2021年全国高考甲卷数学（文）真题及答案

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合用={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M集合=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【答案】B

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

3.已知(l-i)2z=3+2i,则2=)

3

A.-l--zB.—1+—zc.一步D.

222

【答案】B

4.下列函数中是增函数的为（

、x

A./(X)=-XBC./(x)=x2D.f(x)=W

・"仁7

【答案】D

5.点（3,0）到双曲线^-5=1的一条渐近线的距离为（）

9864

A.-B.-C.一D.一

5555

【答案】A

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录

视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据丫的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法

的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（顺”1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多

面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()

正视图

【答案】D

8.在AABC中，已知B=120°,AC=阿AB=2，则BC=()

A.1B.V2C.V5D.3

【答案】D

9.记S“为等比数列｛凡｝的前〃项和.若$2=4,54=6,则$6=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

万、-cosa

11.若ae|0,37|,tan2a=；；；——；——，则tana=()

2)2-sina

A.叵B.BD.叵

「75-

15533

【答案】A

12.设/(尤)是定义域为K的奇函数，且〃l+x)=/(—x).若小H，则陪］=()

5115

A.B.一一C.一D.-

3333

【答案】C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若向量满足卜|=3,卜7-q=5,a♦石=1,则忖=.

【答案】3拒

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30乃则该圆锥的侧面积为.

【答案】39%

71

15.已知函数/(X)=2COS(Q)X+O)的部分图像如图所示，贝ij/

16.已知耳，外为椭圆C含+《=1的两个焦点,P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|P@=|耳闻，

则四边形尸片。鸟的面积为.

【答案】8

三.解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别

用两台机床各生产了20()件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(I)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：心——幽®——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)75%；60%；

(2)能.

18.记S”为数列｛4｝的前〃项和，已知4>0,4=34,且数列｛后｝是等差数列，证明：｛4｝是等差数

列.

【答案】证明见解析.

【分析】先根据£一点求出数列｛、鬲｝的公差2,进一步写出｛疯｝的通项，从而求出｛叫的通项公

式，最终得证.

19.已知直三棱柱ABC—45G中，侧面A&gB为正方形，AB^BC=2,E,尸分别为AC和CG的中

点，BF±A^i-

(1)求三棱锥产一£3。的体积；

(2)已知。为棱上的点，证明：BFLDE.

【答案】(1)；；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的

结论.

⑵由⑴结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体如图所示，取棱AM8C的

中点〃,G,连结4",”G,G片,

正方形BCC4中，G,F为中点，则B尸_LB|G,

又3尸_144,4。096=。,

故平面AfO”,而OEU平面4&GH,

从而5E_LDE.

20.设函数/(x)=/第2+ox-31nx+1,其中a>0.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若y=/(x)的图象与x轴没有公共点，求。的取值范围.

【答案】⑴/(力的减区间为(0,3),增区间为+8)；⑵a〉:

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)根据/(1)>0及(1)的单调性性可得/(x)mM>0,从而可求〃的取值范围.

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转

化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

21.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两点，且OPJ_OQ.已知

点/(2,0),且OM与/相切.

(1)求C,OM的方程;

（2）设是c上的三个点，直线44，4A3均与相切.判断直线4A与0”的位置关系，

并说明理由.

【答案】（1）抛物线C:y2=x,OM方程为（尤—2）2+V=I；（2）相切，理由见解析

【分析】（1）根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,。

坐标，由即可求出。；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；

（2）先考虑44斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由4，4,43三

点在抛物线上，将直线44,44斜率分别用纵坐标表示，再由与圆M相切，得出

%+%，＞2・%与X的关系，最后求出M点到直线A2A3的距离，即可得出结论.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计

分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系X。），中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

p=2x/2cos^.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点4的直角坐标为（1,0）,例为C上的动点，点P满足彳＞=忘而，写出尸的轨迹G的