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文档简介

第十一章反常积分§1

反常积分概念

教学内容：1.反常积分概念的引入2.无穷积分的定义3.瑕积分的定义教学重点：无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分

教学难点：反常积分概念的引入一.问题的提出定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分”。

例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？从而火箭从地面上升到离地心r(>R)处需作的功为

最后由机械能守恒定律得

把各数值代入可求得结果。

例2：圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R，桶底有一半径为r的小孔。试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x

时，水从孔中流出的速度为设在很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足所以流完一桶水所需时间可写为“积分”但是因为这里的被积函数是[0,h)上的无界函数，故从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及无界函数的“积分”。

二.无穷区间上的反常积分

1.定义无穷区间有三种，分别给出其定义：

定义1：

无穷限反常积分（简称无穷积分）,记为收敛。

如果极限（1）不存在，

发散。

注意：

同理可给出当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。

注意：

的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关。

Oxya2.

利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛，极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。

例3：

结论：要求熟记注意：

下面再看如何利用此结论解题

例4：

解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关方法如换元积分法或分部积分法来处理3.

利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式：

既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。

公式：

注意：

上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。

例5：

三.无界函数的反常积分1.瑕点的定义

瑕点。2.无界函数反常积分的定义

定义2：无界函数

的反常积分（简称瑕积分），记为

收敛。发散。注意：

同理可以给出另外几种情形的定义：

当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。

当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。

注意：

2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法(1)

利用定义方法：

先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛，极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。

例6：

结论：要求熟记注意：

（1）此结论以后是经常用到的，要熟记。

（2）此结论可以推广为以下几种情形：

由例3和例6的结论知，右边两个反常积分不能同

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