第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷（小学组）

第1页（共1页）第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷（小学组）一、填空题（共8小题，每小题10分，满分80分）1．（10分）1+3+5+7＝．2．（10分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的，接着增加了4个人完成了其余的工程，那么完成这项工程共用了天．3．（10分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了5千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的．排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为千米．4．（10分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯，晚上9时35分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有个小彩灯．5．（10分）在边长为1厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，1厘米为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图，则中间阴影部分的周长为厘米．（取圆周率π＝3.141）6．（10分）用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买一本，而且钱恰好花完．则不同的购买方法有种．7．（10分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是（立方厘米）8．（10分）将自然数1～22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数），在形成的11个分数中，分数值为整数的最多能有个二、解答题（共6小题，满分70分）9．（10分）长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．10．（10分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？11．（10分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？12．（10分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足[]+[]+[]+…+[]+[]＞2011，则n的最小值是多少？13．（15分）在如图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字．问：满足要求的不同算式共有多少种？14．（15分）如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G，假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案．

第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（共8小题，每小题10分，满分80分）1．（10分）1+3+5+7＝18．【分析】根据加法结合律和加法交换律进行计算．【解答】解：1+3+5+7＝1++3++5++7+＝（1+3+5+7）+（+++）＝16+2＝18故答案为：18．2．（10分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的，接着增加了4个人完成了其余的工程，那么完成这项工程共用了70天．【分析】把这项工程看作单位“1”，用“÷30÷8＝”求出1人1天的工作效率，则12个人工作效率和为×12＝，求出剩下的工作总量，然后根据：工作总量÷工作效率＝工作时间“求出后来用的时间，进而求出完成这项工程共用的时间．【解答】解：一个人的工作效率是÷30÷8＝，12个人的工作效率和为×12＝，共需：（1﹣）÷+30＝40+30＝70（天）答：一共用了70天．故答案为：70．3．（10分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了5千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的．排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为45千米．【分析】根据题意可知，甲乙的车速比是1.2：1＝6：5，所以所用时间比为5：6，不妨设甲用时5t，则乙原定时间为6t，乙因故障耽误的时间为×6t＝t，而最后全程用时5t，所以故障排除后，乙的提速使它节省了2t的时间．提速后的速度与原来速度比为1.6：1＝8：5，所以时间比为5：8，节省了三份的时间，所以每份为t，所以这段路原计划用时t×8＝t，所以一开始的5千米原计划用时是6t﹣t＝t，所以A、B之间的距离为5×（6t÷t），然后计算即可．【解答】解：甲乙的车速比是1.2：1＝6：5，所以所用时间比为5：6；设甲用时5t，则乙原定时间为6t；乙因故障耽误的时间为×6t＝t，而最后全程用时5t，所以故障排除后，乙的提速使它节省了2t的时间．提速后的速度与原来速度比为1.6：1＝8：5，所以时间比为5：8，节省了三份的时间，所以每份为t，所以这段路原计划用时t×8＝t，所以一开始的5千米原计划用时是6t﹣t＝t，所以A、B之间的距离为：5×（6t÷t），＝5×9，＝45（千米）；故答案为：45．4．（10分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯，晚上9时35分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有12个小彩灯．【分析】先求出晚上9时35分20秒时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60小格，每一大格所对角的度数为30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上9时35分20秒时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．【解答】解：晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角为：9×30°+35×0.5°+20×0.5°÷60﹣（7×30°+20×6°÷60）＝270°+17.5°+10°÷60﹣210°﹣2°＝（75）°（75）°÷6≈12（个）．故在分针与时针所夹的锐角内有12个小彩灯．故答案为：12．5．（10分）在边长为1厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，1厘米为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图，则中间阴影部分的周长为2.094厘米．（取圆周率π＝3.141）【分析】如图所示：由题意很容易就可以得出△ABF为等边三角形，则弧为圆，同理弧也为圆，所以弧＝+﹣＝圆，同理其余三段也为圆，故周长＝圆，再据圆的周长公式即可得解．【解答】解：依题易知△ABF为等边三角形，故弧为圆，同理弧也为圆，所以弧＝+﹣＝圆，同理其余三段也为圆，故阴影部分的周长＝圆×4＝圆＝＝2.094（厘米）；答：中间阴影部分的周长为2.094厘米．6．（10分）用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买一本，而且钱恰好花完．则不同的购买方法有5种．【分析】每种先都减去1本，剩余40﹣2﹣5﹣11＝22元．然后根据剩余的钱数，分类解答，解决问题．【解答】解：每种先都减去1本，剩余40﹣2﹣5﹣11＝22元．如果再买2本11元的，恰好用完，计1种方法；如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，计1种方法；如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4，2，0，计3种方法．共有1+1+3＝5种方法．答：不同的购买方法有5种．7．（10分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是2666（立方厘米）【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为20cm的正方体，OE⊥CD且E是CD的中点，所以棱锥的高OE＝20cm．所以四棱锥的体积为×202×20＝×400×20＝2666（cm3）．答：这个几何体的体积是2666cm3．故答案为：2666．8．（10分）将自然数1～22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数），在形成的11个分数中，分数值为整数的最多能有10个【分析】分值为整数，说明分母是分子的约数．大于11的质数13、17、19要想构成分值为整数的分数，只能做1的分子．然后写出这几个数即可．【解答】解：根据分析可知，22个数最多能构成的整数为：，，，，，，，，，．所以分数值为整数的最多能有10个．故答案为：10．二、解答题（共6小题，满分70分）9．（10分）长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可．【解答】解：如图，连接DF．三角形ADF＝2011÷2＝1005.5（平方厘米），因为点D为EG的中点，所以三角形AED+三角形DFG＝1005.5（平方厘米），梯形AFGE的面积：1005.5+1005.5＝2011（平方厘米），答：梯形AFGE的面积是2011平方厘米．10．（10分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？【分析】显示的百位数字3有一处坏，可能是9，有两处坏可能是8；十位数字5，有一处坏，可能是6和9，有两处坏，可能是8；个位数字1，有一处坏可能是7，有两处坏可能是4；在不亮的灯管中可能应该都不亮，可能有一处该亮却没亮，可能有2处该亮却没亮，分三种可能情况，细致分析，即可得解．【解答】解：分三种情形考虑．第一种情形：线路号的数字中没有荧光管坏了．只有351一个可能线路号．第二种情形：线路号的数字中有1支荧光管坏了．坏在第一位数字上，可能的数字为9，线路号可能是951；坏在第二位数字上，可能的数字为6，9，线路号可能是361，391；坏在第三位数字上，可能的数字为7，线路号可能是357．第三种情形：线路号的数字中有2支荧光管坏了．都坏在第一位数字上，可能的数字为8，线路号可能是851；都坏在第二位数字上，可能的数字为8，线路号可能是381；都坏在第三位数字上，可能的数字为4，线路号可能是354；坏在第一、二位数字上，第一位数字可能的数字为9，第二位数字可能的数字为6，9，线路号可能是961，991；坏在第一、三位数字上，第一位数字可能的数字为9，第三位数字可能的数字为7，线路号可能是957；坏在第二、三位数字上，第二位数字可能的数字为6，9，第三位数字可能的数字为7，线路号可能是367，397．所以可能的线路号有13个：351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，961，991．答：则该公交车的线路号有13种可能．11．（10分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？【分析】有三个星期日的日期为奇数，这三个星期日应是不相邻的．并且两个奇数周日之间应相隔14天．故可设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，第三个周日的日期应不大于31．【解答】解：因为每个周日的间隔是7日，所以若一个月中有三个星期日为奇数，则这三个星期日必定不会是连续的，而是两个奇数周日间间隔14日，一个月最多31日，设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，所以x+28≤31，解得x≤3；这样第一个星期日可以是1号或3号．如果第一个星期日是1号，那么该月的20号是星期五；如果第一个星期日是3号（此时本月有31天），那么该月的20号是星期三．故这个月的20日可能是星期五或星期三（此时本月有31天）．12．（10分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足[]+[]+[]+…+[]+[]＞2011，则n的最小值是多少？【分析】观察：[]＝0，[]＝0，…，[]＝0，前14个数的和为0[]＝1，[]＝[1]＝1，…，[]＝[1]＝1，这15个数都是1，之和为1×15＝15，[]＝2，[]＝[2]＝2，…，[]＝[2]＝2，这15个数都是2，之和为2×15＝30，…观察可以得到，规律是间隔15个增加1，（1+2+3+…+15）×15＝1800，（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，因此整数部分加到15，只是达到1800，继续往下到达整数部分是16，2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，那么要取14个，即最少取到16，才能保证大于2011，则n最下值是：16×15+13＝253．【解答】解：（1+2+3+…+15）×15＝1800，（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，那么整数部分到16，2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，即最少取到16，才能保证大于2011，则n最下值是：16×15+13＝253．答：自然数n的最小值是253．13．（15分）在如图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字．问：满足要求的不同算式共有多少种？【分析】由于2+0+1+1＝4且0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod9），所以，九个不同的汉字代表的数字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），说明此算式共发生四次进位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”显然：①华＝1，“4＝2+2”无解②华＝1，“4＝1+1+2”有解，据此分析讨论即可解答问题．【解答】解：由于2+0+1+1＝4且0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod9），所以，九个不同的汉字代表的数字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），说明此算式共发生四次进位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”显然：①华＝1，“4＝2+2”无解②华＝1，“4＝1+1+2”有解A：28+937+1046＝2011，可组成算式36种（6×6×1＝36）B：69+738+1204＝2011，可组成算式48种（6×4×2＝48）C：79+628+1304＝2011，可组成算式48