2014届江苏省高考数学优等生模拟试卷

你一定要坚强，即使受过伤，流过泪，也能咬牙走下去。因为，人生，就是你一个人的人生。==============================================================================命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中==============================================================2014届江苏省优等生高考模拟卷-冲击180模拟（1）一．填空题（共14题，每题5分）1.设，，其中是虚数单位，则.2.已知集合，.若，则实数的取值范围是.3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm).所得数据如图，那么在这100株树木中，底部周长不小于110cm的有株.4.若幂函数的图象经过点，是它在点处的切线方程为. （第5题图）5.如图所示的流程图的运行结果是.（第5题图）6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为.7.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8−S3=20，则S11的值为.8.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为.9.若函数，的值域是，则实数的取值范围为．10.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是.11.如图，两射线互相垂直，在射线上取一点使的长为定值，在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形．在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，则的取值范围为_____________．12..13.已知，且，，则的值等于.14.我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心，凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当，时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值..15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）若△ABC的面积，求a的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，是的中点，为上的一点.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值.17．（本小题满分14分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离θ（第17题）DABClTxBC＝4eq\r(3)km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点Dθ（第17题）DABClTx（1）将tan表示为x的函数；（2）求点D的位置，使取得最大值．18．（本小题满分16分）已知函数在点处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．19．（本小题满分16分）给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．20．（本小题满分16分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．（1）若求准等差数列的公差，并求的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．①求证：为准等差数列，并求其通项公式；②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．数学II（附加题）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．本题包括A、B两小题，考生都做．A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）点，求圆的极坐标方程．22．（本小题满分10分）在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为”．（1）当时，记，求的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求的概率．23．（本小题满分10分）设.（1）试化简；（2）求证：.数学I参考答案2013.04.271.；2.；3.；4.；5.20；6.；7.44；8.；9.；10.；11.；12.；13.2；14..15.解：（1）∵==，∴．……………2分∵，，∴．∵，∴==．5分（2）∵，∴为锐角，∴．∵，∴，…………8分∴==．…………10分（3）∵，∴，．∴．…12分又∵S=，∴，∴．……14分16.（1）证明：设菱形的边长为1，则是的中点，，，，，，平面底面，平面底面，，平面，平面平面；（2）连接，交于，连接，则平面，平面平面，DBCEFDBCEFADBCEFA图1图217.解：（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．由题知，AB＝4.5，BC＝4eq\r(3)，∠ABF＝90o－60o＝30o，所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝eq\f(9,4)，BF＝4.5×cos30o＝eq\f(9,4)eq\r(3)，AE＝CF＝BC＋BF＝eq\f(25,4)eq\r(3)．CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(4eq\r(3),x)．当x＞eq\f(9,4)时，ED＝x－eq\f(9,4)，tan∠ADC＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(eq\f(25,4)eq\r(3),x－eq\f(9,4))＝eq\f(25eq\r(3),4x－9)（如图1）；当0＜x＜eq\f(9,4)时，ED＝eq\f(9,4)－x，tan∠ADC＝－eq\f(AE,ED)＝eq\f(25eq\r(3),4x－9)（如图2）．…4分所以tan＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝eq\f(tan∠ADC－tan∠BDC,1＋tan∠ADC·tan∠BDC)＝eq\f(eq\f(25eq\r(3),4x－9)－eq\f(4eq\r(3),x),1＋eq\f(25eq\r(3),4x－9)·eq\f(4eq\r(3),x))＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)，其中x＞0且x≠eq\f(9,4)．当x＝eq\f(9,4)时tan＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(9eq\r(3),48)，符合上式．所以tan＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)(x＞0)………8分（2）（方法一）tan＝＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9eq\r(3),4(x＋4)＋\f(400,x＋4)－41)，x＞0．……………11分4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41≥2eq\r(4(x＋4)·eq\f(400,x＋4))－41＝39，当且仅当4(x＋4)＝eq\f(400,x＋4)，即x＝6时取等号．所以当x＝6时，4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41取最小值39．所以当x＝6时，tan取最大值eq\f(3eq\r(3),13)．…………………13分由于y＝tanx在区间(0，eq\f(π,2)）上是增函数，所以当x＝6时，取最大值．答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．…14分（方法二）tan＝f(x)＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),4x2－9x＋300)．f(x)＝eq\f(9eq\r(3)[(4x2－9x＋300)－(x＋4)(8x－9)],(4x2－9x＋300)2)＝－eq\f(36eq\r(3)(x＋14)(x－6),(4x2－9x＋300)2)，x＞0．由f(x)＝0得x＝6．……………………11分当x∈（0，6）时，f(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈（6，＋∞）时，f(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．所以函数f(x)在x＝6时取得极大值，也是最大值f(6)＝eq\f(3eq\r(3),13)．…13分由于y＝tanx在区间(0，eq\f(π,2)）上是增函数，所以当x＝6时，取最大值．答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．…14分18.解：⑴．…………………2分根据题意，得即解得……3分所以．………………4分⑵令，即．得．12++因为，，所以当时，，．………………6分则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以．所以的最小值为4．……………………8分⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为，则．因为，所以切线的斜率为．………………9分则=，即．………11分因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．所以函数有三个不同的零点．则．令，则或．02++则，即，解得．…………………16分19.解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．（2）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，故,又，故，所以的取值范围是．（3）设，则．当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程可得，即，由，可得，其中，设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即．综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．20.解：（1）数列为奇数时，，为偶数时，准等差数列的公差为，（2）①（）（）（）（）-（）得（）．所以，为公差为2的准等差数列．当为偶数时，，当为奇数时，解法一：；解法二：；解法三：先求为奇数时的，再用（）求为偶数时的同样给分．②解：当为偶数时，；当为奇数时，．当为偶数时，，得．由题意，有；或．所以，．数学II（附加题）参考答案2013.04.2721.B．解：，即，所以解得所以．由，得．另解：＝1，．另解：，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是．C．解：因为点，所以令，得，即圆心是，又圆C的极坐标方程是．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）22.解：（1）的取值为1，3，又；………………1分故，．………3分所以：=1×+3×=；……………5分（2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题为5题，回答错误的题是3题，……6分又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题．……8分此时的概率为．………………10分23.解：（1）（2）=，，，又时，，，，.模拟卷（2）一．填空题（共14题，每题5分）1（2011全国高中数学联赛山西预赛）.在集合A={1，2,，3.。。。。，2011}中，末位数字为1的元素个数为2.(2011全国高中数学联赛山西预赛)椭圆3．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为．4.(希望杯邀请赛2009.)不等式5.（2010.北京）6,(2007.东北联考)已知三角形ABC的三个内角A,B,C所对三边分别为a,b,c,若三角形ABC的面积S=，则tan=7.（07.海淀模拟）已知平面向量8.．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）设a,s:数列是递增数列;t:a,则s是t的_________条件.(请在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择填写)9.．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:EQ\F(x2,a2)-EQ\F(y2,b2)=1(a>b>0)的一条渐近线方程为y=EQ\r(,3)x,则该双曲线的离心率的值是_____10．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是11（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为________.12．对于函数，在使≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为．13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视为变量，为常量来分析”.乙说：“不等式两边同除以2，再作分析”.丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是．14.（烟台竞赛）有两个向量二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（2010.广州高二数学竞赛）在三角形ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知C=2A,cosA=(1)求cosB的值（2）求b的值16.（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BD⊥面PAC,AC=10,PA=6,cos∠PCA=,M是PC的中点.(Ⅰ)证明PC⊥平面BMD;(Ⅱ)若三棱锥M-BCD的体积为14,求菱形ABCD的边长.17.(改编)请设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图-17）。设锥高为x,试问：（1）底边面积S(x)与体积V（x）的关系式（2）当x为多少时，帐篷体积最大18.．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）在平面直角坐标系中,已知三点,,,曲线C上任意—点满足:.(l)求曲线C的方程;(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为,.试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;(3)设曲线C与y轴交于D.E两点,点M(0,m)在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m的取值范围.19.（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0,设是公比为q的等比数列的前三项,(I)若k=7,(i)求数列的前n项和Tn;(ii)将数列和的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列,设其前n项和为Sn,求的值;(II)若存在m>k,使得成等比数列,求证k为奇数.20.（改编）设二次函数f(x)=满足条件：一填空题1.202．2.93．4.（-2，-1）U（1,2）5.（1，3]6，7.8.必要不充分 9.210．11，12．0.513．14.t=2s15.又17.（1）（2）18.解:(1)由题意可得,,所以,又,所以,即.(2)因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称,所以可设.因