2023-2024学年湖南省长沙市开福区重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省长沙市开福区重点中学高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(

)A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形2.命题“存在x∈R，1<fA.任意x∈R，1<f(x)≤2 B.任意x∉R，f(x)≤13.下列各式中：

①{0}∈{0,1,2}；

②{0,1,2A.1 B.2 C.3 D.44.已知f(x)=|x|是集合A到集合B的函数，如果集合A.{−2,2} B.{−5.设集合A={x|y=1A.1 B.2 C.3 D.46.1a+1>0是a<A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知命题p：∃x∈(1,2)，axA.a≥1 B.a>1 C.8.已知关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0A.12<a≤15 B.12≤a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列各组函数能表示同一个函数的是(

)A.f(x)=x2，g(x)=|x|

10.若a<b<0，1A.1a>1b B.|c|11.∀x∈R，关于x的不等式x2A.0<a<4 B.a>−12.下列说法正确的有(

)A.y=x2+1x的最小值为2

B.已知x>1，则y=2x+4x−1−1的最小值为42+1

C.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设全集U=M∪N={1,14.若不等式2ax2+ax−2<15.已知集合M={1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A16.若不等式x2−2mx+3m−四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

(1)已知−1<x<1，0<y<2，求2x18.(本小题12.0分)

已知集合A={x|a−2<x<2a+1}，B={x|0<19.(本小题12.0分)

甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n．

(1)若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；

(2)设两次购买这种物品的价格分别为p1元，p2元(p1>0,p220.(本小题12.0分)

已知关于x的不等式(ax−1)(x+1)>0，a∈21.(本小题12.0分)

二次函数f(x)=ax2−2ax+b+1(a>0)在区间[0,3]上有最大值4，最小值22.(本小题12.0分)

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c．

(1)若f(x)>0的解集为{x|−3<x答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；

菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；

满足题意的可能是梯形．

故选：D．

利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的集合的元素个数即可得到结果．

本题考查集合中元素的特征互异性的应用，基本知识的考查．2.【答案】D

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x∈R，1<f(x)≤2”的否定形式是：任意x∈R，f3.【答案】B

【解析】解：①{0}⊆{0,1,2}，故错误；

②{0,1,2}⊆{2,4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查函数的概念的理解，考查分析能力，属于基础题．

根据函数的定义，先求出集合A中的元素，即可得出结论．【解答】

解：由已知|x|=2，解得，x=±2．

由函数的定义可知，A、B、D5.【答案】C

【解析】解：由1−x2≥0x2−1≥0，解得x=±1，

∴A={x|y=1−x2+x2−16.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件，是一道基础题．

解不等式1a【解答】

解：由1a+1>0，得：a+1a>0，

解得：a>0或7.【答案】C

【解析】解：题p：∃x∈(1,2)，ax>1，

则a>1x，

∵x∈(18.【答案】A

【解析】解：设f(x)=x2−8x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=4的抛物线，

∵关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，

∴这3个整数解为3，4，5，

则f(2)>0f(3)≤0，即4−169.【答案】AD【解析】解：对于A，f(x)=x2=|x|与g(x)=|x|的定义域都为R，且解析式相同，故两函数是同一函数；

对于B，f(x)=x的定义域为R，g(x)=x2x=x的定义域为10.【答案】AC【解析】解：A，∵a<b<0，∴1a>1b，∴A正确，

B，∵1c<1d<0，∴0>c>d，∴|c|<|d|，∴B错误，

C，∵a<b<0，∴−a>−b>0，∵0>c>d，∴11.【答案】BD【解析】解：∵∀x∈R，关于x的不等式x2−ax+a>0恒成立，

∴Δ=(−a)2−4a<0，解得0<a<12.【答案】BC【解析】解：对于A选项，当x<0时，y=x2+1x<0故A选项错误；

对于B选项，当x>1时，x−1>0，

则y=2x+4x−1−1=2(x−1)+4x−1+1≥22(x−1)⋅4x−1+1=42+1，当且仅当x=2+1时，等号成立，故13.【答案】{1【解析】【分析】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．

由M与N补集的交集，得到2与4不属于集合N，根据全集U即可确定出集合N．【解答】

解：∵全集U=M∪N={1,2,3,4,5}，M∩∁U14.【答案】(−【解析】解：不等式2ax2+ax−2<0对一切实数x都成立，

当a=0时，−2<0恒成立；

当a≠0时，要使不等式2ax2+ax−2<015.【答案】13

【解析】解：因为集合M的子集共有24=16个，

其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}共3个，

所以“累积值”为偶数的集合共有13个．

故答案为：1316.【答案】(−【解析】解：x2−2mx+3m−6>0⇔(3−2x)m+x2−6>0，

令g(m)=(3−217.【答案】解：(1)由−1<x<1，可得−2<2x<2，

由0<y<2，可得−6<−3y<0，

则【解析】(1)由不等式的性质即可得解；

(218.【答案】解：(1)当a=1时，集合A={x|−1<x<3}，

∵B={x|0<x<7}，∴∁UB={x|x≤0或x≥7}，

∴A∪B【解析】(1)根据a=1写出集合A，由集合B得到∁UB，即可求出答案；

(2)由19.【答案】解：(1)若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，

则甲两次购买这种物品的平均价格为：6m+4mm+m=5，

乙两次购买这种物品的平均价格为：2nn6+n4=245．

(2)由题意可知，甲两次购物总花费为p1m+p2m，购物总量为【解析】(1)根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．

(220.【答案】解：(1)不等式(ax−1)(x+1)>0的解集为空集则，

 a<01a=−1，∴a=−1，即a∈{−1}；

(2)①若a=0，不等式的解为：x<−1，

②若a≠0，不等式对应的方程为：(ax−1)(x+1)=0的解为：1 a,【解析】(1)利用含参不等式的解法，即可解出；

(221.【答案】解：(Ⅰ)二次函数f(x)=ax2−2ax+b+1(a>0)的图象开口向上，对称轴为x=1，x∈[0,3]，

则f(x)在[0,1)单调递减，在(1,3]单调递增，

可得f(x)在[0,3]上的最小值为f(1)=−a+b+1=【解析】本题考查二次函数的解析式和最值、单调性的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．

(Ⅰ)求得f(x)的对称轴和单调性，可