简单曲线的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程

在平面直角坐标系中，平面曲线Ｃ可以用方程f(,)=0表示。曲线和方程满足如下关系：(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。

那么，在极坐标系中，平面曲线是否可应用方程f(,)=0表示呢？1.圆的极坐标方程探究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OAM(,)

如图，圆经过极点O，设圆和极轴的另一个交点为A，那么

即①

可以验证点O、A的坐标满足等式①。

于是，等式①就是圆上任意一点的极坐标(,)

满足的条件。另一方面，可以验证，坐标符合等式①的点都在这个圆上。

一般的，在极坐标中，如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。因此①就是圆心在C(a,0)，半径为a的圆的极坐标方程。

可以看出，在求曲线方程是，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，在通过代数变换进行化简。而且，与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，因为在极坐标系下，圆上点的坐标所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接。AOxM

例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线为极轴建立坐标系，那么圆上各点的几何特征就是它们的极径都等于半径r,

设M（

,

）为圆上任意一点，则，即。显然，使极点与圆心重合时的圆的极坐标方程在形式上比①简单。题组练习1求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)中心在(a,/2)，半径为a；

(４)中心在Ｃ(

0,

０)，半径为r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+

0

2-2

0cos(-

０)=r2

极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少练习2１.小结：（１）曲线的极坐标方程概念（２）怎样求曲线的极坐标方程（3）圆的极坐标方程2.直线的极坐标方程新课引入：思考：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;x=3x=32、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为答：与直角坐标系里的情况一样，求直线的极坐标方程就是找出直线上动点Ｐ的坐标

与

之间的关系，然后列出方程

(,)=0

，再化简并讨论。怎样求直线的极坐标方程？探究：直线l过极点，从极轴到直线l的角为，求直线l的极坐标方程。oMx﹚如图，以极点为分界点，直线l上的点的极坐标分成射线OM、射线ON两部分，先看射线OM。故所求射线的极坐标方程为：新课讲授所求的射线上任一点的极角都是，其极径可以取任意的非负数。射线ON上任意一点对极角都是，因此射线ON的极坐标方程为：故过极点，倾角为的直线的极坐标方程为：

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM,ox﹚AM由有即可以验证，点A(a,0)的坐标也满足上式。因此，这就是所求直线的极坐标方程求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。例3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚解：如图，设点点P外的任意一点，连接OM为直线上除则由点P的极坐标知设直线