专题2.4 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）（解析版）

第第页专题2.4全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）【题型一：标准“K”型图】【题型二：做辅助线构造“K”型图】【题型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【题型四：特殊“K”型图】【方法技巧】模型一一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解【类型一：标准“K”型图】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【变式1-1】（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是40．【答案】40．【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE（AAS），∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积＝DC•AC+AC•BE＝×2×8+×8×8＝8+32＝40，故答案为：40．【变式1-2】（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案为：5．【变式1-3】（高阳县校级期中）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，则△ABC的面积是15．【答案】15．【解答】解：∵AE⊥AB，EP⊥AC，∴∠EAP+∠BAG＝90°，∠EAP+∠AEP＝90°，∴∠BAG＝∠AEP，在△AEP和△BAG中，，∴△EPA≌△AGB（AAS），同理△BGC≌△CHD（AAS），∴EP＝AG＝6，GC＝DH＝4，∴AC＝AG+GC＝6+4＝10，∴S△ABC＝AC•BG＝×10×3＝15，故答案为：15．【变式1-4】（2023春•大竹县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE．（1）求证：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）6．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠EAF＝∠ECB，在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（ASA）．（2）解：∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，BC＝2CD，∴AF＝2CD，∴CD＝AF＝×12＝6．【变式1-5】（2023春•紫金县期末）为了测量楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，点P到楼底的距离BP与旗杆CD的高度均为8m，旗杆CD与楼AB之间的距离DB为33m，求楼AB的高度．【答案】楼AB的高度是25m．【解答】解：由题意得：CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDP＝∠PBA＝90°，∵∠DPC＝17°，∴∠DCP＝90°﹣∠DPC＝73°，∵∠APB＝73°，∴∠PCD＝∠APB＝73°，在△CPD和△PAB中，，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴PD＝AB，∵DB＝33m，BP＝8m，∴AB＝PD＝DB﹣BP＝33﹣8＝25（m），∴楼AB的高度是25m．【变式1-6】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，∴∠BAD＝40°，∵AD＝AB，∴∠D＝∠DBA＝70°，又∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，又∵AD＝BC＝AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝∠DAB＝∠CAE，∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，在△BAF和△CBG中，，∴△BAF≌△CBG（AAS），∴AF＝BG，BF＝CG，∵∠CBG＝∠CAE，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，∴BF＝EG＝CG，∴∠CEG＝∠AEF＝45°，∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，∴S△ABC＝BE•CG＝BE•（AF﹣BE）＝．故答案为：．【变式2-1】（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝1．【答案】1．【解答】解：在BC上取点G，连接GF，使GC＝GF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝×10＝5，∠BCH＝∠ABC＝30°，∵GF＝GC，∴∠GFC＝∠BCH＝30°，∴∠EGF＝∠GFC+∠BCH＝60°，∴∠B＝∠EGF，∵∠DEF＝60°，∴∠BED+∠GEF＝120°，∵∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BDE＝∠GEF，又∵DE＝EF，∴△BDE≌△GEF（AAS），∴BE＝CG＝2，BD＝EG＝10﹣2﹣2＝6，∴DH＝BD﹣BH＝6﹣5＝1．故答案为：1．【变式2-2】（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为BD＝AE，BD，CE与DE的数量关系为BD+CE＝DE．（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．​【答案】（1）BD＝AE，BD+CE＝DE；（2）成立，理由见解析；（3）存在x，使得△ABD与△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE+AD＝DE，∴BD+CE＝DE，故答案为：BD＝AE，BD+CE＝DE；（2）成立，BD+CE＝DE，理由如下：同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∵AE+AD＝DE，∴BD+CE＝DE；（3）存在，理由如下：当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm，∵AD+AE＝DE＝10cm，∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm，∴t＝＝，∴x＝3÷＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝DE＝5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝＝，x＝7÷＝，综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝．【变式2-3】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①＝；②证明见解答过程；（2）成立，证明见解答过程．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案为：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，证明如下：作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可证△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CE＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．【变式2-4】直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【答案】（1）证明过程见解析；（2）DE＝BD+CE；证明过程见解析；（3）证明过程见解析．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．【变式2-5】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1．△ABC是等边三角形，点D在BC边上，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E，求证：∠BAD＝∠CDE．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，过E作EF⊥AC于F，探究线段AF，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．“问题解决：（3）数学活动小组同学改变点D的位置，提出下面问题，请你解答．“如图3，△ABC是等边三角形，点D在CB延长线上，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E，过E作EF⊥AC，交AC延长线于F，探究线段AF，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．”【答案】（1）证明见解答过程；（2）AC+CD＝2AF，证明见解答过程；（3）AC+CD＝2AF，证明见解答过程．【解答】（1）证明：方法一：∵∠ADM是△ABD的外角，∴∠ADM＝∠B+∠BAD，∵∠B＝∠ADE＝60°，∠ADM＝∠CDE+∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE；方法二：∵CE是∠ACB的外角平分线，∴∠ACE＝60°，∠DCE＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝120°，∵∠BAD+∠ADB＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，（2）解：结论：AC+CD＝2AF．理由：如图2中，连接AE，作EN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BQ＝BD，∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC，∴∠BQD＝60°，∴∠AQD＝120°，∵CE是∠ACB的外角平分线，∴∠ACE＝60°，∠DCE＝120°，∴∠AQD＝∠DCE，由（1）得∠QAD＝∠CDE，∴△AQD≌△DCE（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∵EF⊥C，EN⊥CM，CE平分∠ACM，∴EF＝EN，∠EFC＝∠ENC＝90°，∵CE＝CE，∴Rt△CEF≌Rt△CEN（HL），Rt△AEF≌Rt△DEN（HL），∴CF＝CN，AF＝DN，∴AC+CD＝AF+CF+DN﹣CN＝2AF，即AC+CD＝2AF；（3）解：AC+CD＝2AF，证明：连接AE，过点E作EH⊥CD于点H，在CD上取CG＝GE＝DB，∵△ABC是等边角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝120°，∵CE是∠ACB外角平分线，∴∠BCE＝∠FCE＝60°，∴∠ACE＝120°，∴∠ABD＝∠ACE＝120°，∵∠DAB+∠ADB＝180°﹣120°＝60°，∠ADE＝∠ADB+∠CDE＝60°，∴∠DAB＝∠CDE，∵CG＝GE，∠GCE﹣60°，∴∠CGE＝60°，∵∠DGE＝120°，∴在△ADB和△DEG中，，∴△ADB≌△DEG（AAS），∴AD＝DE，∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，在Rt△EHC和Rt△EFC中，，∴Rt△EHC≌Rt△EFC（AAS），∴CH＝CF，HE＝FE，在Rt△AFE和Rt△DHE中，，∴Rt△AFE≌Rt△DHE（HL），∴DH＝AF，∴AC+CD＝AF﹣CF+DH+CH＝AF﹣CF+AF+CF＝2AF，即AC+CD＝2AF．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【答案】（1）（3，﹣2）；（2）证明见解析；（3）．【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，则∠BFC＝90°，∵点A（0，5），点C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴点B的坐标为（3，﹣2）；（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，则∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：如图3，过E作EG⊥x轴于G，则∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（）A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）【答案】D【解答】解：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°，∵点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋转得：CB＝BA，∠CBA＝90°，∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BOA≌△CDB（AAS），∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，∴点C的坐标是（3，7），故选：D．【变式3-2】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标．【答案】（1）BD+CE＝DE；（2）BD+CE＝DE，理由见解析；（3）（1，4）．【解答】解：（1）BD+CE＝DE，理由如下：∵BD⊥AD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（2）BD+CE＝DE，理由如下：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（3）如图③，过A作AE⊥x轴于点E，过BBF⊥x轴于点F，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），∴OC＝2，OE＝6，AE＝3，∴CE＝OE﹣OC＝6﹣2＝4，由（1）可知，△AEC≌△CFB（AAS），∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝4，∴OF＝CF﹣OC＝3﹣2＝1，∴点B的坐标为（1，4）．【变式3-3】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；（3）如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求点B坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）0.8cm；（3）（4，1）．【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的长为0.8cm；（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，∵A（﹣1，0），C（1，3），∴EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，∴CE＝EG+CG＝2，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，∴B点坐标为（4，1）．【变式3-4】在直角坐标平面内，点A（3，0），点B是第二象限内任意一点（如图所示）．线段AB绕点A旋转90°后的图形为AC，连接BC．（1）当线段AB绕点A顺时针旋转时，①如果点B的坐标为（﹣1，2），过点B作BH⊥OA，垂足为点H，直接写出线段AH的长；②如果点B的横坐标为a，且BC∥OA，求点B的纵坐标；（用含a的代数式表示）（2）设点B的坐标为（m，n），直接写出点C的坐标．（用含m、n的代数式表示）【答案】（1）①AH＝4；②点B的纵坐标为3﹣a；（2）点C坐标为（3+n，3﹣m）或（3﹣n，m﹣3）．【解答】解：（1）①如图，过点B作BH⊥OA，垂足为点H，，∵B（﹣1，2），A（3，0），∴OH＝1，∴AH＝4．②如图，过点A作AD⊥BC交于点D，，∵BC∥OA，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BD＝AD＝DC，∵B的横坐标为a，∴BD＝3﹣a，∴AD＝3﹣a，∴点B的纵坐标为3﹣a．（2）①当顺时针转动时，如图，点C落在第一象限，过点B作BE⊥OA交于点E，过点C作CF⊥OA交于点F，，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，在Rt△BAE中，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE＝n，CF＝AE＝3﹣m，∴OF＝3+n，∴C（3+n，3﹣m）．②当逆时针转动时，如图，此时点C落在第三象限，过点B作BE⊥OA交于点E，过点C作CF⊥OA交于点F，，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，在Rt△BAE中，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴CF＝AE＝3﹣m，AF＝BE＝n，∴OF＝3﹣n，∵点C在第三象限，∴C（3﹣n，m﹣3）．综上，点C坐标为（3+n，3﹣m）或（3﹣n，m﹣3）．【变式3-5】（2023春•红安县期末）【建立模型】如图①，等腰直角三角形△ABC的直角顶点B在线段EF上，过点A作AE⊥EF于点E，过点C作CF⊥EF于点F，可以得到结论：△ABE≌△BCF．【运用模型】请利用这一结论解决下列问题：（1）如图①，请证明△ABE≌△BCF；（2）如图②，在平面直角坐标系中，A（1，0），C（﹣1，4），过点A作AB⊥AC，使AB＝AC，请直接写出点B的坐标．（3）如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，6），点B的坐标为（6，2），第一象限内是否存在一点P，使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）（5，2）；（3）第一象限内存在一点P，使△ABP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，14）或（10，10）或（4，8）．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠ABE+∠CBF＝90°，又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS）；（2）解：如图②，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，同（1）得：△ABE≌△CAF（AAS），∴BE＝AF，AE＝CF，∵A（1，0），C（﹣1，4），∴OA＝1，OF＝1，CF＝4，∴AF＝OA+OF＝1+1＝2，OE＝AE+OA＝CF+OA＝4+1＝5，∴点B的坐标为（5，2）；（3）解：第一象限内存在一点P，使△ABP为等腰直角三角形，理由如下：分三种情况：①当∠PAB＝90°时，AP＝AB，如图③，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F，同（1）得：△ABE≌△PAF（AAS），∴BE＝AF，AE＝PF，∵A（﹣2，6）、B（6，2），∴BE＝2+6＝8，AE＝6﹣2＝4，∴点P的横坐标为：4﹣2＝2，纵坐标为：8+6＝14，∴P（2，14）；②当∠PBA＝90°时，AB＝BP，如图④，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F，同（1）得：△ABE≌△BPF（AAS），∴BE＝PF，AE＝BF，∵A（﹣2，6）、B（6，2），∴BE＝2+6＝8，AE＝6﹣2＝4，∴点P的横坐标为：8﹣2+4＝10，纵坐标为：8+2＝10，∴P（10，10）；③当∠APB＝90°时，AP＝BP，如图⑤，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F，同（1）得：△APE≌△PBF（AAS），∴PE＝BF，AE＝PF，设P（x，y），∵A（﹣2，6）、B（6，2），∴x+2＝PE，y﹣2＝BF，y﹣6＝AE，6﹣x＝PF，∴，解得：，∴P（4，8），综上所述，第一象限内存在一点P，使△ABP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，14）或（10，10）或（4，8）．【变式3-6】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△D