期中专题03 直线与圆的方程综合（解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考山东专用）

第第页试卷第=page11页，共=sectionpages33页期中专题03直线与圆的方程综合备考秘籍备考秘籍点到直线的距离公式点，直线，点到直线的距离为：两条平行线间的距离公式，，直线与圆的位置关系直线，圆代数关系，几何关系圆上一点的切线方程圆与圆的位置关系设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有：则或：真题训练真题训练一、单选题1．（2022秋·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由题意可得.故选：C.2．（2022秋·山东济南·高二校考期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.【详解】解：由题意，两直线的距离为.故选：A.3．（2022秋·山东菏泽·高二校考期中）已知直线，与垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】由题意可得，解得.故选：B.4．（2022秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期中）已知点，，若直线l：与线段AB有公共点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线l：过定点P(1,-2)，再分别求得直线PA，PB的斜率，利用数形结合法求解.【详解】解：直线l：过定点P(1,-2)，又，如图所示：若直线l：与线段AB有公共点，则k的取值范围是，故选：D5．（2022秋·山东滨州·高二校考期中）已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选:D.6．（2022秋·山东·高二校考期中）已知分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的最小值是（

）A．7 B．8 C． D．【答案】C【分析】作圆N关于x轴对称的圆G，根据两边之差小于等于第三边，两边之和大于等于第三边，转化为的长度可得.【详解】如图，作圆N关于x轴对称的圆G，则圆.所以，当且仅当三点共线时，等号成立.则的最小值为，故选：C.7．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第十七中学校考期中）已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.【详解】由圆的方程得：圆心为，反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，反射光线所在直线方程为，即.故选：A.二、多选题8．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）已知直线，若，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】AB【分析】根据两条直线平行，斜率相等即可求得.【详解】则由题意得，的斜率对于，因为，显然，斜率为，则解得或，当或时，两条直线不重合，所以符合题意.故选：AB9．（2022秋·山东济南·高二校考期中）已知，两点到直线的距离相等，则实数的值可能为（

）A． B．3 C． D．1【答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于的方程，解方程即可．【详解】解：因为，两点到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得，所以实数的值可能为．故选：AB．10．（2022秋·山东济南·高二校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确；对于D,若，不妨取，则，不满足，不垂直，D错误，故选：11．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（

）A．直线l过定点B．动点C的轨迹方程为C．动点C到直线l的距离的最大值为D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则【答案】ABD【分析】设,由题意求出点的轨迹以及轨迹方程,利用直线与圆的位置关系,依次判断四个选项即可.【详解】对于A,直线l：，，，直线l过定点，故选项A正确;对于B,设,因为动点满足,所以,整理可得,即,所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆,动点的轨迹方程为,故选项B正确;对于C,当直线与垂直时,动点到直线的距离最大,且最大值为,故选项C错误;对于D,记圆心到直线的距离为,则,因为,则,因为,所以,即,解得,故选项D正确.故选:ABD.12．（2022秋·山东·高二校考期中）以下四个命题表述正确的是（

）A．若两条直线互相平行，则它们的斜率相等B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1【答案】BC【分析】对于A:当两条直线互相平行，可能斜率不存在即可判断；对于B:根据AB为切点，得出，，由此判断AB在以为直径的圆上，以此求出公共弦AB的直线方程，找到定点.对于C:两圆三条公切线，说明两圆外切，两圆心距离应该等于两圆半径之和.对于D:判断直线与圆上各点距离两个方向的最远距离，两值大于1则有四个满足条件的点.【详解】对于A:若两条直线平行，则斜率不存在或斜率相等，故A错误；对于B:设点，因为AB为切点，所以，，连接，根据圆周角与圆直径关系可知，AB两点在以为直径的圆上，圆的方程为，两圆公共弦AB所在直线方程为，联立方程得，令，则故B正确.对于C:曲线：，曲线:，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，得故C正确.对于D:直线与圆相切，且与距离为1，因此圆上存在3个点到直线l：的距离都等于1故D错误.故选:BC三、填空题13．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知直线：，：，若∥，则的值是．【答案】4【分析】由两直线平行可得，代入相关数据计算即可.【详解】解：因为∥，所以.故答案为：4.14．（2022秋·山东济南·高二校考期中）以两点和为直径端点的圆的标准方程是.【答案】【分析】通过圆过定点和，以及线段是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过和，且以为直径，设圆心为，半径为，∴，，，∴，，∴以两点和为直径端点的圆的标准方程是：，故答案为：.15．（2022秋·山东济南·高二校考期中）若经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是.【答案】【分析】分析可知，直线的斜率为，利用斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线的斜率为且，所以，，解得.故答案为：.16．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程：．【答案】（或）【分析】设所求圆的标准方程为：，代入，两点的坐标求解即可.【详解】解：设所求圆的标准方程为：，则有，解得或，所以所求圆的标准方程为：或.故答案为：或.17．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为.【答案】【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径，设，,所以切线长为，以为圆心，半径为的圆的方程为，即①，圆即②，由①-②得直线的方程为，即.故答案为：18．（2022秋·山东菏泽·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为.【答案】【分析】设点，求出、的表达式，利用代数式的几何意义以及数形结合思想可求得的最小值.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.设点，则，所以，的几何意义是点到点的距离，，所以，的几何意义是点到点的距离，如下图所示：，当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.19．（2022秋·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考期中）设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程.【答案】或.【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．【详解】由题意设所求的圆的方程为：.圆心到直线的距离为，圆被直线：截得的弦的中点为，，解得或，即所求的圆的方程为：或.故答案为：或.20．（2022秋·山东·高二校考期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，则欧拉线的方程为.【答案】【分析】根据的顶点为，求得重心坐标，结合外心的性质设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程.【详解】因为的顶点为，所以重心，因为线段的垂直平分线方程为，所以可设的外心为，则，即，解得，所以．所以该三角形的欧拉线方程为，化简可得，.故答案为：.四、双空题21．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）动直线被圆截得的最短弦长的值为，此时实数．【答案】【分析】求出圆心到直线的距离，表示出弦长即可求出最短弦长.【详解】圆可化为，即圆心为，半径为，直线过定点，则圆心到直线的距离的最大值为，所以动直线被圆截得的最短弦长为，此时由解得，故答案为：；22．（2022秋·山东菏泽·高二校考期中）直线过定点，原点到直线l的距离的最大值为.【答案】【分析】将化为可得直线所过定点；由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值.【详解】由可得，则，得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为，因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为.故答案为：；.五、解答题23．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知直线：，：，且．(1)求k的值；(2)若直线与的交点的直线上，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可求解；(2)联立两直线方程求出交点坐标，代入直线的方程即可求解.【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为k．因为，所以，故．（2）由题意可知：联立两直线方程可得：，解得．将点代入的方程得，解得，所以直线的方程为．24．（2022秋·山东济南·高二校考期中）已知圆经过点和坐标原点，且圆心在直线上(1)求圆的标准方程；(2)直线与圆相交，求的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求出，即可得解；（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为，由题意得，解得，所以圆的标准方程为；（2）圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，因为直线与圆相交，所以，即，解得，所以.25．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.【答案】(1)(2)4；【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围．（2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程.【详解】（1）直线可化为，要使直线不经过第四象限，则,解得，∴k的取值范围为；（2）由题意可得中取得,取得,故，当且仅当时，即时取“=”，此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒26．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知圆M：，圆N：，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5．(1)求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系；(2)过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程．【答案】(1)，圆M与圆N相交(2)或，【分析】（1）先用配方法确定圆的圆心和半径，然后根据切线长公式计算出m的值，再根据圆心距和半径之间的大小关系判断位置关系；（2）过圆外一点可作圆的两条切线，在我们求解的过程中需要对直线的斜率是否存在进行讨论.【详解】（1）由题意知，，，圆N的半径，由勾股定理得，即，解得．所以，，，．因为，所以圆M与圆N相交；（2）当l的斜率不存在时，l的方程为．检验知满足相切.当l的斜率存在时，设l的方程为，即，因为l与圆M相切，所以，解得，所以l的方程为，即．综上所述，l的方程为或，27．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．(1)求曲线的方程；(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.【详解】（1）设，，由中点坐标公式得．因为点M的轨迹方程是，所以，整理得曲线C的方程为．（2）设直线l的方程为，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直线的方程为，即直线过定点．因为为定值，且为直角三角形，为斜边，所以当点是的中点时，为定值．因为，，所以由中点坐标公式得．所以存在定点使得为定值．28．（2022秋·山东菏泽·高二校考期中）已知线段的端点，端点在圆上运动.(1)求直线被圆所截得的弦长；(2)点在线段上，且，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长；（2）设点、，由题意可得出，利用平面向量的坐标运算可得出，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.【详解】（1）解：圆心为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，因此，直线被圆所截得的弦长为.（2）解；设点、，由题意可得，即，可得，因为点在圆上，所以，，即