两角和差的正弦余弦正切教案

两角和与差的正弦、余弦、正切（1）教学目的：1．巩固平面上的两点间距离公式，并能运用两点间距离公式推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题2．初步理解解析法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力3．培养探索和创新的能力和意识教学过程：xyxyoP1P2M1N1N2M2Q平面上的两点间距离公式1．数轴上两点间的距离公式2．平面内任意两点，间的距离公式从点，分别作x轴的垂线,与x轴交于点(,0),(,0)再从点,分别作y轴的垂线,与y轴交于点,直线,与相交于Q点则：Q==|-|Q==|-|由勾股定理：从而得，两点间的距离公式：二、讲解新课：1．探究反例：问题：的关系？思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中、角构造+角3．探究：作单位圆，构造全等三角形4．探究：写出4个点的坐标，，，5．计算，==6．探究由=导出公式展开并整理得所以可记为7．探究特征①熟悉公式的结构和特点；②此公式对任意、都适用③公式记号8．探究cos()的公式以代得：公式记号三、讲解范例：例1计算①cos105②cos15③coscossinsin解：①cos105=cos(60+45)=cos60cos45sin60sin45=②cos15=cos(6045)=cos60cos45+sin60sin45=③coscossinsin=cos(+)=cos=0例2已知sin=，cos=求cos()的值解：∵sin=>0，cos=>0∴可能在一、二象限，在一、四象限若、均在第一象限，则cos=，sin=cos()=若在第一象限，在四象限，则cos=，sin=cos()=若在第二象限，在一象限，则cos=，sin=cos()=若在第二象限，在四象限，则cos=，sin=cos()=例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解解：∵,∴<2α-β<π,-<α-2β<,由cos(2α-β)=-得，sin(2α-β)=;由sin(α-2β)=得，cos(α-2β)=∴cos(α+β)=cos［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,α=,…课题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（2）一、复习引入：1．两角和与差的余弦公式:2．求cos75的值解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30=3．计算：cos65cos115cos25sin115解：原式=cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=14计算：cos70cos20+sin110sin20原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=05．已知锐角,满足cos=cos(+)=求cos解：∵cos=∴sin=又∵cos(+)=<0∴+为钝角∴sin(+)=∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin=二、讲解新课：两角和与差的正弦1推导sin(+)=cos[(+)]=cos[()]=cos()cos+sin()sin=sincos+cossin即：（S+）以代得：（S）三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：1sin752sin13cos17+cos13sin17解：1原式=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=2原式=sin(13+17)=sin30=例2求证：cos+sin=2sin(+)证一（构造辅助角）：左边=2(cos+sin)=2(sincos+cossin)=2sin(+)=右边证二：右边=2(sincos+cossin)=2(cos+sin)=cos+sin=左边例3已知sin(+)=,sin()=求的值解：∵sin(+)=∴sincos+cossin=①=sin()=∴sincoscossin=②=①+②：sincos=①②：cossin=四、练习1在△ABC中，已知cosA=，cosB=，则cosC的值为（A）（A）（B）（C）（D）解：因为C=(A+B)，所以cosC=cos(A+B)又因为A,B(0,),所以sinA=,sinB=,所以cosC=cos(A+B)=sinAsinBcosAcosB=2已知，，，，求sin(+)的值解：∵∴又∴∵∴又∴∴sin(+)=sin[+(+)]=六、课后作业：1已知sin+sin=，求cos+cos的范围解：设cos+cos=t，则(sin+sin)2+(cos+cos)2=+t2∴2+2cos()=+t2即cos()=t2又∵1≤cos()≤1∴1≤t2≤1∴≤t≤2已知sin(+)=，sin()=，求的值解：由题设：从而：或设：x=∵∴∴x=即=课题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（3）一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式2．求证：cosx+sinx=cos(x)证：左边=(cosx+sinx)=(cosxcos+sinxsin)=cos(x)=右边又证：右边=(cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx)=cosx+sinx=左边2．已知sin+sin=①，cos+cos=②，求cos()解：①2:sin2+2sinsin+sin2=③②2:cos2+2coscos+cos2=④③+④:2+2(coscos+sinsin)=1即：cos()=二、讲解新课：两角和与差的正切公式T+,T1tan(+)公式的推导∵cos(+)0tan(+)=当coscos0时,分子分母同时除以coscos得：以代得：其中都不等于2．注意：1必须在定义域范围内使用上述公式即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解2注意公式的结构，尤其是符号3．引导学生自行推导出cot(±)的公式—用cot，cot表示cot(+)=当sinsin0时,cot(+)=同理，得：cot()=三、讲解范例：例1求tan15，tan75及cot15的值：解：1tan15=tan(4530)=2tan75=tan(45+30)=3cot15=cot(4530)=例2已知tan=，tan=2求cot()，并求+的值，其中0<<90,90<<180解：cot()=∵tan(+)=且∵0<<90,90<<180∴90<+<270∴+=135例3求下列各式的值：12tan17+tan28+tan17tan28解：1原式=2∵∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1tan17tan28∴原式=1tan17tan28+tan17tan28=1四、课堂练习：１已知（１）求；（２）求的值（其中）．分析：（１）观察（）的结构，直接代入公式；若改求呢？（２）由（１）直接运用公式（）容易求出的值．但由已知的三角函数值求角时，所得的解不唯一的．因此，必须根据已知条件进行分析，这就要确定的范围．２计算下列各式的值（１）（２）分析：观察探求的结构，可以逆用公式（）求解．３计算的值．分析：因为，所以原式可以看成是课题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（4）一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式二、讲解范例：例1化简解：原式=或解：原式=例2已知，求函数的值域解：∵∴∴∴函数y的值域是例3已知，求的值解：∵即：∵∴从而而∴例4已知求证tan=3tan(+)证：由题设：即∴∴tan=3tan(+)已知，，，求sin2的值解：∵∴∴∴又∴∴sin2==例7求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用证明：左端＝说明：可在△ABC中证明∴+==－1∴＝∴．2求证：证明:∵∴3求证：证明:∵∴七、课后记：1求值：（1）选题意图：考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力解：(1)原式（2）原式说明：在三角函数关系式的变形过程中，要注意统一角、统一函数，要注意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等2已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，求tan（α＋β）选题意图：考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力解：由3sinβ＝sin（2α＋β）即3sin［（α＋β）－α］＝［sin(α＋β)＋α］得：3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα∴2sin（α＋β）cosα＝4cos（α＋β）sinα∴tan（α＋β）＝2tanα又tanα＝1∴tan（α＋β）＝2说明：本题解法的关键是要注意到β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α课题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（5）一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式二、讲解范例：例1在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC证一：在△ABC中，∵A+B+C=∴A+B=C从而有tan(A+B)=tan(C)即：∴tanA+tanB=tanC+tanAtanBtanC即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC证二：左边=tan(A+B)(1tanAtanB)+tanC=tan(C)(1tanAtanB)+tanC=tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)……(1+tan44)解：(1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44=1+tan45(1tan1tan44)+tan1tan44=2同理：(1+tan2)(1+tan43)=2(1+tan3)(1+tan42)=2……∴原式=222例3已知tan和是方程的两个根，证明：pq+1=0证：由韦达定理：tan+=p，tan•=q∴∴pq+1=0例4已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是钝角，求+的值解：∵两式作差，得：tan+tan=(1tantan)即∴又,都是钝角∴<+<2∴+例5已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求的值解：∵tan，tan是方程x2+px+2=0的两实根∴∴例6求的值解：原式==三、课堂练习：1若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为()2已知α＋β＝kπ－（k∈Ｚ）则（1－tanα）（1－tanβ）的值为()A－1B1Ｃ－2Ｄ23若a＝tan100°，b＝t