《小学数学的掌握和教学》教师阅读感悟（仅供学习）

《小学数学的掌握和教学》教师阅读感悟（仅供学习）今年暑假，在工作室导师XX老师的带领下，工作室成员共读了马立平博士的力作——《小学数学的掌握和教学》。在该书中，马立平博士结合大量的教学案例、调查数据，深入分析了中美小学教师在数学知识水平和对所教内容的理解方面存在的差异，发现我国教师实际上他们学的数学很少，但是他们对所学都能掌握得更深刻，更有利于教师向学生讲解重要数学概念的能力，并总结了我国在学校教育、职前教育、教学实践这种螺旋形循环上升的三个阶段发展了教师对数学基础知识的深刻理解。正如RichardAskey教授评价的那样：“马立平的著作已给了我关于如何改进数学教育的希望。她阐述了什么是小学教师的‘基础数学知识的深刻理解’，也给出了关于如何帮助更多的教师获得这些知识的建议。”作为一名小学数学教师，这本书给予了我许多启示。书中每个案例由TELT访谈问题开始，通过一个课堂情境呈现教学，由小学数学课堂中中的案例与破析着手，每个案例都有四个板块组成：教一个课题，处理学生的错误，形成某个专题的表征，应对学生的新想法。读起来很容易联想到我自己平时的教学和课堂，一方面追根溯源，另一方面提升思维深刻性，其中既有老师的教，也有学生的学；既有对他执教的评，也有对自己教学实践的反思。研读此书仿佛亲历如何雕琢一堂堂好课，受益匪浅，下面结合几个案例谈谈自己读后的点滴感想：一、把握整体结构，促知识深刻理解这本书的第一章到第四章通过访谈勾勒出教师数学学科知识的现状，内容分别由退位减法、多位数乘法、分数除法，以及封闭图形面积和周长的关系四个标准专题组成。每一章中，详细描述美国教师和中国教师面对这样的课堂情境会如何回答，再通过数据资料的讨论来归纳结论。发现中国教师相对于美国教师更倾向于发现算法的数学原理和运用符号对解释做出证明，更致力于发掘灵活多样的概念性理解，融通联结知识包，建立小学数学内容之间的纵向链接。因此，需整体把握内容结构，才能促进基础知识的深刻理解。整体而言，中国教师的知识具有明显的连贯性，而美国教师的知识明显是零散的。令我印象比较深刻的是第三章中美国和中国小学数学教师对分数除法的理解。访谈中提到美国教师在分数除法只提到了“倒过来”相乘一种算法，可是中国教师提到了至少3种其他的方法：使用小数做分数除法、应用分配率，以及不使用乘以除数的倒数做分数除法。在对分数除法意义的讨论中，有一些被提到的概念是与专题相关的知识包中的知识点：整数乘法的意义、作为乘法逆运算的除法概念、整数乘法的概念、分数乘法的概念、分数的概念、单位的概念等等。中国教师在分数除法的计算中显示的分数知识明显比美国教师扎实得多，并了解分数和其它数学知识之间的丰富联系，能在不同数之间熟练换算，另外还了解分数除法的模型与分数乘法的意义、与整数除法的模型是如何联系的。书中提到，中国教师具有良好的知识包，分数乘法的意义在知识包中十分重要，联系了多个相关概念，从这个角度看，学习是一个连续的过程，前面的知识支持新的知识，新知识又加强和深化原先的知识。史宁中教授曾指出：“无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。”我联想到近期研磨的《分数的意义》一课，“分数的意义”是人教版五年级下册的教学内容，是在三年级“分数的初步认识”的基础上教学的，是学生系统学习分数的开始，也是后续学习分数性质和运算的基础，承载着重要的角色。那么分数的意义的教学该如何把握内容整体结构，促进概念深刻理解，我们是这样做的：1.建立“抽象”和“具体”的联系。通过把一个物体平均分过渡到一些物体平均分，抽象出“一个整体”，这是第一次抽象。学生比较几种画法的相同之处，在头脑中建立分数表象，初步感受分数概念的意义，这是第二次抽象。抽象出单位“1”和分数的意义概念后，还需要借助具体对象来帮助理解抽象的概念，经历具体——抽象——具体的过程。2.建立“概念间”的联系。借助问题“说一说分数的意义”，启发学生思考单位“1”、分数、分数单位这三个概念之间的联系，形成横向关联，即把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数是分数单位，表示其中一份或几份的数是分数。3.建立“数”的联系。通过在数轴上面表示，把“分数”置于数的领域中，形成纵向关联，沟通“整数”、“小数”、“分数”的横向内在联系。使得“分数的意义”，同化到整个“数的意义”的知识结构中，引领学生建构“数”的知识体系，从而形成认知结构和认二、把握数学本质，促学习深度发生马博士在书中提到，对数学基础知识的深刻理解（PUFM），是指理解基础数学领域的深度、宽度和完整度，不仅仅是对小学数学有很好的概念性理解——而且还是对小学数学中存在的概念结构和基本的数学态度的掌握，还有能为概念提供的基础并把那些基本的态度传授给学生的能力。具有数学基础知识深刻理解的教室的教学具有关联度，鼓励多种方法解决给定的问题，重温和强化基本概念，有纵向的融会贯通。书中还指出，理解概念性理解更大程度上是对数学知识本质的阐释，而过程性教学是使学生充分展现和经历数学思维活动，参与到发现的过程中来，两者互为表里，相辅相成。这段描述让我想到正在读的另一本书《深度学习：走向核心素养》，书中提到了：“深度学习过程着眼于学生对所学内容的整体理解，促进学生的知识建构和方法迁移，并有助于学生高阶思维的发展。”这正与马博士在书中指出的“课堂改革的关键：无论课堂互动形式如何，都必须关注实质性的数学”不谋而合。在本书第二章“多位数的乘法：处理学生的错误”中提到：部分学生做题过程中忘记将乘积移位，美国教师使用过程性的教学方法时认为没有必要理解过程背后的数学本质和思想，并不关心概念性理解，从而忽视了教学是过程与概念互相作用的。而大部分中国教师倾向于用它们的解释和示范来说明该算法的基本原理，是建立在见识的概念基础上的。造成这种现象的主要原因是有限的学科知识限制了教师促进学生概念学习的能力。笔者认为教师要把握数学知识本质，促进学生深度学习的发生可以从学习内容、学习目标、学习过程三大视角来理解：1.以核心内容为线索确定学习主题。小学数学深度学习以数学学科的核心内容为线索，从核心内容除法，提炼出具有挑战性的学习主题，在促进学生理解与掌握知识的过程中，培养学生的思维能力和解决问题的能力。实施深度学习要在学科大知识结构下展开设计，利用多种方式促进学生所学知识与已有知识间的联系，实现积极主动的自主建构，形成合理的认知结构。如“分数的意义”的教学是小学阶段“数的认识”内容的重要主题。在进行“分数的意义”教学设计时，就要在具体情境中使学生经历由“单一”到“整体”的过程，经历概念建构。抓住“分数单位”这一核心要素，借助操作工具—数轴，深化分数的意义，逐步把分数的知识融入数的学习系统，引领学生建构“数”的知识体系，使学生在不断完善知识网络的过程中，形成分数认知结构，理解概念本质意义，同时发展高阶思维、提升数学素养。2.以核心素养为重点确定学习目标。深度学习围绕具有挑战性的学习主题展开，以促进学生发展的目标进行教学设计，以引导学生积极参与和高度投入的学习过程。教学目标的提炼，是对单元内容整体分析的结果。如在教学“20以内退位减法”单元时，计算部分有十几减9，十几减8、7、6，十几减5、4、3、2三部分。十几减9通过摆一摆、圈一圈等方式，重点理解“破十法；十几减8、7、6淡化算法多样化，突出破十法和想加算减；而十几减5、4、3、2直观理解“破十法”，优化到用“想加算减法”直接说出得数。同一单元不同主题，所需达成的目标并不相同。3.以问题情境为突破口设计教学活动。要在整体分析学习主题和确定目标的基础上，将单元学习内容进行分解或重组，着重围绕核心内容的探究主题，设计引发学生参与和思考的教学活动，组织深度学习探究活动。如一年级学生在学习“等号”时对其意义理解不全面，往往认为等号表示计算的结果，而忽视其真正含义是表示左右相等的关系。因此笔者设计了“等式的秘密”一课，借助操作工具“数字天平”，通过核心问题“怎样使天平平衡”。活动一：挂两块重量板，学生很容易得出这类1=1，2=2的结论，学会用等式来记录天平平衡；活动二：挂三块重量板，学生不难得出这类1+2=3的关系，认识了数与式也可以用等式表示；活动三：挂四块重量板，学生在操作、记录、交流、反思之后，得出2+3=1+4这类结论，了解到原来式与式相等也可以用等号表示。以三个主题问题为突破口促进学生对等号意义的理解和掌握。三、注重实践中学习，促教师专业成长马立平博士并不满足于证实中美教师在理解上的差异，她也在探究存在这些差异的原因。对数学基础知识的深刻理解，不仅仅是对小学数学有很好的概念性理解，而且还是对小学数学中内在的概念结构和基本的数学态度的掌握，还有能为概念结构提供的基础，并把那些基本的态度传授给学生的能力。那如何达到呢?访谈中一个重大成果就是：中国教师能继续学习数学，并且对他们所教内容的理解追求精益求精，他们对教学内容精心钻研并进行集体探讨；而美国教师在教学中没有机会进行集体研讨，因此可能教了多年也没有加深对所教内容的理解。我国教师提出的钻研教材、向同事学习数学、向学生学习数学、通过做数学来学数学等等。学科知识的重要性不言而喻，那作为教师的持续学习和终身学习也就十分重要了，只有教师自身具备了不断学习提升自我的能力，才能教会孩子们如何学习。教师学科知识的提高与数学教育的提高是相互交织、相互依赖的过程，两者必定同时发生。本书中描述了培养教师的数学学科知识的三个阶段：学校教育、职前教育、教学实践，在中国，这种循环是螺旋上升的。在教师教育中，教学生涯赋予学生数学能力的同时，业发展了教师的学科知识，要提高学生的数学教育的质量，一个重要的举措应该首先提高教师的数学知识的素质，因此，在实践中学习以促进教师的专业成长就显得尤为重要。1.深入专研教材。从本书前四章中个案研究中可以看到，不同教师对相同的课题有可能会有非常不同的领会。教师的知识在教材内容的选择和解释中发挥了非常重要的作用。书中指出教师要全面研究教材，也就是要理解“教什么”，单独或集体钻研它，谈论教材的编排意图、各部分内容间的联系、每个单元的组织形式、呈现方式等。此外，教师还要研究“怎么教”，也就是“如何处理教材的问题”，研究如何呈现内容、解释主题、设计合适的练习等。通过讨论主题相联系的概念、教学的重难点和学生的错误及困难等，通过这些过程提供教学内容、教学方法、学生思维和纵向的连贯性等的建议。2.发挥教研引领功能。马博士在书中提到，中国教师不仅独自研究教材，还和同事一起研究，在对数学的理解上，同事间也存在着互动。我想校本培训和学时培训就是很好的向同事学习数学的方式。通过各种方式的教研活动，发挥小团队的核心力量，搭建了开放的展示平台，营造了互学的氛围，促进教师间共研、共享、共进。很多时候，教师的成长过程不是单打独斗，而是结伴而行、报团取暖。同伴互学互助有助于打破教师间的相互隔阂，形成一种合作型教师文化，推动教师专业学习的持续发展。3.提升教学实践作用。书中还提到教师提升的其他方式：向学生学习数学、通过做数学来学数学、通过解题学习、一轮一轮教学学习。我想这些方式都是通过教师的教学实践提高自身教学水平和知识理解水平。教师的数学学科知识