2010级应数班 数学分析习作读书报告

云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与无穷小和柯西收敛原理学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名、学号：杨清想20101910076任课教师：杨汉春时间：2010年12月8日星期三

摘要一、近似值数列二、数列极限的几个等价定义三、数列极限的“”定义四、五、柯西收敛原理六、柯西收敛原理证明七、经典例题解析八、体验、收获、心得关键词：不足近似值无穷小数列数列极限数列极限定义的核心语言特点任意性、暂时固定性、多值性等价形式无穷小与数列极限关于无穷小无穷小的应用利用无穷小求极限使用无穷小时应注意的问题柯西收敛准则证明典例解析体会近似值数列的不足近似值数列：该数列的特点是：精确到十进制小数点第n位，即：当时，总有（1）其中恒正数是表示的精确度，其分母数列是单调增加恒正无界数列。分母越大，精确度越高；它的无界性表明任意精确。在（1）中将换成无穷小数列，就可以得到数列极限的定义了。数列极限的定义（等价定义）：设a是一个确定的实数，称数列收敛于a，并记作，是指：存在无穷小数列：对于：任给，若存在之外，数列中的项只有有限个，则称数列收敛于a通俗的：数列收敛于a就是说数列的第项之后的值与a的差能任意小并保持任意小。拓展：数列极限定义的核心——两个“无限”三、（1）“”①任意性：只要求，是任意的；②暂时固定性：当我们求解时可以认为是暂时取定的；③多值性：由任意性可知（2）“”①相应性：是仅仅依赖于取值的，记作=()(这里并不是说是的函数)；②多值性：因为的多值性拓展：“”的任意性其等价形式有以下几种：当然我们应该注意到极限的定义并没有给出求极限的方法，但是从定义可知要证明极限就是能够找到用无穷小数列或表达出来的即可，常用的方法有：①直接解不等式，求N②若不易求解，可设法先把适当地放大到，再由求解N.数列极限和无穷小的关系：关于无穷小的几个问题：一、无穷小属于极限吗？1、无穷小是一个趋向于0的过程，这个过程就是取极限的过程；而取极限的过程，可以是趋向于任何数的过程，包括趋向于无穷大的过程，趋向于无穷小的过程。2、如果x趋向于某个数是，而函数的取值与一个固定值之差趋向于无穷小时，那么就认为极限存在。3、如果不是2的情况，只是一个泛泛的无穷小的概念，或不是在x趋近于一个数时(包括趋向于无穷大)，就不能得出结论说极限存在。4、极限存在是指左极限、右极限存在且相等。如果无穷小只是x趋向于某个数时，函数值与极限值只存在于一侧的话，仍然不能说极限存在。二、用等阶无穷小代换做题的前提是极限尊在但最后的结果是无穷，这不是矛盾了吗？极限存在是指：1、可以算出一个具体的值；2、在能够确定最后是正无穷大，还是负无穷大的情况下，一般也认为极限存在。极限不存在是指：无法确定极限的值，也无法确定它是否趋向于正无穷，还是负无穷。如当，就无法确定，虽然，这只能说明它是有限，但不能说明它有极限。“用等价无穷小代换做题的前提是极限存”可以用等价无穷小证明极限的存在，也可以用它证明极限的不存在。无穷也算极限，不矛盾。三、什么是高阶无穷小量，在求极限中怎么应用？比如说是在时趋于无穷小的，而在时也是趋于无穷小的，但是比小得更快，故是比更高阶的无穷小在极限上的应用主要是高阶无穷小在分子上是可以得到结果是为0的比。用等价无穷小代换极限设.==四、等价无穷小求极限时，运用于加减法时受到什么限制？可以这么说是替换好后+或-等于0，那就不能使用。替换好后加减不等于0就可以用等价无穷小做极限；但是有些情况下是判断不出来的。比如说，就不能替换即的高阶无穷小但是你不知道到底是的等价无穷小，还是的等价无穷小或者是的等价无穷小所以就无法判断了。五、无穷个无穷小的乘积一定是无穷小吗？不一定。以上所有数列均为无穷小量所以为无穷大量而非无穷小量定理：设与为等价无穷小，与为等价无穷小，的极限存在，则的极限等于的极限。根据以上两定理及等价无穷小的定义，求的极限。解：原式化简下为：即可得：由于分母为因子关系，故可以用等价无穷小，也可代入x=0。故原式可最终化为：又又因为的时候，利用等价无穷小：故原式==要判断一个数列是否收敛也是比较困难的，柯西定理就可以用来判定某一数列的不收敛例题1求然后利用等价无穷小，即当趋于0时和是等价无穷小那么上面的式子化为：那么当趋于0时，柯西收敛原理：：数列有极限的充要条件是对任意给定的，存在正整数N，当时，有证明：首先证明条件的必要性。设则对任意给定的，存在正整数N，当时，有从而当时，有再证条件的充分性首先，证明有极限前先证明满足条件的任何数列必有界。从所设条件，取,必存在正整数特别地，当且时，有从而当时，有有界性得证。接下来证明单调性。有致密性定理可知：“任何有界数列必存在收敛子列”。于是设为的一个收敛子列，且。根据子列收敛定义，对任意给定的，必有正整数K，当时，有取一正整数，于是，且。因此，当时，有已知条件有所以即定理得证。例