分段函数及映射

x-x根据自变量x的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数分段函数及映射目标要求1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．2．了解映射的概念.热点提示

分段函数求值是本课时的一个重点考查内容，通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．●想一想：分段函数由几个部分组成，能认为分段函数就是几个函数吗？提示：不能．分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内对应关系不一样而已．2．映射设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．●想一想：函数是映射吗？提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．1．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(

)解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．答案：C答案：A3．函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]，则此函数的值域为________．解析：函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]上的图象如下图所示，故y∈[0,3]．答案：[0,3]答案：1解：∵－3<0，∴f(－3)＝0，∴f[f(－3)]＝f(0)＝π，又π>0，∴f{f[f(－3)]}＝f(π)＝π＋1，即f{f[f(－3)]}＝π＋1.类型一分段函数求值问题思路分析：求分段函数的函数值时，应先判断自变量所在的范围，从而代入相应的解析式，对于多层求值，应由内向外求解．温馨提示：(1)分段函数题求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定相应的解析式．(2)分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集就是最终的解集．

(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．解：∵－4<－3，∴f(－4)＝－4＋2＝－2；又∵－3<－2<3，∴f[f(－4)]＝f(－2)＝(－2)2＝4；又∵4>3，∴f{f[f(－4)]}＝f(4)＝2×4＝8.

类型二分段函数的图象及应用【例2】作出函数y＝2|x－1|－3|x|的图象，并求其值域．思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，再画出分段函数的图象，然后解之．

解：当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2；当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2，温馨提示：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．

(1)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如下图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0,1]．

类型三

映射的概念及运用【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A＝{高一·一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系f：每个男生对应自己的身高．思路分析：解答本题由映射的概念出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应．解：(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一一个元素与之对应，符合映射定义，是映射．

给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定义，用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”、“一对一”、“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而最后一种不是A到B的映射．3下列各图表示的对应构成映射的个数是(

)A．3 B．4C．5 D．6A解析：(1)、(2)、(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应关系下，B中都有唯一的元素与之对应．对于(4)、(5)，A的每一个元素在B中有两个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对(6)，A中的元素a3、a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.答案：A

类型四分段函数的探究性问题【例4】已知函数y＝f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋2n(n∈N*)，求f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值．思路分析：由于f(2)＝f(1＋1)，由第二个等式可知f(2)＝f(1)＋2×1，又已知f(1)＝1，可求f(2)的值，其他依次递推可得．解：将n＝1,2,3,4分别代入题中关系式，依次可得：f(2)＝f(1)＋2×1＝1＋2＝3，f(3)＝f(2)＋2×2＝3＋4＝7，f(4)＝f(3)＋2×3＝7＋6＝13，f(5)＝f(4)＋2×4＝13＋8＝21.温馨提示：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．实质给出的是分段函数，计算时注意自变量的变化．

当一个函数的定义域是正整数，并且每一个自变量对应的函数值与前一个自变量对应的函数值之间存在着一定的递推式时，这种函数定义的运算通常叫做递推运算．结合给定的初始值，根据递推式可依次求值．4已知函数y＝f(n)满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N*.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5×24＝120.1．分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在．2．映射首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：①A中元素不可剩，