有限单元法概述课件

有限元法原理及应用Finite

Element

Method

and

Its

ApplicationsInstitute

of

MechanicalEngineering

and

AutomationIMEAHsiang

Jiawei,

Ph

DSchool

of

Mechantronic

Engineering,Guilin

University

of

Electronic

Technology,Guilin,

541004,

P.R.C.Tel-mail:

hsiangjiawei@桂林电子科技大学机电工程学院机械工程及自动化所课程学习基本要求1

教材及参考书1、王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法(第二版)[M].北京:清华大学出版社,19972、王勖成.有限单元法[M].北京:清华大学出版社,20033、李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用[M].西安:西安交通大学出版社,1992.4、O.C.

Zienkiewicz,R.L.Taylor,J.Z.Zhu.The

FiniteElement

Method:

It’s

Basis

and

Fundamentals[M].(Sixth

Edition),

Amsterdam:Elsevier

Press,2005.210/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation2

学习目的及方法310/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation目的了解FEM数学力学基础；把握FEM求解具体问题的基本过程；应用FEM

，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题；为在FEM理论方法作进一步研究提供基础。方法注重深入理解FEM思想的建立，数学力学基础；结合自己研究方向，若偏重于FEM应用，则注重于应用对象的本构关系研究，运用通用或专用有限元程序进行分析；若偏重于对FEM方法研究，则必须深入掌握标准化的FEM求解格式推导过程。3

考试考核成绩构成410/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation课程作业成绩(30％)翻译近期（08－09）有限元方法方面的英文研究论文(Original

Article)一篇。实验成绩(30％)Ansys软件上机实验；包括通用有限元分析软件ANSYS求解结构力学问题基本过程，1D杆系、2D板壳、

3D实体静、动力学分析实例上机。程序作业成绩(40%)编制平面问题有限元程序，要求用C语言或Matlab语言编写。提交程序和计算结果电子文本。第1章有限单元法概述第1节概述第2节 大型有限元软件比较第3节小结510/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM地位]有限元方法（Finite

Element

Method,

FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。众所周知，每一种自

然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以

借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程和相应的边界条件构成物理问题的本构

关系。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然

而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值

方法给出近似的满足工程精度要求的解答。有限元方法就是

一种应用十分广泛的数值分析方法。610/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述

Turner&Clough

Argyris

Melosh

Jones

Pian

冯康

Besseling单元求解区域上插值

Zienkiewicz

Cheung

Bathe

Cook

钱令希

SAP

ANSYS

ALGOR

NASTRAN

ADINA

MARC

广义协调元

无单元法

自然单元法

样条有限元

有限元并行算

小波有限元

自适应有限元拓展了有限元方法工程应用工程实践中高性能计算60年代70~80年代90年代至今商用软件学科交叉[FEM起源及发展]体系形成 方法拓展710/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM起源及发展]FEM的概念是由Turner与Clough最 提出的[1]。1952年美加利福尼亚大学伯克利分校的学者CloughRW应邀参加了波音航空公司夏季开发小组，在波音公司结构振动分析专家Truner

MJ的带领下开展了三角形机翼结构分析，在经历了运用传统一维梁分析失败后，1953年Clough在Turner的建议下，运用直接刚度位移法，成功地给出了用三角单元求得平面应力问题的正确答案；1960年Clough进一步研究了弹性问题的应力分析，并首次使用“有限元(Finite

Element)”这一术语。810/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[1]Clough

RW.

Early

history

of

the

finite

element

method

from

the

view

point

ofa

pioneer

[J].

International

Journal

for

Numerical

Methods

in

Engineering,

2004,60:283-287第1节

概

述[FEM起源及发展]此后，一些应用/计算数学家、物理学家和工程师从2条分支研究FEM，形成了成熟的理论体系。即：<1>

FEM离散格式、误差估计理论、解的收敛性等研究(应用/计算数学)研究的目的是建立完整的FEM理论体系，为工程应用奠定必备的理论基础。工科学生学习FEM、研究FEM、应用FEM的立足点<2>

工程具体问题计算领域(计算物理/计算力学/工程学)研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究，通过考题(Benchmark)分析而不是理论分析验证解的收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。910/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述应用/计算数学领域Besseling

，Melosh

，Jones

，Pian

等人证明了有限元单元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式，与经典Ritz法的区别在于有限单元法并非全域插值，而是在单元求解区域上插值，进而通过单元叠加形成全域求解方程，因而可以用来处理很复杂的连续介质问题[2]。60年代，我国学者冯康独立于西方给出了基于分片插值和变分方法的偏微分方程的数值解法，可以看作最早给出的二维有限元收敛性的证明，从而奠定了有限元方法的数学理论基础[3]。[FEM起源及发展]OC

Zienkiewicz.

The

birth

of

the

finite

element

method

and

computational

mechanics[J].International

Journal

for

Numerical

Methods

in

Engineering,

2004,

60:

3-10李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用[M].西安:西安交通大学出版社,1992要求能量/势能泛函存在，限制了其应用。1010/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM起源及发展]工程计算领域Zienkiewicz，Cheung，Bathe，Cook等进一步拓展了有限元方法，利用Galerkin变分原理，求解只知道物理问题的本构关系，即偏微分方程(Partial

Different

Equations,

PDEs)/控制方程(Governing

Equations)

和边界条件，但是变分的势能泛函尚未找到或者根本不存在的情况，使得FEM可应用于几乎所有学科中的PDEs求解，真正成为一种计算工具。Zienkiewicz

(1921-)是需要特别提到的一位学者，他是英国威尔士

(Wales)大学土木工程学院教授，担任联合国教科文组织工程数值计算委员会主席，他在工程FEM计算方面作出了卓越贡献，这些贡献主要体现在他的600多篇论文与25部专著中。1968年创办FEM主流杂志《InternationalJournal

for

Numerical

Methodsin

Engineering》，有力地推动了有限元在工程计算中的应用。1110/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM起源及发展]不同领域交叉研究通过众多学者几十年的研究，数学领域和工程计算领域已经密不可分，在不断修正认识上错误的前提下打下有限元坚实的理论基础。Ritz变分形式(对应于最小位能原理)和Galerkin变分形式(对应于虚功原理)二者实际上相互等价。现在一般统一称为Ritz-Galerkin变分原理或Galerkin变分原理。有限元分析领域大师级人物如：Zienkiewicz，Bathe等具有十分深厚的数学功底，他们的研究亦涉及到误差估计理论、解的收敛性等研究。！国内长期从事FEM研究的有钱令希、钟万勰、石钟慈、程耿东、龙驭球等。主要从事FEM方法改进研究。1210/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM相关主流期刊]

应用/计算数学领域SIAM

Journal

of

Numerical

Analysis/SIAM

数值分析

SIAM

Journal

on

Scientific

Computing

/SIAM科学计算

Computing/计算Computers

and

Mathematics

with

Applications/计算机和数学及应用Applied

Mathematics

and

Computation/应用数学与计算

Journal

of

Computational

and

Applied

Mathematics/计算与应用数学计算数学应用数学与力学1310/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM相关主流期刊]

工程计算领域Computer

Modeling

in

Engineering

and

Sciences/工程和科学中的计算机模型International

Journal

for

Numerical

Methodsin

Engineering/工程中的数值方法Computer

Methodsin

Applied

Mechanics

andEngineering/应用力学和工程中的计算方法

Computational

Mechanics/计算力学

Computers

&

Structures/计算机与结构Finite

Elements

in

Analysis

and

Design/有限元分析与设计

ASCE

Journal

of

Engineering

Mechanics/ASCE工程力学计算力学学报各学科专业期刊(侧重于用FEM作为工具获得分析结果)1410/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[FEM求解工程问题思路]工程中的问题本构关系线性的、边界规则的问题数值分析法精确解近似解非线性的、边界不规则的问题解析法FEM犹如万能钥匙，是解决工程问题的主流数值分析方法只能解决极少的方程求解，而且解答复杂。图1工程问题的求解思路1510/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation工程问题的求解基本过程第1节

概

述[FEM求解工程问题思路]1610/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

AutomationFEM核心在于单元或者列式构造直接方法直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方法而言，只在简单情况下才能凑效。优点在于简单、易于理解，一些基本概念和作法的物理意义清晰。变分方法有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。

Ritz法要求被分析的问题存在一个“能量泛函”，由泛函取驻值建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小位能/势能原理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。Galerkin法只要求被分析问题的“本构关系/方程”存在。本课主要利用这种形式。加权残值法有限元插值形状函数相关问题能量泛函标准单元有限元方程/列式本构方程/偏微分方程第1节

概

述[FEM求解工程问题思路]兼容性、光滑性、完备性条件代入代入由Galerkin变分原理令能量泛函变分为零有限元空间图2

FEM单元构造的思路Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation1710/2/2023采用变分方法构造单元或者列式插值基函数！通过等参变换映射为复杂形状单元第1节

概

述[FEM求解工程问题思路]FEM求解工程问题过程选取恰当的单元，建立单元有限元方程；网格剖分，离散求解域；将单元由局部坐标系转换到整体坐标系，并叠加单元有限元方程，形成总体有限元方程；在总体有限元方程中引入强制边界条件；(5)求总体有限元方程，得到节点解；(6)后处理，求出单元内力、应力、应变、变形等。大型FEM软件求解工程问题过程前处理，包括建立几何模型(求解域)，选取单元，网格剖分等；求解，选择求解方法；后处理，以图、表、动画形式描述单元内力等。1810/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第1节

概

述[基本未知量的选择和有限元方法的分类]位移单元/位移元以位移场做为基本未知量，几何关系和弹性关系精确满足，平衡方程只能近似满足（近似解）。优点：未知量少；缺点：位移精度好，应力精度低。位移单元又分为两种：协调单元和非协调单元。位移单元是目前应用最广的一类单元。平衡单元/平衡元以应力或应力函数为基本未知量，以应力协调关系（或最小位能原理）建立FEM方程。杂交单元/杂交元同时以位移和应力等为基本未知量。这种单元在处理板、壳问题时有显著的优点。1910/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation第2节大型有限元软件比较[大型FEM软件比较]通过表格简略的介绍一些近年来国内外著名的分析软件，供读者参考。ANSYS、ADINA、MARC、NASTRAN、ABAQUS、FENRIS、PAFEC、ASKA、EAL、SAMCEF、LARSTRAN80、HAJIF系列等。2010/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2110/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2210/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2310/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2410/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2510/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2610/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2710/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[大型FEM软件比较]第2节大型有限元软件比较2810/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[FEM应用领域]有限元方法担当重任，在国民经济建设中发挥了重大作用。经过几十年的发展，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等连续介质领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计，并和计算机辅助设计相结合。在短短的几十年里，有限元方法已在机械、航空、航天、船舶、地下建筑、潮汐运动、地震、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及流体和结构相互作用等几乎所有的科学技术领域得到了广泛的应用。第2节大型有限元软件比较2910/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[FEM应用领域]图a

大教堂中心轮廓应力分析第2节大型有限元软件比较3010/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[FEM应用领域]图b电机定子磁场分析第2节大型有限元软件比较3110/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Automation[FEM应用领域]图c考虑地基的弓形大坝非线性分析第2节大型有限元软件比较3210/2/2023Institute

of

Mechanical

Engineering

and

Auto