2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线a，b的方向向量分别为a=(1,0,−1)，b=(1A.(33,33,332.已知点A(2,3,5)，B(2,−1,−1)A.25 B.22 C.33.已知{a,b,c}是空间的一组单位正交基底，若向量p在基底{a,b,A.(34623,346464.如图，在正方体ABEFDCE′F′中，M，N分别为AC，A.−13

B.13

C.−

5.若OA=(0,0,1)，A.56 B.52 C.56.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点A.1

B.22

C.2

7.两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a，且AB⊥b.已知AE=A.20或12 B.12或43 C.43或88.如图，三棱柱ABC−A1B1C1满足棱长都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中点，A.先增大再减小

B.减小

C.增大

D.先减小再增大二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个命题，其中真命题是(

)A.若p与a，b共面，则存在实数x，y，使得p=xa+yb

B.若存在实数x，y，使得p=xa+yb，则p与a，b共面

C.若存在实数x，y使MP=xMA+yMB，则点P，M10.已知e为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)，并且直线l均不在平面A.e⊥n1⇔l//α 11.点A，B，C不在同一条直线上，点O在平面ABC外，则下列OM的表示中，对应的M点在△AA.OM=OA+OB+O12.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.空间点A(x,y,z)，O(0,014.设动点P在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的对角线15.三棱锥A−BCD的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,1)，16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面AB

四、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(0,a,1)和B(−1,218.(本小题12.0分)

用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.(三垂线定理的逆定理)19.(本小题12.0分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是线段CD，A1B20.(本小题12.0分)

如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A=90°，AD=8，AB=3，B，C分别是PA，PD上的点，且AD//BC，M，N分别为BP，CD的中点，现将△BCP沿BC21.(本小题12.0分)

如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD/​/平面QBC，二面角P−AB−C与二面角Q−CD−A的大小都是30°，AP=CQ=3

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：设平面α的单位法向量为m=(x,y,z),x2+y2+z2=1(1)，

∵直线a，b均平行于平面α，

∴有m2.【答案】A

【解析】解：由题意点A(2,3,5)，B(2,−1,−1)，

设点B关于xOy平面对称的点为B′，

可得B′(2,−1,1)，

3.【答案】C

【解析】解：因为向量p在基底{a,b,c}下用有序实数组表示为(3,2,1)，

所以与向量p同向的单位向量m的有序实数组表示为19+4+1(3,2,1)=(31414,21414,1414)，

设与向量p同向的单位向量m在基底{a,b+c,b−c}下有序实数组表示为{x,4.【答案】B

【解析】解：设正方体棱长为1，

以BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，

则根据题意可知M(12,0,12)，N(12,12,0)，A(1,0,0)，B(0,0,0)．

解法一：取MN的中点G，连接BG，AG，

则G(12,14,14)．

因为△AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．

又因为GA=(12,−14,−14)5.【答案】A

【解析】解：由题意OA=(0,0,1)，OB=(2,−1,2)，OC=(1,2,3)，

得AB=(2,−1,1),AC=(1,2,2)，|AB|=4+1+1=6,|AC|=3，

故6.【答案】C

【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，

以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P(2−t,2,t)，(0≤t≤2)，A( 2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，

BP=(7.【答案】B

【解析】解：由已知得EF=EA+AB+BF，

两边平方可得EF2=EA2+AB2+BF2+2EA⋅AB+2EA⋅BF+2AB⋅BF……①，

因为AB⊥a，AB⊥b，AE与BF所成的角为60°，所以EA,8.【答案】D

【解析】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正三棱柱ABC−A1B1C1中所在棱长都是2，

则B(3,1,0)，D(0,2,1)，E(0,0,x)，

BD=(−3,1,1)，BE=(−3,−1,x)，

设平面BDE的法向量n=(a,b,c9.【答案】BC【解析】解：对于A，若a=b=0，p≠0，则不存在实数x，y，使得p=xa+yb，A错误；

对于B，由空间向量共面定理可知，若存在实数x，y，使得p=xa+yb，则p与a，b共面，B正确；

对于C，若存在实数x，y使MP=xMA+yMB，则MP，MA，MB共面，∴P，M，A，B四点共面，C正确；

对于D，若MA=10.【答案】AB【解析】解：A，∵e⊥n1，且直线l不在平面α内，

∴l//α，反之也成立，∴A正确，D错误，

B，∵n1⊥n2，∴α⊥β，反之也成立，∴B正确，

C，∵n1/11.【答案】CD【解析】解：由题意知点A，B，C不在同一条直线上，点O在平面ABC外，

则点M与A，B，C共面的充要条件为存在实数对(x,y,z)，

使OM=xOA+xOB+xOC，且x+y+z=1，

对于A，OM=OA+OB+OC，右边系数和为3，故M，A，B，C不共面，故A错误；

对于B，OM=OA+OB−OC，则OM−OA=OB−OC，

即AM=CB，则M，A，B，C共面，但M点在△ABC外，故B错误；

对于C，OM=13OA+13OB+13OC，则OM−OA=−2312.【答案】BC【解析】解：取DD1

中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，

∵AM与DD1

不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；

取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN/​/平面AEF，故B正确；

把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S=98，故C正确；

假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，

连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．13.【答案】2

【解析】解：由题意空间点A(x,y,z)，O(0,0,0)，|AO|=1，

即点A是以O为球心，半径为1的球面上的点，

又B(3,2,2)，则|OB|=(3)2+(14.【答案】(1【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠【解答】

解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1);

∴D115.【答案】(1【解析】解：设三棱锥的外接球球心的坐标为G(x,y,z)，

不妨设A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，D(0,0,0)，

则|GA16.【答案】(1【解析】解：如图连接C1D，因为C1在平面ABC内的射影为D，

所以C1D垂直于平面ABC内DB，AD这两条线段，

又因为底面是边长为2的等边三角形，D是线段AC中点，

所以DB⊥AD，

因此建立如图所示的空间直角坐标系，

则根据题意可知D(0,0,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,2,3),E(0,−12,32)，

设F(x,y,z)，C1F=λC1B1(17.【答案】(1)解：因为点A(0,a,1)，B(−1,2,2)，

所以OA=(0,a,1),AO=(0,−a,−1)，OB=(−1,2,【解析】(1)根据△OAB为锐角三角形，由OA⋅OB>0AB⋅AO18.【答案】已知PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α上的射影，l⊂α，且l⊥PA．

求证：l⊥AO．

证明：如图，取直线l的方向向量a，同时取向量PO，PA，

因为l⊥PA，所以a⋅PA=【解析】用数学符号表述出定理内容，利用向量法即可证明．

本题主要考查利用向量法证明线线垂直，考查逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(0,1,0)，F(2,1,2)，

所以AE=(−2,1,0),C1F=(2,−1,0)，显然AE=−C1F，易知两者不共线，

所以有AE/​/C1F，因此A，E，C1，F四点共面，

由勾股定理可得：AE=AF=FC1=C1【解析】(1)建立空间直角坐标系，根据题意可知四边形是菱形，运用勾股定理、菱形面积公式即可解得直线与直线间的距离．

(220.【答案】(1)证明：如图，在四棱锥P−ABCD中，取AB的中点E，连接EM，EN，

因为M，N分别为BP，CD的中点，AD//BC，

则ME//PA，EN/​/AD，

因为PA⊂平面PAD，ME⊄平面PAD，

则ME/​/平面PAD，

同理可得，EN/​/平面PAD，

又ME∩EN=E，ME，EN⊂平面MNE，

故平面MNE/​/平面PAD，

因为MN⊂平面MNE，

故MN/​/平面PAD；

(2)解：因为在等腰直角三角形PAD中，∠A=90°，AD//BC，

所以BC⊥PA，

则在四棱锥P−ABCD中，BC⊥PB，BC⊥AB，

因为AD//BC，

则AD⊥PB，AD⊥AB，

又PB∩AB=B，PB，AB⊂平面【解析】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．

(1)利用线面平行的判定定理证明ME/​/平面PAD，EN/​/平面P21.【答案】解：(1)证明：因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，又PD⊥AB，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，