2a)单调递减,

(/“2a,+°°)±f(x)单调递增.

注意到f(0)=b-l>2a-l>G

：.f(x)在,0］上有一个零点;

f(ln2a)=(ln2a-1)2a-a-ln22a+h>2aln2a-2a-aln22a+2a=aln2a(2-Inla),

12

由—得0<仇2a<2,alnla(2-ln2a)>0,

22

・•・/(加2〃)>0,当x>0时，/(x)>f(ln2a)>0,此时/(x)无零点.

综上：/(x)在R上仅有一个零点.

若选②，则由(I)知：/(x)在(-8,加2。)上单调递增，在(物2m0)上单调递减，在(0,

+8)上单调递增.

f(ln2a)=(bi2a-1)2a-aln22a+b^2aln2a-2a-a而2a+2a=aln2a(2-l〃2a),

0<a<—>；♦//2a<0，：.aln2a(2-ln2a)<0,：.fUn2a)<0,

2

...当x<0时，/(x)&f(必)<0,此时/(x)无零点.

当x>0时，f(x)单调递增，注意到f(0)=6-l42a-IVO,

取c=V2(l-b)+2,，c>a>1,又易证e，>c+l,

c2+>22+21

f(c)=(c-l)e-acb^(c-l)(c+l)-ac+b=(1-a)cb-l>-^-c+b-l=l-b+l+b

=l>0,

：.f(x)在(0,c)上有唯一零点，即/(x)在(0,+8)上有唯一零点.

综上：/(x)在R上有唯一零点.

压轴题模拟

1.(2021•云南红河哈尼族彝族自治州•高三三模)已知函数/(X)是定义在R的奇函数，且满足

〃x+i)+/(i-力=0,当工«-1,0),/(6=-111W，则下列关于函数/(另叙述正确的是()

A.函数/(X)的最小正周期为1

B.函数/(X)在(0,2021)内单调递增

C.函数/(X)相邻两个对称中心的距离为2

D.函数y=/(x)+lnx的图象在区间(2020,2021)内的零点/满足042一2020%。二已

答案：D

解：由题意可得：/(0)=0,/(X)关于点(1,0)成中心对称，因为/(%+1)+/(1—无)=0,可得

+=—尤)，所以〃x+l)=〃x-l),所以“X)的最小正周期为2,可得"》)的大致

图象如下:

y

所以，“X)的最小正周期为2，A错误;

/(X)在(2%,2k+2)(左eZ)内单调递增，但是在(0,2021)内没有单调性，故3错误；”力的对称

中心为(0")(ZeZ),故相邻两个对称中心的距离为1，故C错误；y=/(x)的图象与y=-lnx的

图象在每个(2k，2k+2)区间内都有1个交点，且y=f(x)在(2020,2021)内的解析式为

y=ln(x-2020),所以y=/(X)+InX的图象在区间(2020,2021)内的零点七满足

y-ln(x0-2020)+In%=In(x；-2020xn)=0,

2

故XO-2O2OXO=1,所以e*2。%=e做选:D

2.(2021•吉林松原市•高三月考)在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构

造新数列:现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第〃(〃eN*)项与第〃+1项之间插入首项为2,

公比为2,的等比数列的前〃项，从而形成新的数列｛q｝,数列｛4｝的前八项和为S“，贝!J()

A•。2021~~2.B♦。20,12

63

C.S202l=3X2+59D.52021=264-3

答案：AD

解：设出021介于第〃个1与第”+1个1之间或者为这两个1当中的一个，

则从新数列的第1个1到第n个1一共有("+」〃项,

2

从新数列的第1个1至IJ第〃+1个1一共有("+2)(”+D项,

2

所以^----^-<2021<-----△---L解得〃=63,

22

而(63；)63=20]6,所以4021=2、故A正确，B错误；

23622345

S2021=1x63+62x2'+61X2+60X2+...+1X2+2'+2+2+2+2

=125+62X2'+61X22+60X23+...+1X262>

令T=62x2i+61x22+60x23+i+1x262,

则2T=62x2?+61x23+60x24+...+1x263,

2T-T=-62X21+22+23+24+...+262+1X263.T=2M-128-

所以S2021=264—3,故。正确，c错误，

故选：AD.

3.（2021•江苏苏州大学附属中学高三模拟）已知等比数列｛%｝满足q=1,其前〃项和

S,、=pan+i+r(neN*,p>0).

A.数列｛4｝的公比为PB.数列｛4｝为递增数列

C.r--p-\D.当取最小值时，…一

答案：BD

解：依题意，等比数列｛《,｝,4=1,其前>1项和S"=pan+i+eN*,0>0),设公比是q,

S”=P4+i+r

时,作差得，atl^pall+i-pan,即(1+p)%=〃。,用即

S.T=pan+r4P

1+p1

—=q,即p

p“一1

1即q2—q—i=o,即〃=夕=上手时，数列｛%｝的公

选项A中，若公比为P,则〃=­7=4,

q-i

比为P,否则数列｛4｝的公比不为P,故错误;

八1+7?.1,,/］、"T

选项B中，由〃>0知，<7=—^-=1+—>1,故a“=qWT=q"T1+-是递增数列，故

Ip）

正确;

\-an1

选项C中，由Sa=pa,“]+r,S„=-——，p=-知,

l—q<7-1

l-q”1♦/=」一=一〃，故C错误;

r=S〃一〃%

l-qq-\i-q

选项D中'因为r=-p,故p-*=p-/1c11

P+「22P.「1,当且仅当〃=丁

4P\4P4P

即p=L时等号成立，p-_L取得最小值1,此时g=l±K=3,“=g"T=3"T,故正确.故选:

24rp

BD.

4.（2021•山东省实验中学高三模拟）设首项为1的数列｛4｝的前n项和为S,，已知Sn+l=2S„+n-\,

则下列结论正确的是（）

A.数列｛4｝为等比数列B.数列｛S,,+〃｝为等比数列

C.数列｛4｝中4o=5UD.数列｛2S“｝的前〃项和为2-2一〃2一〃一4

答案：BCD

5,,1+〃+12S+2tlc

解：因为“2S.+1,所以不一"=2

又5+1=2,所以数列｛S“+〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，故B正确;

所以5,+〃=2",则S“=2"-〃.

当“22时，a,=S"—S“T=2"T-l,但故A错误;

由当“22时，4=21-1可得《0=29—1=511,故c正确；

因为2s“=2"|-2〃,所以24+2s2+...+2S,=22-2xl+23-2x2+...+2"M-2”

n(n-1)=2"+2—〃2—〃—4所以数列

=22+23+...+2,,+I-2(1+2+...+/?)

2

{2S“}的前〃项和为2"+2一〃2一〃一4，故。正确.故选：BCD.

5.（2021•浙江镇海中学高三模拟）己知函数/（x）=（左+彳］111》+三土,丘［1,+8）,曲线y=/（x）

上总存在两点"（玉,y）,N（x2,y2）,使曲线y=/（x）在M,N两点处的切线互相平行，则玉+々

的取值范围为

答案：卜痣,+8）

解:

4+2

由题设知：八尤）=一：+」_］,且x〉0,

XX

•.•曲线y=/（x）上两点的切线平行，

,2,2216

11kH—八k-\—%+%>—2

I1_左且为NX,>0,即，,葭+工（%+*2）2，有

丁）---------k+—，

12

x2444k

，要曲线y"（x）上总存在M,N两点，使它们所在的切线互相平行，则*+*＞（*）皿即可.

164邛==4&厂

而13c当且仅当左=正＞1时等号成立,

2Jk——

kVk

••Xy+X2＞4V2.

故答案为：（4＞/2,+oo）.

6.（2020•安徽六安市•六安一中高三月考）直线y="与函数y=|lnx|交于A,B两点，函数y=|lnx|

在A,8两点处切线分别交＞轴于C,D两点,C,。的中点为两切线交于N点，则

\MN\=.

答案：1

解：・.・y=|lnx|,yNO,

aNO,

玉>1,0<x2<1,

Inx,x>1

y=|lnx|=<

-Inx,0<x<l>

—,x>1

所以，

--,0<x<l

在点(X|，X)处的切线方程为：y=\x+a-\,①

在(%2,%)处的切线方程为：y~——x+a+\,②

将x=0代入①、②，可得先=。-1，%=。+1，

/.M(0,+’，即M(0,«),

1,1,

由—x+a—1—-----x+a+1,

e"I

(\\\22

〔/+方卜=2,解得*=777^y=K+"T'

7.(2021•厦门市湖滨中学高三期中)新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全

性的实验.现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验,

当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，

则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定

“实验失败设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为P(O<P<D.

(I)若，=；,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为%,求P。的值；

(II)若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元,

问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由.

解：(I)当p=g时，一次检验就取得“实验成功”的概率为

经过两次检验才取得“实验成功''的概率为［c；p(l-p)［p2=(3XgXX；=［；

1319

在一次实验方案中“实验成功''的概率为p0=-+^=—.

(II)设一次实验方案需要用到的经费为X元，则X的可能值为900,1500.

P(X=900)=1-C；p(l-p)2；P(X=1500)=C；p(l-p)2.

所以£(X)=900x[1—G〃(l_〃y]+1500C>(l-p)2=900+1800P(1-p)2,

设/(p)=p(l—p)2,则f'(p)=(l-p)2+2p(p-l)=(3p-l)(p-l),

当时，f,（p）＞0,所以/（p）在（0,；）上单增;

当时，r（p）＜o,所以y（p）在G，"上单减.

因此实施一次此方案最高费用为900+1800x色=-元

273

所以动物实验阶段估计最高试验费用为100+^^5000*10'4=100+二^=，^万元,

333

因为理

<700,

3

所以该阶段经费使用不会超出预算.

8.（2021•辽宁沈阳市•沈阳二中高三模拟）某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游

戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一

小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为Pl，

21

（1）若Pi=§,p2=~,则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；

4

（2）若P|+〃2=§则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行

多少轮游戏才行？并求此时Pl，P2的值.

解：（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投

中1次；③小明投中2次，小亮投中2次.

故所求概率尸=应”吗•｛）+（若.■!）［吗.？+（或|.|）［吗

（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为

P=C；Pl（l—pJC；（P2『+C；（pJ2Gp2（1—P2）+C；（0『C；（P2）2=2P|P2（P|+P2）—3（pj2（P2『

4g79

因为Pl+”2=]，所以尸=]PIP2_3（PJ（P2）-

4所以;4Pi41，

因为0<p<l,p+p=-9P24i,又〃也［互詈

2]2°I，，，

i4148

所以§<PiP2«§,令£=P［P2,以则P=/zQ)=—3厂+

416

当时，Pn^=—>他们小组在〃轮游戏中获“优秀小组”次数4满足J~8(〃,。)

44

由(呐)max=16,则/=27,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时P1+P2=§，PIP2=3,

2

Pl=〃2=§

9.(2021•正阳县高级中学高三模拟)已知函数/(尤)=：x2—(a+l)lnx,

(1)讨论/(x)在［2,5］上的单调性；

(2)若函数g(x)=/(x)+公有两个零点，求”的取值范围.

解:(1);/(x)=耳工2—(Q+1)］nx,

XX

①若a+lW0,即aW-1,/'(x)>0,

故函数外可在［2,5］上单调递增；

②若a+l>0,即a>—1,令.f'(x)=O,x=Ja+1,

当一l<a<3时，尸(%)20在［25］上恒成立,

故函数“X)在［2,5］上单调递增；

当3<a<24时，当时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

当xe(ja+l,5］时,/'(x)>0,/(X)单调递增；

当心24时，/'(640在［2,5］上恒成立，

故函数“X)在［2,5］上单调递减；

综上，当a<3时，函数/(x)在［2,5］上单调递增：

当3<a<24时，函数“X)在［2,、/石。上单调递减，

在(J^TT,5］上单调递增；当心240寸，函数“X)在［2,5］上单调递减.

(2)由题意，=—x2+or-(«+l)lnx,

故g<x)=x+a-----=--------------(x>0),

XX

①若a+l>0,即。>一1时,g(x)在(0,1)上单调递减,

在(1,y)上单调递增，因为x.0时，g(x)—”,

且g⑵=2+2。-(a+l)ln2N2+2a-2(a+1)=0,

故要使g(x)有两个零点，只需g(l)=；+a<0,解得—l<a<—；；

②若々+1=0,即a=1时,

g(X)=；V—x在(0,+s)只有1个零点，不合题意；

③若a+lvO,即"-1,

(i)当a=—2时，g(x)在(0,+e)上单调递增，故不可能有两个零点;

(ii)当—2<a<—1时，g(尤)在((),—a—1)上单调递增,

在(—a—1,1)上单调递减，在&+«>)上单调递增，

且Xf0时，g(x)->F,又g(l)=a+—<0,

g+ae2-(«+l)lne2>—+oe2>0，

2

故要使g(x)有两个零点，则有g(-a—1)=0,

1、

即8(-Q-1)=5(Q+1)-Q(a+l)-(Q+l)ln(-a—1)

=(Q+1)1z'-lnQa-l)=0,

即~~一山(一a-1)=0,

1-a

令〃(2。)=-ln(_Q-1),ciG2,—1),

2

则/(。)=一；1a+3

=——7----r>0