大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第五节(课堂讲义)

主要内容线性方程组的向量表示形式线性方程组有解判别定理第五节一般线性方程组的解法线性方程组有解判别定理线性方程组的求解步骤整理课件在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件.设线性方程组为一、线性方程组的向量表示形式整理课件引入向量于是线性方程组(1)可以改写成向量方程x1

1+x2

2+…+xn

n

=

.(3)显然，线性方程组(1)有解的充分必要条件为向量

可以表示成向量组

1,

2,…,

n

的线性组合.用秩的概念，这个条件可以叙述如下：整理课件二、线性方程组有解判别定理定理7

线性方程组(1)有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵整理课件有相同的秩.证明先证必要性.设线性方程组(1)有解,就是说，

可以经向量组

1,

2,…,

n

线性表出.由此立即推出，向量组

1,

2,…,

n

与

1,

2,…,

n,

等价，因而有相同的秩.这两个向量组分别整理课件是矩阵A

与A的列向量组.A因此，矩阵A

与有相同的秩.再证充分性.A设矩阵A与有相同的秩，就是说，它们的列向量组

1,

2,…,

n

与

1,

2,…,

n,

有相同的秩，令它们的秩为r.

1,

2,…,

n中的极大线性无关组是由r

个向量组成，无妨设

1,

2,…,

r是它的一个级大线性无关组.显然整理课件

1,

2,…,

r也是

1,

2,…,

r,的一个级大线性无关组，因此向量

可以经

1,

2,…,

r线性

表出，它当然可以经

1,

2,…,

n

线性表出.因此，方程组(1)有解.证毕整理课件三、一般线性方程组的解法根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的一个解法.这个解法有时在理论上是有用的.设线性方程组(1)有解，矩阵A与A的秩都等于r，而D

是矩阵A

的一个不为零的r

级子式A(当然它也是的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设D

位于A

的左上角.整理课件显然，在这种情况下，A的前r

行就是一个极大线性无关组，第r+1,…,s

行都可以经它们线性表出.因此，方程组(1)与同解.当

r=n

时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一

解，也就是方程组(1)有唯一解.整理课件当r<n

时，将方程组(4)改写为方程组(5)作为以x1,x2…,xr

为变量的一个方程组，它的系数行列式D

0.由克拉默法则，对于xr+1,…,xn

的任意一组值，方程组(5)，也就是方程组(1)，都有唯一解.xr+1,…,xn

就是方程组(1)整理课件的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出x1,x2…,xr

：(6)就是方程组(1)的一般解.上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以下步骤：整理课件例1

解线性方程解首先我们来判别方程组是否有解.把方程组的增广矩阵化为行阶梯形整理课件初等行变换因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为2，所以方程组有解.它的一个同解方程组是整理课件把x1,x5

取作非自由未知量，x2,x3,x4

当作自由未知量，并把方程组变形成解之得方程组的一般解为整理课件本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.