2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二（上）素质检测数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二（上）素质检测数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数z=52+A.5 B.3 C.5i D.2.若|a|=2，|b|=2且A.π6 B.π4 C.π33.△ABC中，AC=2，BA.±22 B.±12 4.已知直线l经过A(−1,4)，BA.π6 B.π4 C.2π5.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是(

)A.l⊂α，m⊂β，且l⊥m

B.l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n6.在直角坐标平面内有两点A(4,2)，B(1,−2)，在A.(3,0) B.(0,0)7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，M分别是DDA.155

B.3010

C.

8.将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(

)A.524πR3 B.5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为Ω，事件A为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件B为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是(

)A.A与B是互斥事件 B.A与B不是对立事件

C.Ω=A∪10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(

)A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，则l1//l2

B.直线l的方向向量a=(1,11.过点(1,2)A.2x−y=0 B.x+12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−AA.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变

B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]

C.使直线AP与平面A

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点(1,1)且与直线2x14.在正四棱台ABCD−A1B1C1D15.如图，已知四棱锥P−ABCD的各棱长均为2，则AP

16.已知sin(α−β)=1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在平行四边形ABCD中，A(−1,2)，B(1,3)，C(3,−118.(本小题12.0分)

某班20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：

(1)求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；

(2)从成绩在[50,70)的学生中任选19.(本小题12.0分)

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E在线段C20.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bsinA=acos(B−21.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E是线段BC1上靠近点B的一个三等分点，D是AC1的中点．

(1)证明：A122.(本小题12.0分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中，AC，BD交于点O，AB=2，OP=1．

(1)求二面角C−AP

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由复数z=52+i+4i=5(2−i)2.【答案】B

【解析】解：设向量的夹角为θ，

∵(a−b)⊥a，

∴(a−b)⋅a=0，

∴a2−a⋅b3.【答案】D

【解析】解：因为△ABC中，AC=2，BC=3，A=60°，

所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得334.【答案】D

【解析】解：设直线l的倾斜角为α，因为直线l经过A(−1,4)，B(1,2)两点，

所以直线l的斜率为k=tanα=2−5.【答案】D

【解析】解：对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故A不正确；

对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，则l不一定与β垂直，故B不正确；

对于C，m⊂α，n⊂β，m/​/n，且l⊥m，α，β可以平行、相交、垂直，故6.【答案】D

【解析】解：由题可设点C的坐标为(x,0)，

则CA=(4−x,2),CB=(1−x,−2)，

因为∠ACB=90°，所以CA⊥CB7.【答案】B

【解析】解：令AB=2，连接PC、QC、A1P、MC，

因为M、P为BB1、DD1的中点，易知A1P=CM且A1P//CM，

所以四边形A1PCM为平行四边形，

所以A1M//PC，

所以∠QPC或其补角为异面直线A1M与PQ所成的角，

在△PQC中，PC=8.【答案】C

【解析】解：半径为R的半圆，弧长为πR，卷成圆锥以后，

设圆锥底面半径为r，高为h，

则有2πr=πR，即r=R2，h=R29.【答案】CD【解析】解：现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为Ω，

则Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，

事件A为“抽取的两个小球标号之和大于4”，

则事件A包含的基本事件有：{(1,4)，(2,3)，(2,4)}，

事件B为“抽取的两个小球标号之积小于5”，

则事件B10.【答案】AC【解析】解：因为a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，即a=−b，又因为l1，l2不重合，所以l1//l2，A正确．

因为a=(1,−1,2)，u=(6,4,−1)，所以a与μ不平行，所以l不垂直于α，B错误．

因为u=(2,2,−1)，v=11.【答案】AB【解析】解：因为横纵截距相等，

所以直线的斜率存在且不为零，

设直线方程为y−2=k(x−1)，

令x=0，得到y=2−k，

令y=0，得到x=1−2k，

所以2−12.【答案】AB【解析】解：对于选项A：因为平面BCC1B1/​/平面AA1D1D，

所以点P到侧面ADD1A1的距离为定值，故四棱锥P−AA1D1D的体积为定值，故A正确；

对于选项B：因为A1C1/​/AC，D1P与A1C1所成角是∠D1PA或其补角，

因为△D1AC是正三角形，所以D1P与A1C1成角的取值范围是[π3,π2]，故B正确；

对于选项C：①当点P在侧面CC1D1D上时(不包括正方形的边界)，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，

根据正方体易知PH⊥平面ABCD，则∠PAH为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH，

在Rt△ADH中，由AH>AD=2，但是PH=AH<2，矛盾，

故点P不能在侧面CC1D1D上(不包括正方形的边界)，

同理，点P不在侧面BB1C1C上(不包括正方形的边界)．

②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G，连结A1P，AG，

根据正方体易知PG⊥平面ABCD，且四边形A1PGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAG=45°，

所以PG=AG=2，所以A1P=AG=2，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为14×2π×2=π；

③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB1，AD1上，都符合题意，

此时点P的轨迹长为42；由上知点P的轨迹长度为π+42，故C选项正确；

对于选项D：取

BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，

因为M13.【答案】x+【解析】解：直线2x−y+3=0斜率为2，

故与之垂直的直线斜率为−12，

故过点(1,1)且与直线2x−14.【答案】7【解析】解：如图，设正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上下底面中心分别为M，N，

过A1作A1H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A1M=HN=15.【答案】2

【解析】解：∵四棱锥P−ABCD的各棱长均为2，

∴四边形ABCD是正方形，△PBC是边长为2的正三角形，

∴AB⋅BC=0，|BP|=|BC|=16.【答案】19【解析】解：已知sin(α−β)=13,cosαsinβ=16，

则sinα17.【答案】解：(1)∵B(1,3)，C(3,−1)，点E是线段BC的中点，

∴E(2,1)，

∵A(−1,2)，

∴kAE=1−22−(−1)=−13，

故直线AE的方程为y−1=−13(x−2)，即【解析】(1)结合中点坐标公式，求出点E的坐标，即可求解直线AE的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．

(2)18.【答案】解：(1)∵(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，∴a=0.005，

由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为75，

平均数为(55×2×0.005+65×3×0.005+75×7×0.005+85×6×0.005+95×2×0.005)×10=76.5；

(2)由(1)得：成绩在[50,60)的人数为【解析】(1)由频率和为1可求得a；根据频率分布直方图估计众数和平均数的方法直接计算可得结果；

(2)根据频率可求得成绩在[5019.【答案】(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，

以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(【解析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答；

(220.【答案】解：(1)因为bsinA=acos(B−π6)，

由正弦定理得sinBsinA=sinA(32cosB+12sinB)，

又因为A∈(0,π)，

可得sinA>0，

则si【解析】(1)利用正弦定理化边为角，将等式化简即可得到tanB=3，进而求得角B的值；

(221.【答案】(1)证明：取线段C1E的中点G，连接DG，A1B，A1G，记A1B∩AB1=F，连接EF．

因为G，D分别是EC1，AC1的中点，所以DG//AE．

因为DG⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，所以DG/​/平面AB1E.

由题意可知四边形ABB1A1是矩形，则F是A1B的中点．

因为E是BG的中点，所以EF//A1G.

因为A1G⊄平面AB1E，EF⊂平面AB1E，所以A1G/​/平面AB1E.

因为DG∩A1G=G，且DG，A1G【解析】(1)取线段C1E的中点G，连接A1G，DG，A1B，记A1B∩AB1=F，连接EF.证明平面A1DG//平面AB1E.然后证明A1D//平面22.【答案】解：(1)由题意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示，

所以A(2,0,0),B(0