2023学年完整公开课版一不等式

一不等式二绝对值不等式第一讲不等式和绝对值不等式第一课时不等式的基本性质、基本不等式学习要点2.

不等式有哪些基本性质?1.

怎样判断两个数的大小?3.

基本不等式是什么样的不等式?其几何解释及使用条件是什么？1.不等式的基本性质

问题1.

用数轴上的点表示数时,左边的数大还是右边的数大?大数减小数是正还是负?小数减大数呢?ABabxBAabxa<ba-b<0a>ba-b>0左边的数小于右边的数,右边的数大于左边的数.不等式基本事实:a>b

a-b>0;a=b

a-b=0;a<b

a-b<0.若a-b>0,则a>b,由此可比较两个数的大小.例1.

比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解:∵(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0,∴(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).我们把这样比较大小的方法叫求差比较法.

问题2.

在《数学-必修5》中,我们学习了不等式的基本性质,同学们还记得吗?请你写出这些性质.(6)

a>b>0(n

N,n≥2).(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.不等式的基本性质:(1)

a>b

b<a.(7)

a>b,c>d

a+c>b+d.(8)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)

a>b>0an>bn(n

N,n≥2).

问:

与等式比较,在应用不等式的基本性质时应注意什么?

特别要注意数的正负,如(4)(5)(6)(8).

问题2.

在《数学-必修5》中,我们学习了不等式的基本性质,同学们还记得吗?请你写出这些性质.(6)

a>b>0(n

N,n≥2).(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.不等式的基本性质:(1)

a>b

b<a.(7)

a>b,c>d

a+c>b+d.(8)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)

a>b>0an>bn(n

N,n≥2).

问:

你能由前面6个性质证明性质(7)(8)吗?∵a>b,∵a+c>b+c,∵c>d,∵b+c>b+d,①②由①②得a+c>b+d.

问题2.

在《数学-必修5》中,我们学习了不等式的基本性质,同学们还记得吗?请你写出这些性质.(6)

a>b>0(n

N,n≥2).(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.不等式的基本性质:(1)

a>b

b<a.(7)

a>b,c>d

a+c>b+d.(8)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)

a>b>0an>bn(n

N,n≥2).

问:

你能由前面6个性质证明性质(7)(8)吗?∵a>b,c>0,∵ac>bc,∵c>d,b>0,∵bc>bd,①②由①②得ac>bd.例2.

已知a>b>0,c>d>0,求证分析:要证需证需证a>b>0,这可由已知得到.2.基本不等式

定理1

如果a,b

R,那么

a2+b2≥2ab,当且仅当a=b

时,等号成立.当且仅当a=b

时,等号成立.定理2

如果a,b>0,那么

一、不等式画一个以

a,b

为边长的矩形,aba2b2ab则ab

表示的几何意义是:a2表示的几何意义是:b2表示的几何意义是:矩形的面积.定理2(基本不等式)如果a,b>0,那么当且仅当a=b

时,等号成立.

两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.CO其几何意义如图:取AD=a,DB=b,CD⊥AB,以AB为直径作⊙O交CD于C,则△ABC为直角三角形.由相似三角形得：而CD≤OC直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.aABDb即

例3.

求证:(1)

在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;

(2)

在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短.分析:设矩形的长、宽分别为x、y,则周长:2(x+y),面积:xy.(1)周长2(x+y)=l(定长),当x=y

时,面积xy

最大.需xy≤某定值,由得(2)面积xy=S(定值),当x=y时,周长2(x+y)最大.需x+y≥某定值.由得

一般地,从基本不等式可以得到下面结论:对两个正实数x,y,如果它们的和S

是定值,则当且仅当x=y

时,它们的积P

取得最大值;如果它们的积P

是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S

取得最小值.利用基本不等式可以解决一些最大(小)值问题.三相等.1.

求最小值:2.

求最大值:一正、二定、【课时小结】1.

数的大小比较a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a<b.对两个数求差可判断两个数的大小.

求差后如果是一个多项式,尽量分解成因式的积,以便判断正负.【课时小结】2.

不等式的基本性质(8)

a>b>0,n

N,n≥2(2)a>b,b>c

a>c;a<b,b<c

a<c.(3)a>b

a+c>b+c.(4)a>b,c>0

ac>bc;a>b,c<0

ac<bc.(1)

a>b

b<a.(5)

a>b,c>d

a+c>b+d.(6)

a>b>0,c>d>0ac>bd.(7)

a>b>0,n

N,n≥2an>bn.【课时小结】3.

性质应用中的要点(1)两边同加减一个数,不等号不变.(2)两边同乘除一个数,必须分正负.(3)同向不等式相加成立,相减不成立.(4)同向不等式相乘必须是正数不等式;(5)两边乘方、开方必须是正数不等式.相除不成立.【课时小结】4.

基本不等式

定理1

如果a,b

R,那么

a2+b2≥2ab,当且仅当a=b

时,等号成立.

定理2(基本不等式)

如果a,b>0,那么当且仅当a=b

时,等号成立.【课时小结】5.

基本不等式的几何解释SABCDEF≥SGBCHFE

a2+b2≥2ab.a+b=2OC≥2CDabABCDFGHEa2+b2=SABCDEF,2ab=SGBCHFE,ABDOCab·【课时小结】6.

基本不等式应用要点(1)必须a>0,b>0.(2)要能取得等号,需a=b.第二课时三个正数的算术-几何平均数返回目录学习要点1.

三个正数的算术平均数与几何平均数的大小能确定吗?2.

怎样用基本不等式求最值?需要注意些什么问题?3.三个正数的算术-几何平均数

问题5.

基本不等式给出了两个正数的算术平均数不小于几何平均数.与此类比,你能猜想三个正数的算术平均数与几何平均数的关系吗?n

个正数呢?a3+b3+c3≥3abc(a,b,c

是正数),当且仅当a=b=c时,等号成立.令a3=A,b3=B,c3=C,则于是有定理3如果a,b,cR+,那么当且仅当a=b=c

时,等号成立.三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.由定理2,3推广到一般情形:

对于n

个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即当且仅当a1=a2=…=an

时,等号成立.例5.

已知x,y,zR+,求证(x+y+z)3≥27xyz.证明:∵x,y,zR+,>0,即(x+y+z)3≥27xyz.练习(补充).

已知求证x2(3-2x)≤1.证明:∴3-2x>0,∵x2(3-2x)=x·x·(3-2x)又而>0,即x2(3-2x)≤1.

问题6.

根据定理2和定理3,你能写出两个正数的和的最小值以及两个正数的积的最大值吗?三个正数呢?变形为a+b最小到此时a=b(a>0,b>0).又由变形为ab

最大到此时a=b(a>0,b>0).

问题6.

根据定理2和定理3,你能写出两个变数的和的最小值以及两个变数的积的最大值吗?三个变数呢?abc

的最大值是此时a=b=c.同理可得:对于三个正数a,b,c,即

a+b+c的最小值是此时a=b=c.

例6.

如图,把一块边长是a

的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?xa解:盒子的容积为V=(a-2x)2x要求两个(或三个)数的积的最大值,需和为定值.如何将

(a-2x)2x构造成两个(或三个)数的和,使其是一个常数(没有了变量x),二次变为一次:(a-2x)2x=(a-2x)(a-2x)x变系数:则(a-2x)+(a-2x)+4x=2a(定值).

例6.

如图,把一块边长是a

的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?xa解:盒子的容积为V=(a-2x)2x当且仅当a-2x=4x

时,等号成立,即时所做成的盒子的容积最大为练习:(补充)

1.

设0<x<2,求函数的最大值,并求相应的x

的值.2.

已知x+2y=1,求2x+4y的最小值.

1.

设0<x<2,求函数的最大值,并求相应的x

的值.解:∵0<x<2,∴3x>0,=4,当且仅当3x

=8-3x

时,f(x)取得最大值4.8-3x>0,和为02.

已知x+2y=1,求2x+4y的最小值.解:2x+4y=2x+22y当2x=22y时,2x+4y取得最小值3.

已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r

和h

为何值时,内接圆柱的体积最大?RrO解:球内接圆柱的体积为V=pr2h.∴V=pr2h当且仅当时,等号成立.解得圆柱体积最大.【课时小结】1.

三个正数的算术平均数与几何平均数定理3

如果a,b,cR+,那么当且仅当a=b=c

时,等号成立.推广:

对于n

个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即当且仅当a1=a2=…=an

时,等号成立.【课时小结】2.

基本不等式求最值

对两个正实数x,y,若其x+y

为定值,则当且仅当x=y

时,xy

取得最大值;

若xy

为定值,