2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学参考答案

一、选择题（共10小题,每小题4分，共40分）

(1)B(2)D(3)A(4)A(5)B

(6)C(7)D(8)B(9)C(10)C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

(11)-4(12)54拓

(13)03（14）—（答案不唯一）

12

（15）①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（I）由正弦定理—2—=—J及c=»cos8,得C=2sin8cos8.

sinBsinC

因为NC=二,所以sin28=^.

32

又因为0<N8〈工，所以/8=工.

36

（ID选条件②：丛ABC的周长为4+26.

所以△ABC是顶角为二，底角为工的等腰三角形.

36

所以a=b,c=•j3a.

由题设，（2+G）a=4+2G所以a=2.

设BC边上中线的长为4.

由余弦定理得八图+Y-2x•|"x〃cosC.

所以加=l+4-2xlx2x

故d=不.

选条件③：XABC的面积为之叵

4

所以aABC是顶角为二，底角为生的等腰三角形.

36

所以a=b.

由题设，工。2$m二=空.所以。=6.

234

设BC边上中线的长为”.

由余弦定理得才=图"-2乂1xacosC

所以/=《+3-2x冬豆x(-£].

(17)(共14分)

解：(I)在正方体A8C£)-AgG〃中，

因为CDIIC、D\,且平面A4G0，所以CDH平面.

因为平面CDEn平面AqCQ=EF,所以CD〃EF.

所以C0J/EF.

因为E为AR的中点，所以尸为的中点.

(II)不妨设正方体的棱长为2.

如图建立空间直角坐标系。-孙z,

则。(0,0,0),C(0,2,0),F(l,2,2).

所以配(0,2,0),CF=(l,0,2).

设平面CDE的法向量为/n=(xi,yi,zi),则

mDC=0,

mCF=0,

令4=1,则与=-2,y=0.

于是m=(-2,0,1).

由题设，存在Ae[0,l),使得m=44瓦

所以M(2,24,2).

所以可，=(1,22—2,0).

设平面MFC的法向量为〃=（工2，%，22），则

nFM=0,x,+(2%—2)%=0,

即

n-CF=O,x2+2Z2=0.

令马=2,贝IJZ2=_1,%=T^7

1—/t

所以/l=L

2

所以4州=1.

A42

(18)(共13分)

解：（I）（i）依题意，如果感染新冠病毒的2人在同一组，则该组需要检测11次,

其他9个组都只需要检测1次，所以检测总次数为20.

（ii）由（i）知，当感染新冠病毒的2人分在同一组时，检测的总次数是20.

当感染新冠病毒的2人分在不同组时，可以求得检测的总次数是30.

所以随机变量X的可能取值为20,30.

因为感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为工

11

所以感染新冠病毒的2人分在不同组的概率为1-工=竺.

1111

所以随机变量X的分布列为:

X2030

P110

11TT

故随机变量X的数学期望EX=20x'+30x”=3”.

1111II

（II）EY>EX.

（19）（共15分）

解：（I）当。=0时，/（x）=4--,r（x）=-4+4-

Xx5X

所以〃元）=1,r（x）=4

所以曲线丁=在点（1J（1））处的切线方程为y-1=-4（x-1）,

即y—Tx+5.

2

由3-2%.（,-2，+a）-2x（3-3x）2（x-3x-a）

（II）由〃x）=不得八》）=-（7^—=…）•

由题意知/'（-1）=0,所以（-lf-3x（_l）_a=0.故“=4.

当”4时，〃力羔，尸（力^^・

A+4（丁+4）

/(X)与/(X)的情况如下:

X-1（-1,4）4（4,+oo）

“X）+0-0+

/1X/

~4

因此，/(X)的单调递增区间是(-00,-1)和(4,+8),单调递减区间是(-1,4).

所以/(%)在区间(-8,4］上的最大值是/(-1)=1.

又因为当xw(4,+8)时，/(x)<0,所以/(-1)=1是f(x)的最大值.

同理可知，/(4)=一工是/(X)的最小值.

(20)(共15分)

解：(I)b=2」x2ax抄=4百.所以〃=4百.

2

22

所以椭圆E的方程为工+匕=1.

54

(II)直线的方程为y=H-3.

由卜二,得(5炉+4)幺-30依+25=0.

4/+5)3=20'7

由A=(-30^)2-4x(5k2+4)x25=400(公-1)>0,得网>1.

设8(x”yJ，C&，x)，则X+M=端§0%=羌7♦

直线AB的方程为'=21出》一2.

百

令y=-3,得点M的横坐标为/=上^=一一匚.

y+2kxx-1

同理可得点N的横坐标为与=

由题设，y+2>0,y,+2>0,王达>0,所以与/=7-----号----->0.

(y+2)(y+2)

所以山，4同号.

所以俨M|+|PM=%+4

XIW

kx{-1kx2-1

2kxix2一（七+%）

2

kx1x2一攵（苍+%）+1

2530k

5代+4-5父+4

正二一三+1

5&②+45公+4

=5网.

由题设，5|左H15.

所以1<|火区3.

所以A的取值范围是[-3,-1)U。,3].

(21)(本小题15分)

解：(I)数列｛。"｝不可能为h，数歹IJ.理由如下:

因为p=2,q=2,%=一2,所以q+%+p=2,at+a2+p+l=3.

因为a,=-2%史｛弓+4+P，4+出+P+1｝.

所以数列｛〃"｝不满足性质③.

（H）根据况。数列的定义，可知｛4｝满足：

a,20,a2=0；a4n_t<a4„；am+n<am+an或am+n<am+a„+l.

。,用<4,+4或=《,+4+1，以及420,可知

所以q=0.

由4=4+%=0或%=々I+/+1=1；。4=。2+。2=0或4=%+。2+1=1，

以及a3<a4f可知%=0,a4=1.

由%=。2+%=0或%=出+%+1=1，

以及6W。4，可知％=1•

（III）假设数列｛〃“｝是满足"S“2Ho恒成立”的此数列.

因为a“+i=。“+q+p或an+l=a〃+q+p+l,且q+'NO,所以afl+l>afl.

由一pWqW%=-〃，可知4=一〃.

从而=a„+l+a,+p=a,用或％“=+q+p+1=a,用+1.

又因为*<«4„­所以«4„=j+1・

因为%=%+1，且％之生=一〃，所以。4之一0+1,

又因为%=%+%+P+1=-P+1，所以4=一〃+1，%=-P.

因为。12=46+4+〃+1，且。64%+%+〃+1=一2+1，所以％2〈一〃+3.

因为1，所以414一〃+2.

由SuNRo可知即20,所以〃42.

由4oN&+%+1及％2%=~P+1，可知a［。N-p+2.

由S’NSio可知《。（0，所以〃22.

综上可知，若数列｛4｝是满足“5,2金恒成立”的况,数列，贝l」p=2.

当p=2时，考虑数列｛七｝;

—2+左,〃w142+1,4%+2,4Z+3｝,/

a\