2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题43 直线、平面平行的判定与性质（含解析）

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知识梳理考纲要求

考点预测

常用结论

方法技巧

题型归类题型一：直线与平面平行的判定与性质

题型二：平面与平面平行的判定与性质

题型三：平行关系的综合应用

培优训练训练一：

训练二：

训练三：

训练四：

训练五：

训练六：

强化测试单选题：共8题

多选题：共4题

填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．

【考点预测】

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行aα，bα，a∥ba∥α

性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β

性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，aαa∥β

性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b

【常用结论】

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(4)若α∥β，aα，则a∥β.

【方法技巧】

1.判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点)．

②利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α)．

③利用面面平行的性质(α∥β，aαa∥β)．

④利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥αa∥β)．

2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．

3.证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义．

(2)面面平行的判定定理．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．

4.解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．

二、【题型归类】

【题型一】直线与平面平行的判定与性质

【典例1】如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.

【解析】证明法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.

又AP＝DQ，∴PE＝QB，

又PM∥AB∥QN，

∴＝＝＝，∴＝.

又AB∥DC，且AB=DC，∴PM∥QN，且PM=QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，

∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

法二如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.

则PM∥平面BCE，

∵PM∥BE，

∴＝，又AE＝BD，AP＝DQ，

∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，

∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，

∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，

∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.

【典例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.

【解析】证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，∴PA∥OM，

又OM平面BMD，PA平面BMD，

∴PA∥平面BMD，

又平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH.

【典例3】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.

【解析】(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.

因为O，M分别为AC，EF的中点，

四边形ACEF是矩形，

所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.

又因为OE平面BDE，AM平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

(2)解l∥m，证明如下：

由(1)知AM∥平面BDE，

又AM平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，

所以l∥AM，

同理，AM∥平面BDE，

又AM平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，

所以m∥AM，所以l∥m.

【题型二】平面与平面平行的判定与性质

【典例1】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．

(1)求证：BC∥GH；

(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.

【解析】证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，

∴平面ABC∥平面A1B1C1，

又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，

且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，

∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.

(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB，且A1B1=AB，

∴A1G∥EB，且A1G=EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.

∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF平面EFA1，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

【典例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．

(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；

(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．

【解析】证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，

∴EF∥A1C1，

∵A1C1平面A1C1G，EF平面A1C1G，

∴EF∥平面A1C1G，

又F，G分别为A1B1，AB的中点，

∴A1F＝BG，

又A1F∥BG，

∴四边形A1GBF为平行四边形，

则BF∥A1G，

∵A1G平面A1C1G，BF平面A1C1G，

∴BF∥平面A1C1G，

又EF∩BF＝F，EF，BF平面BEF，

∴平面A1C1G∥平面BEF.

(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，

平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，

则A1C1∥GH，得GH∥AC，

∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．

【典例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.

【解析】证明(1)由题设知BB1，DD1平行且相等，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.

又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，

所以BD∥平面CD1B1.

因为A1D1，B1C1，BC平行且相等.

所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥D1C.

又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，

所以A1B∥平面CD1B1.

又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B平面A1BD，

所以平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，

又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，

平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，

所以直线l∥直线BD，

在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，

所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.

【题型三】平行关系的综合应用

【典例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.

【解析】证明(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE，BC＝AE，

所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.

又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，

因为FO平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，

所以FH∥PD，

因为PD平面PAD，FH平面PAD，

所以FH∥平面PAD.

又因为O是AC的中点，H是CD的中点，

所以OH∥AD，

因为AD平面PAD，OH平面PAD，

所以OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，FH，OH平面OHF，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因为GH平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

【典例2】如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

【解析】证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.

连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE平面DMF，MO平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，

又DE平面MNG，NG平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

因为M为AB的中点，N为AD的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又BD平面MNG，MN平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.

【典例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.

(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．

【解析】(1)证明连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，

所以BC∥AD，

故△PBC∽△PDM，

所以＝＝，

又因为＝＝，

所以＝＝，

所以PQ∥MD1.

又MD1平面A1D1DA，PQ平面A1D1DA，

故PQ∥平面A1D1DA.

(2)解当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，

证明如下：

因为＝，

即＝，

故＝.

所以PR∥DA.

又DA平面A1D1DA，PR平面A1D1DA，

所以PR∥平面A1D1DA，

又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR平面PQR，

所以平面PQR∥平面A1D1DA.

三、【培优训练】

【训练一】(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的是()

A.A1P∥平面AD1C

B.A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是

C.A1P＋PC的最小值为

D.以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是

【解析】对于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正确；

对于B，当B1P⊥BC1时，A1P与平面BCC1B1所成角的正切值最大，易求最大值是，所以B错误；

对于C，将△A1C1B沿BC1翻折与△BCC1在同一平面，且点A1，C在直线BC1的异侧，此时在△A1CC1中，由三角恒等变换可求得cos∠A1C1C＝－，由余弦定理可得A1C＝，所以A1P＋PC的最小值为，C正确；

对于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交线为以D为圆心，1为半径的圆周的四分之一，所以交线长是，D正确.

故选ACD.

【训练二】在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

【解析】如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.

【训练三】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.

(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.

【解析】(1)证明连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，

因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，

故△PBC∽△PDM，所以＝＝，

又因为＝＝，

所以＝＝，

所以PQ∥MD1.

又MD1平面A1D1DA，

PQ平面A1D1DA，

故PQ∥平面A1D1DA.

(2)解当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.

如图，证明：

因为＝，

即＝，故＝.所以PR∥DA.

又DA平面A1D1DA，PR平面A1D1DA，

所以PR∥平面A1D1DA，

又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR平面PQR，

所以平面PRQ∥平面A1D1DA.

【训练四】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为AB1，A1C1上的点，A1N＝AM.

(1)求证：MN∥平面BB1C1C；

(2)求MN的最小值．

【解析】(1)证明如图，作NE∥A1B1交B1C1于点E，作MF∥AB交BB1于点F，连接EF，

则NE∥MF.

∵NE∥A1B1，∴＝.

又MF∥AB，∴＝，

∵A1C1＝AB1，A1N＝AM，

∴C1N＝B1M.

∴＝，

又AB＝A1B1，∴NE＝MF.

∴四边形MNEF是平行四边形，∴MN∥EF，

又MN平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，

∴MN∥平面BB1C1C.

(2)解设B1E＝x，∵NE∥A1B1，

∴＝.

又∵MF∥AB，∴＝，

∵A1N＝AM，A1C1＝AB1＝a，

B1C1＝BB1＝a，B1E＝x，

∴＋＝＋，

∴＋＝1，

∴B1F＝a－x，

从而MN＝EF＝

＝

＝，

∴当x＝时，MN的最小值为a.

【训练五】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF与棱PD相交于点F，且平面CEF∥平面PAB.

(1)求的值；

(2)求点F到平面PBC的距离．

【解析】(1)∵平面CEF∥平面PAB，

且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，

∴PA∥EF，

又AE＝1＝AD，∴PF＝PD，∴＝.

(2)∵F为PD的三等分点，

∴F到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的，

设D到平面PBC的距离为h，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，

又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，

∵PA∩AB＝A，PA，AB平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

由等体积法得VD－PBC＝VP－BCD，

即S△PBC·h＝S△DBC·PA，

∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，

∴PB＝2，BC＝1，

∴S△PBC＝PB·BC＝，S△DBC＝BC·AB＝1，

∴h＝，

∴F到平面PBC的距离等于.

【训练六】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.

(1)确定点E，F的位置，并说明理由；

(2)求三棱锥FDCE的体积．

【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CE∥AD，又AB∥DC，

所以四边形AECD是平行四边形，

所以DC＝AE＝AB，

即点E是AB的中点．

因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，

平面PAD∩平面PAB＝PA，

所以EF∥PA，又点E是AB的中点，

所以点F是PB的中点．

综上，E，F分别是AB，PB的中点．

(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，

所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以PE⊥平面ABCD.

又AB∥CD，AB⊥AD，

所以VFDEC＝VPDEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.

四、【强化测试】

【单选题】

1.下列命题中正确的是()

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α

【解析】A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．

故选D.

2.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF平行等于BD，又EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG平行等于BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．

故选B.

3.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E∈PC，F∈PB，＝3，＝λ，如图．若AF∥平面BDE，则λ的值为()

A．1B．3

C．2D．4

【解析】连接AC，交BD于点O，连接OE.因为AF∥平面BDE，所以过点A作AH∥平面BDE，交PC于点H，连接FH，则得到平面AFH∥平面BDE，所以FH∥BE.因为四边形ABCD为平行四边形，所以在△ACH与△OCE中，＝＝1，

即EC＝EH.又因为＝3，所以PH＝2HE.因为＝＝2，所以λ＝2.故选C.

故选C.

4.设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：

①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.

真命题的个数是()

A．1B．2

C．3D．4

【解析】由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据aα，bβ.α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题，所以真命题的个数是1，

故选A．

5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，又EF平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．

故选B.

6.已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为()

A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交

【解析】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，

M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，

∴EF平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，NEF，

∴由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线；

取A1C1的中点P，连接PM，PN，如图，

则PN∥B1A1，PM∥A1A，

∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，

∴平面PMN∥平面ABB1A1，

∵MN平面PMN，

∴直线MN与平面ABB1A1平行．

故选B.

7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是()

A．直线BQ∥平面EFG

B．直线A1B∥平面EFG

C．平面APC∥平面EFG

D．平面A1BQ∥平面EFG

【解析】过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；

∵A1B∥HE，A1B平面EFG，HE平面EFG，

∴A1B∥平面EFG，故B正确；

AP平面ADD1A1，HG平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；

易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．

故选B.

8.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为()

A.B.

C.D.

【解析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，

取EF的中点O，连接A1O，如图所示，

∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，

∴AM∥A1E，MN∥EF，

∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN平面AMN，A1E，EF平面A1EF，

∴平面AMN∥平面A1EF，

∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，

且PA1∥平面AMN，

∴点P的轨迹是线段EF，

∵A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，

∴A1O⊥EF，

∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，

A1O＝＝，

当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝.

∴PA1的长度范围为.

故选B.

【多选题】

9.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法错误的是()

A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

B．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

C．若mα，nα且m∥β，n∥β，则α∥β

D．若直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n

【解析】对于A，满足m⊥α，m⊥n的n，α的位置关系可能是n∥α或nα，故A错误；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，结合n∥β，知m⊥n，故B正确；对于C，根据面面平行的判定定理知需当m，n为相交直线时，才有α∥β，故C错误；对于D，若m，n为圆锥的两条母线，平面α为圆锥的底面所在平面，此时直线m，n与平面α所成的角相等，但此时m，n为相交直线，故D错误．

故选ACD.

10.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()

A．FG∥平面AA1D1D

B．EF∥平面BC1D1

C．FG∥平面BC1D1

D．平面EFG∥平面BC1D1

【解析】因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，F，G分别是B1C1，BB1的中点，

所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，

所以FG∥AD1，

因为FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，

所以FG∥平面AA1D1D，故A正确；

因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，

所以EF与平面BC1D1相交，故B错误；

因为F，G分别是B1C1，BB1的中点，

所以FG∥BC1，因为FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，

所以FG∥平面BC1D1，故C正确；

因为EF与平面BC1D1相交，

所以平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．

故选AC.

11.如图，正三棱柱ABCA1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是()

A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段

B．平面DMN⊥平面BCC1B1

C．三棱锥A1DMN的体积为定值

D．△DMN可能为直角三角形

【解析】用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中点O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥BCC1B1故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥NA1DM的体积不变，即三棱锥A1DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2OD，设正三棱柱的棱长为2，则DO＝，MN＝2，因为MN的最大值为BC1＝2，所以MN不可能为2，所以△DMN不可能为直角三角形，故D错误．

故选ABC.

12.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，下列四个结论中正确的为()

A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个

B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧

C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2

D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为

【解析】如图所示，因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，所以B1D1＝2，又侧棱AA1＝1，所以DB1＝＝3，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故A项正确；

因为PD＝∈(1，3)，DD1＝1，则PD1＝，即点P的轨迹是一段圆弧，故B项正确；

连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值，为＝，故C项错误；

由C选项知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为＝，面积为，故D项正确．

故选ABD.

【填空题】

13.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．

【解析】因为EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝AC＝.

14.在下面给出的条件中，若条件足够推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：

(1)条件：a∥b，b∥c，cα，______，结论：a∥α；

(2)条件：α∩β＝b，a∥b，aβ，______，结论：a∥α.

【解析】因为a∥b，b∥c，cα，所以由直线与平面平行的判定定理得，当aα时，a∥α.因为α∩β＝b，a∥b，aβ，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α.

15.在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

【解析】如图，取CD的中点E，连接AE，BE，

则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

因为AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

16.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是______；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是______．

【解析】(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，AD1平面BCC1，BC1平面BCC1，则AD1∥平面BCC1.

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是相交．理由：平面A1BC1与平面ABCD有一个交点B，由公理3得，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点在一条直线上，这条直线为交线．如图，过点B作AC的平行线l，即为交线．

【解答题】

17.已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点.

(1)求证：BQ∥平面PAD；

(2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三棱锥S－BCD的体积为.

【解析】(1)证明取PD的中点G，连接AG，GQ，

因为Q为PC的中点，所以GQ∥DC，且GQ＝DC，

又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，

所以四边形ABQG是平行四边形，

所以BQ∥AG，

又BQ平面PAD，AG平面PAD，所以BQ∥平面PAD.

(2)解因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，

所以点B在线段CD的垂直平分线上，

又因为BC＝，BC⊥BD，

所以BD＝BC＝，

所以△BCD的面积S＝××＝1.

设点S到平面ABCD的距离为h，

所以×1×h＝，所以h＝2，

又PD⊥平面ABCD，PD＝3，

所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.

18.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求点C到平面C1DE的距离.

【解析】(1)证明如图，连接B1C，ME.

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME＝B1C.

又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.

由题设知A1B1平行且相等DC，

可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，

所以MN∥ED.

又MN平面C1DE，DE平面C1DE，

所以MN∥平面C1DE.

(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，

故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，

故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.

由已知可得CE＝1，C1C＝4，

所以C1E＝，故CH＝.

从而点C到平面C1DE的距离为.

19.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D；

(3)平面BDF∥平面B1D1H.

【解析】证明如图．

(1)取B1B的中点M，

连接HM，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

∴HD1∥MC1.

又MC1∥BF，

∴BF∥HD1.

(2)取BD的中点O，连接OE，OD1，

则OE平行且等于DC.

又D1G平行且等于DC，

∴OE平行且等于D1G.

∴四边形OEGD1是平行四边形，

∴EG∥D1O.

又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，

∴EG∥平面BB1D1D.

(3)由(1)知BF∥HD1，由题意易证B1D1∥BD.

又B1D1，HD1平面B1D1H，BF，BD平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

20.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.

【解析】证明(1)如图，连接EC，

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE，BC＝AE，

所以四边形ABCE是平行四边形，

所以O为AC的中点．

又因为F是PC的中点，

所以FO∥AP，

因为FO平面BEF，

AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，

所以FH∥PD，

因为PD平面PAD，FH平面PAD，

所以FH∥平面PAD.

又因为O是BE的中点，H是CD的中点，

所以OH∥AD，

因为AD平面PAD，OH平面PAD，

所以OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，FH，OH平面OHF，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因为GH平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

21.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.

【解析】证明(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE，BC＝AE，

所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．

又因为F是PC的中点，

所以FO∥AP，

因为FO平面BEF，

AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，

所以FH∥PD，

因为PD平面PAD，FH平面PAD，

所以FH∥平面PAD.

又因为O是BE的中点，H是CD的中点，

所以OH∥AD，

因为AD平面PAD，OH平面PAD，

所以OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，FH，OH平面OHF，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因为GH平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

22.如图，在四棱锥S－ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝BC＝2，点E，G分别在线段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F为棱BC上一点，且CF＝1.

证明：平面SCD∥平面EFG.

【解析】证明因为点E，G分别在线段SA，AD上，

且SE＝AE，AG＝GD，

故EG∥SD，

又EG平面SCD，SD平面SCD，

故EG∥平面SCD；

因为∠ADC＝∠BCD＝90°，

故AD∥BC，因为GD＝FC＝1，

故四边形GDCF为平行四边形，故GF∥CD；

又GF平面SCD，CD平面SCD，故GF∥平面SCD，

因为GF平面EFG，EG平面EFG，EG∩FG＝G，

所以平面SCD∥平面EFG.专题43直线、平面平行的判定与性质

知识梳理考纲要求

考点预测

常用结论

方法技巧

题型归类题型一：直线与平面平行的判定与性质

题型二：平面与平面平行的判定与性质

题型三：平行关系的综合应用

培优训练训练一：

训练二：

训练三：

训练四：

训练五：

训练六：

强化测试单选题：共8题

多选题：共4题

填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．

【考点预测】

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行aα，bα，a∥ba∥α

性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β

性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，aαa∥β

性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b

【常用结论】

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(4)若α∥β，aα，则a∥β.

【方法技巧】

1.判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点)．

②利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α)．

③利用面面平行的性质(α∥β，aαa∥β)．

④利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥αa∥β)．

2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．

3.证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义．

(2)面面平行的判定定理．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．

4.解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．

二、【题型归类】

【题型一】直线与平面平行的判定与性质

【典例1】如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.

【典例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.

【典例3】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.

【题型二】平面与平面平行的判定与性质

【典例1】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．

(1)求证：BC∥GH；

(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.

【典例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．

(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；

(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．

【典例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.

【题型三】平行关系的综合应用

【典例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.

【典例2】如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

【典例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.

(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．

三、【培优训练】

【训练一】(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的是()

A.A1P∥平面AD1C

B.A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是

C.A1P＋PC的最小值为

D.以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是

【训练二】在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

【训练三】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.

(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.

【训练四】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为AB1，A1C1上的点，A1N＝AM.

(1)求证：MN∥平面BB1C1C；

(2)求MN的最小值．

【训练五】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF与棱PD相交于点F，且平面CEF∥平面PAB.

(1)求的值；

(2)求点F到平面PBC的距离．

【训练六】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.

(1)确定点E，F的位置，并说明理由；

(2)求三棱锥FDCE的体积．

四、【强化测试】

【单选题】

1.下列命题中正确的是()

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α

2.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

3.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E∈PC，F∈PB，＝3，＝λ，如图．若AF∥平面BDE，则λ的值为()

A．1B．3

C．2D．4

4.设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：

①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.

真命题的个数是()

A．1B．2

C．3D．4

5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH