初中数学七年级下册 期末测试卷 （含答案）

第1页（共1页）中学七年级（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．明天太阳从西边升起 B．掷出一枚硬币，正面朝上 C．打开电视机，正在播放2018俄罗斯世界杯足球赛 D．任意画一个三角形，它的内角和为180°3．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤24．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝54°，则∠2的度数是（）A．54° B．126° C．36° D．136°5．（4分）如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，那么∠BFC的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°6．（4分）根据如图所示的程序计算变量y的值，若输入的x值是4或8时，输出的y值相等，则b等于（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．107．（4分）估计（2）的值应在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间8．（4分）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣19．（4分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，端午节这天小颖的爸爸买了红豆粽和肉粽共12个，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同，小颖随意选了一个准备吃，爸爸说她会吃到红豆棕的概率为，则爸爸买的肉粽的个数是（）A．3个 B．4个 C．8个 D．9个10．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．711．（4分）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．512．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE＝CD，AD、BE相交于点F，AF＝BF，下列结论中正确的有（）①BE＝AD；②∠AFE＝60；③CF⊥BE；④AF+FC＝FB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）13．（4分）8的立方根是．14．（4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC＝度．15．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于．16．（4分）已知b＝﹣1，则ab＝．17．（4分）从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为．18．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．19．（4分）A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为千米．20．（4分）如图，在等腰△ABC中AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M．若BE＝10，AF＝2，则FC＝．三、解答题，（本大愿共2个题，每题10分，共20分21．（10分）计算：（1）（3+﹣4）÷（2）（﹣）（+）﹣（）222．（10分）解二元一次方程组：（1）（2）四、解答题：（本大题共5个小题，其中23题8分，24-26题10分，27题12分，共50分）23．（8分）如图，点A、B、D、E在同一直线上，AB＝DE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：AC＝EF．24．（10分）周末风风和小宛一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小宛做了一会准备活动风风先跑，当小宛出发时，风风已经距起点200米了，小宛跑了70秒后开始体息；他们距起点的距离s（米）与小宛出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）风风的速度为米/秒；小宛休息前的速度为米/秒；（2）求小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式，并求出小宛第一次追上风风时离起点的距离．25．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．26．（10分）若一个三位数（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为P（t）．例如，647的差数P（647）＝764﹣467＝297．（1）求证：任意一个三位数的差数能被99整除；（2）若s，t都是各数位上的败字均不为0且互不相等的三位自然数，s的个位数字为1，十位数字是个位数字的3倍，百位数字为x，t的百位数字为y，十位数字是百位数字的2倍，s的百位数字与t的个位数字相同（1≤x≤9，1≤y≤8）．若（s+t）能被4整除，（s﹣t）能被11整除，求P（t）值．27．（12分）已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，点D为BC边上的一个定点，连接AD，点P为AC边上一个动点．（1）如图1，若AD＝BP，CD＝2，求AP的长；（2）如图2，∠CAD＝20°，点Q为AD上的一个动点，连接PQ、PD，当线段PQ与PD之和最小时，求∠PDQ的度数；（3）在（2）问的条件下，将△ACD绕点D沿顺时针方向旋转得到△A′C′D，设旋转角为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，直线A'C'、直线A′D分别与AB所在的直线交于点E和F，是否存在这样的位置，使得△A'EF为等腰三角形？若存在，求出此时的旋转角α；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．明天太阳从西边升起 B．掷出一枚硬币，正面朝上 C．打开电视机，正在播放2018俄罗斯世界杯足球赛 D．任意画一个三角形，它的内角和为180°【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【解答】解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件；B、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；C、打开电视机，正在播放2018俄罗斯世界杯足球赛，是随机事件；D、任意画一个三角形，它的内角和为180°，是必然事件；故选：D．【点评】本题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．3．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得2﹣x≥0，解得，x≤2，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．4．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝54°，则∠2的度数是（）A．54° B．126° C．36° D．136°【分析】先根据平行线的性质，求得∠3的度数，再根据邻补角，求得∠2的度数即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣54°＝126°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．5．（4分）如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，那么∠BFC的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝50°，依据BD为△ABC的角平分线，可得∠ABD＝25°，根据CE为△ABC的高，即可得到∠BEF＝90°，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFC＝∠BEF+∠ABD．【解答】解：∵∠A＝80°，∠BCA＝50°，∴∠ABC＝50°，又∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝25°，∵CE为△ABC的高，∴∠BEF＝90°，∴∠BFC＝∠BEF+∠ABD＝90°+25°＝115°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（4分）根据如图所示的程序计算变量y的值，若输入的x值是4或8时，输出的y值相等，则b等于（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．10【分析】先求出x＝8时y的值，再将x＝4、y＝﹣2代入y＝2x+b可得答案．【解答】解：∵当x＝8时，y＝6﹣8＝﹣2，∴当x＝4时，y＝2×4+b＝﹣2，解得：b＝﹣10，故选：A．【点评】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．7．（4分）估计（2）的值应在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】先计算（2）得到原式＝2﹣2，再根据“夹逼法”得到4＜2＜5，从而得到（2）的值的范围．【解答】解：（2）＝2）＝2﹣2，∵4＜2＜5，∴2＜2﹣2＜3．∴（2）的值应在2和3之间．故选：B．【点评】此题考查估算无理数大小的知识，解答本题的关键是得出4＜2＜5，注意“夹逼法”的运用．8．（4分）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】把x＝2．y＝1代入方程组得出方程组求出方程组的解即可．【解答】解：把x＝2．y＝1代入方程组得：①+②得：4a＝8，解得：a＝2，把a＝2代入①得：4+b＝7，解得：b＝3，a﹣b＝2﹣3＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，解此题的关键是能得出关于a、b的方程组，难度适中．9．（4分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，端午节这天小颖的爸爸买了红豆粽和肉粽共12个，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同，小颖随意选了一个准备吃，爸爸说她会吃到红豆棕的概率为，则爸爸买的肉粽的个数是（）A．3个 B．4个 C．8个 D．9个【分析】设爸爸买的肉粽的个数为x，根据概率公式列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：设爸爸买的肉粽的个数为x，根据题意，得：＝，解得：x＝3，即肉粽的个数为3，故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．10．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×5×4+×AC×4＝8，然后解一次方程即可．【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴×5×4+×AC×4＝24，∴AC＝7．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．（4分）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，原式＝＝＝＝3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．12．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE＝CD，AD、BE相交于点F，AF＝BF，下列结论中正确的有（）①BE＝AD；②∠AFE＝60；③CF⊥BE；④AF+FC＝FB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等边三角形的性质得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再根据“SAS”可判断△ABE≌△CAD，所以BE＝AD；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD＝∠BAE，求出∠CAF+∠ACD＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，判定②正确；首先易得△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1＝∠6，BE＝AD，∠AEB＝∠ADC，然后取BF中点M，得到AF＝BM，从而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性质，等腰三角形的性质，得到∠8与∠1+∠2的关系以及∠BAE与∠1+∠2的关系，利用∠BAE＝60°，可得∠8的度数以及∠3的读数，从而得到∠BFC的读数，最后可得CF⊥BE．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD，故①正确；∵∠ACD＝∠BAE，∴∠CAF+∠ACD＝∠CAF+∠BCE＝∠BAC＝60°，在△ACF中，∠AFC＝180°﹣（∠CAF+∠ACD）＝180°﹣60°＝120°，∴∠AFE＝60°，故②正确；取BF中点M，连接AM．在△ABE和△CAD中，∠EAB＝∠DCA＝60°，AB＝CA，，∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠1＝∠6，BE＝AD，∠AEB＝∠ADC，∵AF＝BF，BM＝BF，∴AF＝BM．∵FD＝AD﹣AF，ME＝BE﹣BM，∴FD＝ME．在△AME与△CFD中，，∴△AME≌△CFD（SAS），∴∠7＝∠MAE＝∠5+∠6，∠3＝∠4，∵AF＝MF，∴∠8＝∠3+∠5＝2（∠1+∠2），而∠BAE＝∠2+∠5+∠6＝∠2+∠3+∠6＝∠2+（∠1+∠2）+∠1＝2（∠1+∠2），∴∠8＝∠9＝60°，∠3＝∠1+∠2＝∠BAE＝30°，又∵∠9＝∠8＝60°，∠4＝∠3＝30°，∴∠BFC＝∠9+∠4＝90°，∴CF⊥BE，故③正确．无法得出AF＝FC，故④错误；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质．二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）13．（4分）8的立方根是2．【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：8的立方根为2，故答案为：2．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．14．（4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC＝75度．【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，所以∠BAE＝∠D＝30°，利用三角形的外角关系即可求出∠AEC的度数【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠D＝30°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，故答案为：75．【点评】此题主要三角形的外角的性质，识别三角板，判断出∥CD是解本题的关键．15．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于50°或130°．【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，∴∠A＝50°，即顶角的度数为50°．②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，∴∠BAD＝50°，∴∠BAC＝130°．故答案为50°或130°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．16．（4分）已知b＝﹣1，则ab＝．【分析】根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，代入计算即可；【解答】解：由题意得：3a﹣12≥0，8﹣2a≥0解得：a≥4，a≤4∴a＝4∴b＝﹣1∴ab＝4﹣1＝故答案为：【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求出a的值是解题的关键．17．（4分）从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得能组成三角形的概率．【解答】解：从长度分别为3，4，6，9的四条线段中任取三条的所有可能性是：（3，4，6）、（3，4，9）、（3，6，9）、（4，6，9），能组成三角形的可能性是：（3，4，6）、（4，6，9），∴能组成三角形的概率为：＝，故答案为．【点评】本题考查列表法和树状图法、三角形三边关系，解答此类问题的关键是写出所有的可能性．18．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为9．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．（4分）A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为千米．【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离．【解答】解：设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，，解得，，设第二次甲追上乙的时间为m小时，100m﹣25（m﹣1）＝600，解得，m＝，∴当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为：25×（）＝千米，故答案为：．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．20．（4分）如图，在等腰△ABC中AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M．若BE＝10，AF＝2，则FC＝6．【分析】在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，求出∠EFM＝∠CAM，根据等边三角形的性质得出∠EFM＝60°，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，求出∠5＝∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，求出FC＝2FD，即可得出答案．【解答】解：在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵AD⊥BC，∴直线AD垂直平分BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠FBC﹣∠1＝∠FCB﹣∠2，即∠3＝∠4，∵等边三角形ACE中，AC＝AE，∴AB＝AE，∴∠3＝∠5，∴∠4＝∠5，∵∠FME＝∠AMC，∠5＝∠4，∴180°﹣∠5﹣∠FME＝180°﹣∠4﹣∠AMC，∴∠EFM＝∠CAM，∵等边三角形ACE中，∠CAE＝60°，∴∠EFM＝60°，∵FN＝FE，∴△EFN是等边三角形，∴∠FEN＝60°，EN＝EF，∵△ACE为等边三角形，∴∠AEC＝60°，EA＝EC，∴∠FEN＝∠AEC，∴∠FEN﹣∠MEN＝∠AEC﹣∠MEN，即∠5＝∠6，在△EFA和∠ENC中，，∴△EFA≌△ENC，∴FA＝NC，∴FE+FA＝FN+NC＝FC，∴BE+AF＝12，∴BF+EF+AF＝2FC＝12，∴CF＝6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，难度偏大．三、解答题，（本大愿共2个题，每题10分，共20分21．（10分）计算：（1）（3+﹣4）÷（2）（﹣）（+）﹣（）2【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法法则运算；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝（9+﹣2）÷＝8÷＝8；（2）原式＝5﹣3﹣（2+4+6）＝2﹣8﹣4＝﹣6﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．22．（10分）解二元一次方程组：（1）（2）【分析】（1）利用加减消元法求解可得；（2）方程组整理为一般式，再利用加减消元法求解可得．【解答】解：（1），①+②×2，得：7x＝21，解得x＝3，将x＝3代入①，得：9+2y＝5，解得y＝﹣2，则方程组的解为；（2）方程组整理，得：，①+②×5，得：14y＝28，解得y＝2，将y＝2代入②，得：﹣x+10＝8，解得x＝2，所以方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．四、解答题：（本大题共5个小题，其中23题8分，24-26题10分，27题12分，共50分）23．（8分）如图，点A、B、D、E在同一直线上，AB＝DE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：AC＝EF．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠E，再求出AB＝ED，然后利用“角角边”证明△ABC和△EDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵AC∥EF，∴∠A＝∠E，∵AD＝EB，∴AD﹣BD＝EB﹣BD，即AB＝ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（AAS），∴AC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．24．（10分）周末风风和小宛一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小宛做了一会准备活动风风先跑，当小宛出发时，风风已经距起点200米了，小宛跑了70秒后开始体息；他们距起点的距离s（米）与小宛出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）风风的速度为2米/秒；小宛休息前的速度为6米/秒；（2）求小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式，并求出小宛第一次追上风风时离起点的距离．【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，即可分别算出风风以及小宛的速度；（2）设小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝kt+b，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可得出函数关系式，再令y＝0求出x的值，从而找出取值范围，此题得解．【解答】解：（1）风风的速度为：（420﹣200）÷110＝2（米/秒）；小宛的速度为：420÷70＝6（米/秒）．故答案为：2；6．（2）设小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝kt+b，将（0，200）、（110，420）代入s＝kt+b中，得：，解得：，∴小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝2t+200，当s＝0时，有0＝2t+200，解得：t＝﹣100，∴小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝2t+200．小宛第一次追上风风时离起点的距离是300米．【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．25．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．【分析】（1）利用三角形面积之间的关系进行转化，可得：S△AEC＝6，再利用三角形面积公式可求得AB＝6；（2）通过倍延中线构造全等三角形的方法，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，则△BED≌△GEC（SAS），再证明：△ABF≌△GBC（AAS），即可．【解答】解：（1）∵AD＝2BD，S△BDC＝6，∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，∵E为CD中点∴＝6，∵EH⊥AC∴AC•EH＝6∵EH＝2∴AC＝6∵AB＝AC∴AB＝6（2）如图2，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，在△BED和△GEC中，∴△BED≌△GEC（SAS）∴BD＝CG，∠ABE＝∠G∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB∵∠A＝∠CBF∴∠ABF+∠A＝∠ACB∵∠BFC＝∠ABF+∠A∴∠BFC＝∠ACB∴BF＝BC∵∠A＝∠ABE＝∠CBF∴∠A＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF∴∠ABF＝∠GBC在△ABF和△GBC中，∴△ABF≌△GBC（AAS）∴AF＝CG又∵BD＝CG∴AF＝BD∵AF+CF＝AC，AB＝AC∴BD+CF＝AB【点评】本题考查了三角形面积，等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，解题关键是倍延中线构造全等三角形．26．（10分）若一个三位数（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为P（t）．例如，647的差数P（647）＝764﹣467＝297．（1）求证：任意一个三位数的差数能被99整除；（2）若s，t都是各数位上的败字均不为0且互不相等的三位自然数，s的个位数字为1，十位数字是个位数字的3倍，百位数字为x，t的百位数字为y，十位数字是百位数字的2倍，s的百位数字与t的个位数字相同（1≤x≤9，1≤y≤8）．若（s+t）能被4整除，（s﹣t）能被11整除，求P（t）值．【分析】（1）直接表示出重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，然后求差，提公因式即可证明．（2）将s、t分别表示出来，然后计算（s+t）、（s﹣t）并分别表示为4的倍数、11的倍数加余数形式，然后根据整除的规律和xy取1﹣9的自然数，即可得到xy的值，依据定义求出P（t）即可．【解答】解：（1）设三位数（其中a、b、c不全相等且都不为0）中a＞b＞c，则最大数＝100a+10b+c，最小数＝100c+10b+a，P（）＝（100a+10b+c）﹣（100c+10b+a）＝99a﹣99c＝99（a﹣c）．∴任意一个三位数的差数能被99整除；（2）依题意得，s＝100x+31，t＝120y+xs+t＝101x+120y+31＝4（25x+30y+8）+（x﹣1）s﹣t＝99x﹣120y+31＝11（9x﹣11y+8）+（y﹣2），∵（s+t）能被4整除，（s﹣t）能被11整除，∴x﹣1是4的倍数，y﹣2是11的倍数，而且1≤x≤9，1≤y≤8．∴y＝2，x＝5或9，∴当x＝5，y＝2时，t＝245，P（245）＝542﹣245＝297，当x＝9，y＝2时，t＝249，P（249）＝942﹣249＝693．【点评】此题考查的是因式分解的应用，主要是考查对数字拆分组合的能力，这类题目多需要根据题设进行讨论求解．27．（12分）已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，点D为BC边上的一个定点，连接AD，点P为AC边上一个动点．（1）如图1，若AD＝BP，CD＝2，求AP的长；（2）如图2，∠CAD＝20°，点Q为AD上的一个动点，连接PQ、PD，当线段PQ与PD之和最小时，求∠PDQ的度数；（3）在（2）问的条件下，将△ACD绕点D沿顺时针方向旋转得到△A′C′D，设旋转角为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，直线A'C'、直线A′D分别与AB所在的直线交于点E和F，是否存在这样的位置，使得△A'EF为等腰三角形？若存在，求出此时的旋转角α；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可证△ACD≌△BCP，可得CD＝CP＝2，即可求AP的长．（2）如图：作点D关于AC的对称点D'，连接D'P，则PD+PQ＝PD'+PQ，即当D'，P，Q三点共线且QD'⊥AD时，PD+PQ的最短，即可求∠PDQ的值．（3）分A'E＝A'F，EF＝A'E，EF＝A'F，三种情况讨论，根据旋转性质可求旋转角α的度数．【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5∴BC＝AC＝5又∵AD＝BP∴Rt△ACD≌Rt△BCP∴CP＝CD＝2∵AP＝AC﹣CP∴AP＝3（2）如图：作点D关于AC的对称点D'，连接D'P∵点D，点D'关于AC对称∴DP＝D'P，∠D'AC＝∠DAC＝20°∴DP+PQ＝D'P+PQ∴当D'，P，Q三点共线，且D'Q⊥AD时，DP+PQ的值最短．∴此时∠AD'Q＝90°﹣∠D'AD＝50°∵AC⊥CD∴∠AD'D＝∠ADD'＝70°∴∠PD'D＝20°∵PD＝PD'∴∠PDD'＝PD'D＝20°且∠ADC＝70°∴∠ADP＝50°即∠PDQ＝50°（3）若A'E＝A'F，如图3∵A'E＝A'F∴∠A'EF＝∠A'FE＝＝80°∴∠DFB＝80°∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠B＝45°且∠DFB＝80°∴∠A'DC＝125°∵旋转∴∠ADC＝∠A'DC'＝70°∴∠CDC'＝55°即旋转角α为55°或如图，同理可求旋转角α为145°若EF＝A'F，如图4∵EF＝A'F∴∠A'＝∠FEA'＝20°∵∠EFD＝∠A'+∠FEA'∴∠EFD＝40°∵∠ABC＝∠BDF+∠BFD＝45°∴∠BDF＝5°∵∠C'DA'＝70°∴∠C'DB＝70﹣5＝65°∴∠CDC'＝115°即旋转角α为115°若EF＝AE'，则∠A'＝∠EFA'＝20°∴∠DFB＝20°，又∵∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝25°∴∠DFB＜∠DAB即不合题意或如图，∵EF＝A'E∴∠F＝∠A'＝20°∵∠DAB＝∠F+∠FDA＝25°∴∠FDA＝5°∴旋转角α＝175°综上所述，旋转角为115°或55°或145°或175°【点评】本题考查了三角形综合题，最短路径问题，等腰三角形的性质，利用分类思想解决问题是本题的关键．

考点卡片1．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．3．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．4．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．5．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．7．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．8．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x＝ax＝b的形式表示．9．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．10．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．11．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．12．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．13．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．14．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．15．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重