广东省惠州市2022届高三数学第三次调研考试试题（解析版）

广东省惠州市2022届高三数学第三次调研考试试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，，则（）A.{1} B.{0} C.｛0，1} D.｛1，2}【答案】A【解析】【分析】解方程求出集合再进行交集运算即可求解.【详解】因为集合，所以.故选：A.2.已知为虚数单位，复数z满足，则（）A.1 B.2 C. D.0【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据模长公式求出.【详解】.故选：C.3.若随机变量X满足，则（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由二项分布的期望公式直接求解即可【详解】因为，所以，故选：D.4.已知点是角的终边与单位圆的交点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，，进而由二倍角公式可得.【详解】依题意，由任意角三角函数的定义可得，，所以.故选：C.5.将一枚均匀的骰子掷两次，记事作为“第一次出现奇数点”，为“第二次出现偶数点”，则有（）A.与相互独立 B.C.与互斥 D.【答案】A【解析】【分析】根据相互独立事件的定义可判断A；根据互斥事件的概念、以及和事件的概率公式可判断B、C；由相互独立事件概率的乘法公式可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由题意知，事件的发生与否对事件没有影响，所以与相互独立，故选项A正确；对于C：因为事件与可能同时发生，所以事件与不互斥事件，故选项C不正确对于B：因为与不是互斥事件，所以，故选项B不正确；对于D：因为与相互独立事件，则，故选项D不正确；故选：A.6.已知函数，如图所示，图象对应的函数解析式可能是（）

A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到函数图象关于原点对称，所求函数为奇函数，对选项A，B所给的函数为非奇非偶函数，故排除A，B；对选项C，利用的单调性即可判断C错误.【详解】因为函数图象关于原点对称，所以所求函数为奇函数.对选项A，，为非奇非偶函数，故排除A，对选项B，，为非奇非偶函数，故排除B，对选项C，设，定义域为，，所以函数为奇函数，，时，，为增函数，而函数图象在先增后减，故C错误.故选：D7.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（）①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.【详解】①由椭圆的性质知，，解得，故正确；②由①知，所以，若R不变，r越大，越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误；③由①知，故轨道Ⅱ的长轴长为，故正确；④因为，若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.故选：C【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.8.如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（）A.当时，随着的增大而增大B.当时，随着的增大而减小C.当时，随着的增大而减小D.当时，随着的增大而增大【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，分别过作的平行线，可得直线与所作的平行线成的角即为角可得答案.【详解】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，设正四面体的棱长为3，则，可求得，所以在中，有，令，则，时，有正有负，函数有增有减，所以故A与B错误；当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.同样设正四面体的棱长为3，则，可求得，,在中，有，所以，即，所以中，有，令，则，所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D正确，C错误.故选：D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.若直线与圆相切，则b的取值可以是（）A. B. C.2 D.【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线与圆相切，所以，解得：.故选：AC10.有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法不正确是（）A.残差平方和变小 B.相关系数r变小C.相关指数变小 D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】BCD【解析】【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．【详解】解：从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，若去掉点，则变量与变量的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，解释变量x与预报变量y的相关性变强；故选：．11.关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，依次计算各选项即可得答案.【详解】解：因双曲正弦函数和双曲余弦函数，对于A，，A正确；对于B，，B不正确；对于C，显然双曲余弦函数是偶函数，且在上成立，故在上单调递增，所以，C正确；对于D，，D不正确.故选：AC12.已知函数，其中，则下列选项中的条件使得仅有一个零点的有（）A.，为奇函数 B.C.， D.，【答案】BD【解析】【分析】对于A，由奇函数性质知，知，由导数可确定单调性，求得极大值和极小值，由极值可确定有三个零点，知A错误；对于B，由知单调递增，由此确定仅有一个零点，B正确；对于C，取，则可确定有两个零点，C错误；对于D，由可确定或，由此可确定仅有一个零点，D正确.【详解】由题意知：.对于A，为奇函数，，则，有两个不等实根，，在，上单调递增，在上单调递减，则存在两个极值点，又，，有三个零点，A错误；对于B，，，，在上单调递增，又当时，；当时，，仅有一个零点，B正确；对于C，若取，则的极大值为，极小值为，有两个零点，C错误；对于D，的极大值为，极小值为.，，，则或，则或，可知仅有一个零点，D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点个数的求解，解决此类问题的基本思路是确定的单调性，得到的极大值和极小值，由此确定与交点个数，即为零点个数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.13.若是边长为1的等边三角形，则______.【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义可求数量积.【详解】因为为边长为1的等边三角形，所以，，而向量和的夹角为的补角，所以.故答案为：.14.的展开式中，项的系数为__________．【答案】【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项为，集合通项进而求得项的系数.【详解】由二项式展开式的通项为，则的展开式中，含的项为，所以项的系数为.故答案为：.15.请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意写出一组符合题意的点即可.【详解】如图三棱锥各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥的个面都是正三角形，即这个点可以是，故答案为：（答案不唯一）.16.将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．【答案】①.②.【解析】【分析】先根据所给的图形找互相邻的图形周长之间的关系，再进一步得到与第一个图形的周长之间的关系，找出相邻两个图形之间的面积关系，可求得图（）的面积【详解】解：第一个三角形的周长为，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的，第三个在第二个的基础上多了其周长的，所以第二个图形的周长为，第三个图形的周长为，第四个图形的周长为，……，所以第个图形的周长是第一个周长的倍，所以第个图形的周长为，由题意可知，第个图形的边长都相等，且长度变为原来的，则边长的递推公式为，，所以，边数的递推公式为，，则，第一个图形的面积为,当时，，则【点睛】关键点点睛：此题考查数列的应用，考查等比数列的性质的应用，解题的关键是由题意找出边长的递推公式和边数的递推公式，相邻两个图形面积之间的递推关系，考查计算能力，属于较难题四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济､有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗.根据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.（1）求等高条形图中a的值；（2）请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性抗体为阴性总计6040100参考公式：，其中0.150.100.012.0722.7066.635【答案】（1）（2）列联表答案见解析，不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异【解析】【分析】（1）根据题意得，解方程即可得答案；（2）结合题意得接种灭活疫苗抗体阳性的共有人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有人，进而完成列联表，结合独立性检验求解即可.【小问1详解】解：依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54，所以解得，所以【小问2详解】解：根据题意，接种灭活疫苗抗体阳性的共有：人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有：人，故列联表如下：灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性543488抗体为阴性6612总计6040100零假设为接种两种疫苗效果无差异根据列联表中的数据，得到因为所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异.18.的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B；(2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒【小问1详解】由正弦定理，得，即，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵B为三角形内角，∴；【小问2详解】∵，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，即，∴，，∴的面积为．19.已知数列是公差大于1的等差数列，，前n项和为，且___________.请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题.①成等比数列；②是和的等差中项；③的前6项和是78.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公差为,再结合等差中项或等比中项或前项和公式求解得，再根据通项公式求解即可.（2）由（1）知，再根据错位相减法求解即可.【小问1详解】设的公差为d，选条件①：，则，解得或，，所以，，选条件②：由已知有，，即解得：选条件③：的前6项和是78，即解得：，【小问2详解】解：由（1）知：则20.如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】证明见解析；.【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理即可证明；建立空间直角坐标系，结合向量的数量积运算求出直线与平面所成的角的正弦值．【详解】解：由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，，底面圆，在底面圆上，．，为正三角形，又因为为的中点，，又因为，且平面，平面，平面，平面，．如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，设平面的法向量为，由，可得，令，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的判定，以及线面所成角的正弦值的求法，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.21.如图已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在由四点，，，构