种群动力学中有阶段结构的种群规模控制模型

种群动力学中有阶段结构的种群规模控制模型

1结构模型与反馈控制变量大多数科学家对此进行了研究。在自然界中，物种的增长往往有一个从幼种（即幼苗）到成生动物（即成体）的过程。例如，从幼种（即幼苗）到成年物种（以下简称成年物种），幼种没有生育能力和捕食能力，生存能力很差。成年不仅具有生育能力和捕食能力，而且具有强大的生存能力。它们在每个生长阶段都表现出不同的特点，生理机能的差异也体现在不同的阶段。因此，考虑到阶段结构，种群模型具有更多的实际意义。近年来,具有阶段结构的种群动力学模型已引起了众多学者的关注.文献提出了一个包含幼体和成体两个阶段的单种群阶段结构模型:其中,B(t)表示幼体在时刻t的出生数目,Di(t)和Dm(t)分别表示幼体和成体在时刻t的死亡数目,W(t)表示在时刻t长大转化为成体的幼体数目,α(t)表示时刻t的幼体成活率.另外,在具体的生态问题中,为了某种需要,需人为地改变种群规模的正平衡态,一种有效的办法是在方程中引入反馈控制变量以改变正平衡点的位置.文献提出了下述反馈控制系统:其中,n(t)表示时刻t的种群数目,u(t)表示时刻t的反馈控制变量.本文依据模型(1.1)和模型(1.2)的建模机理,提出在某一单种群阶段结构系统中引入反馈控制变量(如天敌种群),通过对成体种群的控制实现种群规模整体控制.其数学模型如下:其中,x1(t),x2(t)分别表示幼体和成体在t时刻的密度,而u(t)表示控制变量.模型(1.3)的建立基于下列假设:⒜幼体与成体种群:幼体出生率与现存的成体密度成正比(比率系数为a>0);幼体死亡率与现存幼体密度成正比(比例系数为r1>0);幼体向成体转化所需时间为τ≥0;幼体向成体的转化率与成体在t-τ时刻的密度成正比(比率系数为b>0);成体死亡率与现存的成体密度成正比(比率系数为r2>0);参数b1>0,a1>0分别表示成体种群内的竞争率和被捕获率.⒝控制变量种群:假定引入的控制变量种群只捕食原生态系统的成体种群,其增长率与现存的成体密度成正比(比率系数为a2>0);其平均(相对)死亡率为b2>0.本文我们讨论模型(1.3)将基于以下初始条件:其中,上的非负连续函数.为保证初始条件的连续性还假设:我们将在下面首先讨论模型(1.3)解的正定性与有界性,其次证明模型(1.3)正平衡点存在唯一性及其局部渐近稳定性,最后推证模型(1.3)正平衡点全局渐近稳定的充分性条件.2模型2.20.20.2.20.20.3.20.2.3.3.20.3.3.3.3.20.3.3.3.3.3.3.20.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.20.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3模型1.3规则.2.3.3.3.3.3.3.3.3规则t1.3规则t1.3规则1.3规则1.3规则t1.3规则t1.3规则t1.3规则t1.3规则t1.3规则t1.3规则t1.3规则t1规则t1.3规则t第2.3第2.3规则t1.3第2.3第2.3第3.3第3.3第定理2.1若模型(1.3)满足初始条件(1.4),(1.5),并且又满足条件(H1):x1(t)>0,x2(t)>0,t∈[-τ,0],则当t>0时模型(1.3)的解均为正解.证明首先证当t>0时,恒有x2(t)>0.若不然,由条件(H1)可知存在t*>0使x2(t*)=0,取t0=inf{t>0|x2(t)=0}t0=inf{t>0|x2(t)=0},必有˙x2(t0)≤0x˙2(t0)≤0.而由模型(1.3)第2个方程知可知˙x2(t0)>0,这是矛盾的.故当t>0时,恒有x2(t)>0成立.其次证当t>0时,恒有x1(t)>0.当0<t≤τ时,由模型(1.3)第1个方程知˙x1(t)>-rx1(t)-bφ2(t-τ).作比较方程从0到t积分得由条件(1.5)知方程(2.1)表明m(t)是严格单调减少的,所以当0<t≤τ时,恒有成立.进一步,当nτ<t<(n+1)τ时(n=1,2,…),即0<t-nτ≤τ,由模型(1.3)第1个方程知类似地讨论知,当nτ<t≤(n+1)τ时,恒有x1(t)<0成立.(3)最后证当t>0时,恒有u(t)>0.由模型(1.3)第3个方程知从而可知当t>0时,恒有u(t)>0成立.定理2.2模型(1.3)满足初始条件(1.4),(1.5)及条件(H1)的正解都是最终有界的.证明令ρ(t)=x1(t)+x2(t)+u(t),ρ(t)沿模型(1.3)解的右上全导数:3n0,0,0正控制点的稳定值m模型(1.3)的平衡点应满足方程组{ax2-r1x1-bx2=0‚bx2-r2x2-b1x22-a1x2u=0‚-b2u+a2x2=0.易知模型(1.3)存在两个平衡点是唯一正平衡点,其中x01=a-br1x02‚x02=b2(b-r2)a1a2+b1b2‚u0=a2b2x02=a2(b-r2)a1a2+b1b2.下面的讨论均在条件a>b>r2下进行.在N(0,0,0)处模型(1.3)的线性系统为特征矩阵为特征方程为可知λ=-r1<0或λ=-b2<0,而y=λ和y=-r2+be-λτ,当b>r2时必有一正交点,即λ+r2-be-λτ=0有一正根.因此,N(0,0,0)是不稳定的.现作变换:—x1=x1-x01‚—x2=x2-x02‚—u=u-u0,仍用x1,x2,u记—x1‚—x2‚—u‚则得模型(1.3)在点M(x01,x02,u0)处的线性系统为特征矩阵为特征方程为可知λ=-r1<0,对于方程为了考虑方程(3.3)的纯虚根,令λ=iσ,σ>0,代入方程(3.5)得从而方程(3.5)成为于是得由于方程(3.6)可看成关于σ2的二次代数方程,并且由x02,u0知:b=b2r2+a1a2x02+b1b2x02b2=r2+a1u0+b1x02‚r+q=2b2r2+3a1a2x02+3b1b2x02+a1b2u0>0‚r-q>0‚r2-q2>0‚p2-2r-s2=(b2-a1u0)2+(b1x02-a1u0)2+2r2b1x02+b21x02>0.代数方程(3.6)的每一项系数均为正,所以关于σ2没有正根,进而方程(3.3)没有纯虚根.当τ=0时,方程(3.5)化为由于q+r>0,p+s=b1x02+b2>0,根据文献中Routh-Hurwiz准则知方程(3.7)的根均具负实部,所以线性系统(3.2)的零解是渐近稳定的.注意到方程(3.3)没有纯虚根,且z=λ2+pλ+r和z=-(sλ+q)e-λτ关于λ无正交点,因此由文献[11,定理3.3.1]知对所有τ≥0线性系统(3.2)的零解是渐近稳定的.这说明模型(1.3)正平衡点M总是渐近稳定的,这样有下面的结果:定理3.1模型(1.3)的平凡平衡点N是不稳定的,而正平衡点M对任意时滞τ≥0总是渐近稳定的.4模型1.3.2不同时长6个月的情况下,有以下情况为讨论方便起见,先给出下面引理.引理4.1微分方程若R>b,则limt→+∞x(t)=R-bk,其中,R,b,k,τ都是正常数.引理4.2若limt→+∞f(t)=f0,则limt→+∞e-rt∫tΤf(s)ersds=f0r,其中,f0,r,T均为正常数.由积分性质及Hospital法则易得,故证从略.定理4.2若模型(1.3)满足初始条件(1.4),(1.5)及条件(H1),又满足条件(H2):a1a2<b1b2,则模型(1.3)正平衡点M是全局渐近稳定的.证明由已知条件可知模型(1.3)的解均为正解且为最终有界的,所以,由模型(1.3)第2个方程知,由引理4.1知由比较定理知,存在充分大的T1>0,当t>T1时,恒有x2(t)<p11.由模型(1.3)第3个方程知当t>T1时有˙u(t)≤-b2u(t)+a2p11,也有同理知存在T2>0,当t>T1+T2时,恒有再由模型(1.3)第2个方程知,当及引理4.1知由比较定理知,存在充分大的由模型(1.3)第3个方程知,当t>T3时有˙u(t)>-b2u(t)+a2q11,于是同理知存在充分大的T4>0,当t>T3+T4时,恒有12定义函数重复以上讨论可以得到进一步对正整数n有其中rn(x)是表