高中数学放缩法

高考专题放缩法

缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种特别重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化

繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，经常出现放缩之后得不出结论或得出相反结

论的现象。因此，运用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必需依据欲证结论，

抓住题目的特点。驾驭放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要依据不同题目的类型，采纳恰到好处的放缩方法,

才能把题解活，从而培育和提高自己的思维和逻辑推理实力，分析问题和解决问题的实力。

数列与不等式的综合问题经常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生

综合运用数列与不等式学问解决问题的实力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题经常用到

放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.

先求和后放缩

例1.正数数列｛4｝的前"项的和S“，满意2月=。“+1,试求：

(1)数列｛%｝的通项公式；(2)设2,数列｛〃,｝的前〃项的和为纥，求证：B„<-

aa

„n+l2

解；(1)由已知得4s〃=(%+1-，”22时，4s,1=(/_]+1>,作差得：4%=端+2%--2%_],

所以(见+《1)(%—。,1-2)=0,又因为｛&“｝为正数数列，所以%—即｛%｝是公差为2的等差数

列，由2，^=4+1,得q=l,所以

(2)a=」一=-------5------=-(—1-------),所以

a„a„+l(2n-l)(2rt+l)22/i-l2n+l

注：一般先分析数列的通项公式.假如此数列的前”项和能干脆求和或者通过变形后求和，则采纳先求和再放缩

的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列，即指数列｛a,』满意

条件/=/(〃))求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.

二.先放缩再求和

1.放缩后成等差数列，再求和

例2.已知各项均为正数的数列｛”“｝的前”项和为S“,且=2S”.

22

a+a',+

(1)求证：Sn<"'

⑵求证：+-Js7+—卜—

7272

解：(1)在条件中，令〃=1,得=2s[=2囚，67,>0/.ax=1,又由条件。；+%=2S”有

*

+a„+l=25„+1,上述两式相减，留意到an+l=S„+1-S„得

所以，%=1+1X(N_1)=〃，(丁)

+5+1)2_an

所以

24

77+1

(2)因为〃VJ几(>+1)<1+1,所以岩V〈二月，所以

2.放缩后成等比数列，再求和

例3.(1)设m心2,证明：/“一(_0〃之3+1).Q〃；

2

(2)等比数列｛｝中，ax=--,前〃项的和为，且A7,4,A8成等差数列.设b“二乌一,数列｛｝前〃项

21-«„

的和为，证明：<-.

3

解：⑴当”为奇数时,于是，a2n-(-a)n=an(an+l)>(a+i)-a".

当〃为偶数时，4—121,且Na?,于是

1

(2).4—Aq=+为，4—4=一49，4+为=—%,2-

3.放缩后为差比数列，再求和

例4.已知数列｛4｝满意：q=l,=(1+F)%(〃=1,2,3…).求证:

证明：因为«n+l=(1+57)"〃'所以％+1与a“同号，又因为％=1>0,所以4>0,

Yl

即可+1一%=即"八+1>"”,所以数列｛6,｝为递增数列，所以a“Nq=l,

12〃一1

即6+1-勺——2na"N—2n,累加得：ciri‘2+22+…+2…

令S“=；+2n—\11]。1

H---F1,所以S=—+—+■■■+—,两式相减得：

222”T222232"

生」+111n-\,所以S“=2-7勺2+1，所以*23-巴n4-*1,

22'23112，i2"

2〃2〃2"一|N2〃T

故得《用>%23-k•

4.放缩后为裂项相消，再求和

例5.在加(机/2)个不同数的排列P1P2…中，若IWiVJW机时〉(即前面某数大于后面某数)，则称与构成一

个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列5+1)〃(〃-1)…321的逆序数为，如排列21

的逆序数％=1,排歹U321的逆序数%=6.

(1)求“4、05，并写出的表达式;

(2)令6“+■，证明2〃<仇+Z?2+…6“<2”+3,1,2,—.

4+i4

n(n+1)

解(1)由已知得知=1°，％=15,。〃="+5—1)H---i-2+l=———.

/八卬jan*〃H+2_/n〃+2个一

(2)因为=_^-+-2±L=----+----->2-----------=2/=1,2,・・・，

an+]an〃+2nV〃+2n

所以々+&+…+。〃>2〃.

又因为a=」一+巴*=2+±--—

714-2nnn+2

所以仇+儿+•••+&„=2n+2[(---)+(---)+---+(-———)]

1324n〃+2

综上，2n<h1+b2+・・・。〃<2"+3,〃=1,2,・一.

111

注：常用放缩的结论：(1)-一一—----------<-<---------------(^>2)

kk+1k(k+1)k2k(k-Y)k-\k

⑵.2(-j=—-)=—=,"<—r=<­j=—；-=2(■：■—>2)

\kJ%+1yjk.+y/k+ly/k\k+-yjk—\J——1\k

常见高考放缩法试题

1.设｛a,,｝,｛2｝都是各项为正数的数列，对随意的正整数"，都有凡a,川成等差数列，”,a,山为3成等比

数列.

(1)试问｛4｝是否成等差数列？为什么？

(2)假如4=1,4=0,求数列的前〃项和S”.

2.已知等差数列｛%｝中，a2=8,S6=66.

(I)求数列｛。“｝的通项公式；

21

(II)设勿=--------，7；=4+4+・・.+2，求证：H—.

311

3.已知数列｛七｝中“=2，a„=2-----(〃》2,〃eN+),数列｛"｝,满意a=----------(neN+)

(1)求证数列｛2｝是等差数列；

(2)求数列｛4｝中的最大项与最小项，并说明理由；

(3)记S,,=4+打+-“+勿，求，崛出二'也.

S〃+i

4.己知数列｛｝中，a>0,且尸J过券，

(I)试求场的值，使得数列｛｝是一个常数数列；

(II)试求团的取值范围，使得〉对任何自然数n都成立；

(III)若a=2,设=|l(〃=1,2,3,…)，并以表示数列｛｝的前〃项的和，求证：〈』.

2

5.(1)已知：XG(O+oo),求证一--<In"I<:；

x+1xx

(2)己知：neN^ji>2,求证：一+』+…+'<[n〃<1+工+…+―—。

23n2n-1

6.已知〃eN*,各项为正的等差数列｛%｝满意

%•%=21q+%=10，又数列｛Ig^｝的前n项和是

(1)求数列｛4,｝的通项公式；

(2)求证数列低｝是等比数列；

(3)设%试问数列｛%｝有没有最大项？假如有，求出这个最大项，假如没有，说明理由。

7.设数歹ij｛%｝前项和为与，且(3—m)s〃+2/m〃=m+3(neN+),,其中m为常数w3.

⑴求证:是等比数列；

若数列｛%｝的公比(m),数列｛〃｝满意仇1)(〃eN+,〃N2),求证：《一%为等差数列,求为.

2

8.已知数列｛6｝满意：a,=1,«2=1,且[3+(-1)"]a„+2-2a„+2[(-1)"-1]=0,nwN*.

(I)求生,a4,a5,牝的值与数列5,J的通项公式；

(II)设a=a2n_x-a2n,求数列｛b“｝的前〃项和5„；

9.设数列｛4｝是首项为0的递增数列，(〃eN),4(x)=sin-(x-a„),xe[a,a]满意：对于随意的

nnn+t

be[0,1),，(x)=b总有两个不同的根。

(1)试写出y=/(x),并求出的；

(2)求a”“-a”，并求出[an]的通项公式;

(3)设S”=4—生+%—%+…+(―1)"'，求S“o

10.已知数列｛%｝,其前〃项和满意S“+1=2/lS,+l(/l是大于0的常数)，且a=1,死4.

(1)求4的值；

(2)求数列｛为｝的通项公式;

(3)设数列｛〃%｝的前〃项和为，试比较g与的大小.

11.已知数列｛｝中，a1=1,%=*_]+」一(n=2,3,4,•••)

an-i

(I)求。2、4的值;

()证明当n=2,3,4,…时，y/2n-1<alt<y/3n-2

12.已知正项等比数列｛Cln)满意条件：①〃]+生+〃3+〃4+。5=121；②-1----1----1----1---=25,求｛〃〃｝

的通项公式％.

13.已知函数f(x)=log3(+b)图象过点4(2,1)和6(5,2).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)记4=3”,),〃eN*,是否存在正数4,使得(1+少0+

均成立，若存在，求出力的最大值，若不存在，请说明理由.

14.已知曲线C：y=L,C“：y=—5—(〃eN*)。从C上的点。“(x”,打)作x轴的垂线，交C”于点P”，

xx+2"

再从点E,作y轴的垂线，交C于点(x„+1,y川),

设$=l,a„=x„+1-x„,b„=y,「yn+l.

(I)求Q1,。2的坐标；

()求数列｛为｝的通项公式；

()记数列｛明也,｝的前"项和为S,,,求证：s“<-

1.由题意，得2斤=%+4,用，(1)

(2)

(1)因为%>0也>0,所以由式(2)得见+产〃也+1，从而当“N2时，a,,=b吁也,

代入式(1)得28=6,,_也,+6也打

即如“=〃-+〃+/〃22),故也｝是等差数列.

,式(2),易得出=3,&=|5/2,

(2)由q=l,4=与式(1)2

因此也｝的公差d=当，历

从而“=仇+(”-1)4=+

得%=g(〃+l)(〃+2)

(3)

[“=勺

又4=1也适合式(3),得

所以♦=2=2己-

H+1J

an+\n

(、-

从而5“=2(1-扑1-，[+...+」=2-

3)nnIn+lyn+1

<d.

4+d=8

>6Z|—6,d=2

2.解：(I)|6a,+—(/=66-

1*2

an=2力+44

T111、1

而--是递增数列，:.T>L=----=—>—.

[2〃+2jn,2366

3.(1)Z7===%

4T2%一]

an-\~1

而b.=——-——，

｛a｝是首项为4=」一=一9,公差为i的等差数歹u.

ax-12

(2)依题意有凡一1二(,而4=—g+(〃—l)・l=〃—3.5,

对于函数了=------,在x>3.5时，y>0,y'vO,在(3.5,+8)上为减函数.

x-3.5

故当〃=4时，氏=1+―1—取最大值3

77-3.5

而函数>=―'—在xV3.5时，y<0,y'=-------1~-<0,在(一8,3.5)上也为减函数.

x-3.5(x-3.5)-

故当〃=3时、取最小值，a3=-1.

/八/52几一5、

<3)5„，b=n-3.5,

+1―T~n

+册

4.(I)欲使数列｛｝是一个常数数列，则।3

(〃22)

留意到+后卫＞0

因此，可以得出：1一，一T,-1--2,…，色一向有相同的符号7'

要使D对随意自然数都成立,只须也一句＞0即可.

由栏口一佝＞0,解得：O〈a〈T

(III)用与(H)中相同的方法，可得

当a)之时，〈对任何自然数〃都成立.

2

因此当句二2时，L＜0

氏+…

2-国|+3-刈|+…+|—

1一念+色—国+…H—।

i--1-2-1

又:尸价£”可解得哆

31

故<2一士二一

22

5.(1)令1H——t>由x>0,，t>l,x=-----

xt-\

原不等式等价于1一！<inf<r—l

令f(t)L

=1当fe(l,+00)时，有尸(。>0,.•.函数f(t)在fe(l,+oo)递增

t

.\f(t)>f(l)即1<

另令g(r)=lnr—l+；,则有“«)=*>o

g(t)在(l,+00)上递增,，g(t)>g(l)=O

/占1/口1.x+11

综上得----<In----<一

元+1xx

（2）由（1）令1,2,……（1）并相加得

即得—I--F…H—<In<1H---1—•+

6.(1)〃2+4=〃3+。5=1°，又。2'〃6=21

=3%=7

=74=3

氏二7

-r，则。〃=9一〃，4（）=-1与可＞。冲突;

以二3

(2)lgbx=Sj=21g3,/.bj=9,

当〃22时，lg〃=S“—Sz=lg9x[K),欧.-.2=9x

〃=1时，bn=9=b｝f:,bn=9x1^—^,neN*

9

数列是以9为首项，二为公比的等比数列。

10

(3)1=9(〃+1“卡),设/(ZN2)是数列匕｝中的最大项，则

由，可得84后<9

lQ2T

二数列｛q,｝有最大项，最大项是％=G=8以(得)o

7.(1)由(3-m)sn+2man=m+3得(3-rn)sn+x+2man+x=加+3,

｛%｝是等比数列。

2m

(2)4=4=l,q=f(m)=-----neNn>2

771+3

（I）经计算々3=3,%=；,4=5,。6=".

8.

当正为奇数时，〃»2=%+2，即数列｛勺｝的奇数项成等差数列,

当n为偶数，an+2=；/,即数列｛%｝的偶数项成等比数列,

n(〃为奇数)

因此，数列｛%｝的通项公式为%=,1

《)2(〃为偶数)

S„=1•1+3.(1)2+5.(1)3+..•+(2n-3).+(2n-1).(1)z,……(1)

gs〃=1.(；-+3・(夕+5.(g)4+・・・+(2〃-3).(g)〃+(2〃一l).(g严…⑵

⑴、(2)两式相减，

得gs〃=l,；+2[g)2+(g)3H----F(^)H|—(2n-1)-(~)'+，

9.(1)9%=0,当几=1时,f｛(x)=\sin(x-flj)|=|sinx|,xe[O,a2],

又•・•对随意的匕£[0』)，力(x)=b总有两个不同的根，J%=〃

1]x

由(1),f2(x)=|sin—(x-a2)1=1sin—(x-^)|=|cos^]4,/]

・・・对随意的Z?e[0,l),j\(x)=b总有两个不同的根，・・・生=34

f3(x)=|sin-(x-6z3)|=|sing(x-34)|=|sing4|,xc[3乃MJ

・・,对随意的。£[0,1),工(幻=人总有两个不同的根，・・・%=64

mn(n-\)7i

由此可得an+l-an=n7r,an=-------

(1)当〃=2k,keZ,S?&=卬一生+。3一。4+....+aik-\-a2k

wc,1,"。°…(24+1)2&(n-l)(n+1)

当〃=2%+1,Z£Z,Szk+\=S2k+a2k+l=-k~7v-\----------冗=------------n

10.(I)解：由=2入〃+1得

()由s„+1=2Sn+1整理得Sz+1=2(S“+1),

•••数列｛Sa+1｝是以Si+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

•.•当1时a,=l满意凡=2'-',：.an=2"-'.

①一②得一7；=1+2+22+…+2"<+2"T一〃-2",

则7；=〃・2"—2"+1.

.•.当1时，^-5,=—工<0,当〃=2时，4―S,=--<0.

2222

即当1或2时，g-S“<O,g<S”.

当〃>2时，"一S">0,">S0.

22

11.(I)=1+1=2,

%

131”分

（）当k=2,3,4,5,…时，

12.设等比数列的公比为s由已知条件,

Q

3〃32

-2

qH—F%+〃3夕+%q121①

J

得rq

-2

£

q111

4

H---T-H.....-d--------1--------=25.②

3

a'aa3qQ3g-

①+②得：a,,所以a3=—.①X②，得/+4+1+工+」=55,

255qq~

即(4+,)2+(4+3—56=0.夕+l=7或q+'=—8.(舍去)

qqqq

,17±3A/5

由qH—=7得：g~2—7q+l=0q=-------

Q2

[…+尸解得/a=2,

13.（1）由己知，得＜

10g3(5a+b)=2/?=—!•

,og3(2/:-,)

(2)atl=3=2/?-l.nGN*

设存在正数k,使得(1+‘)(1+-!-)……(1+—)>k[2n+l对一切neN*均成立,

«1«2«„

则k<_1—(1+—)(1+—)♦(1+—).记F(n)=>1一

(1H—)(1+—)••••

V2n+16a2an<2/1+1

­(1+—),则尸(〃+1)=l=(1+—)(1+—).•…(1+—)(1+—).

V2Tl+3Q]a2an"同

F（n+l）＞F（n）,/.尸（刀）是随〃的增大而增大,

2/3

〃EN*,・♦・当〃=1时，F(/z)min=F(l)=^

k＜-,即4的最大值为马叵.

33

232

14.（1）由题意得知0a」），＜（1，§），e2（p-）

（2）・・・Q〃（z，y〃），。〃+］（%—，4+］），点匕的坐标为（x〃，％+i）

•••Q3在曲线c上…“U，Y

又P“在曲线C“上，y,m=-1—

Xa+2

x分

()X"=(x„-%„_1)+(x„_,-x„_2)++(x2-X])+]7

例题讲解部分

2

1.【2008年湖南理】已知函数/(x)=ln2(l+x)-上一.

1+x

(I)求函数/(X)的单调区间；

(II)若不等式(l+L)"+a〈e对随意的〃eN*都成立(其中e是自然对数的底数).

n

求〃的最大值.

解：(I)函数/(X)的定义域是(—1,+8),

设g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,则g'(x)=2In(l+x)—2x.

2-2x

令〃(元)=21n(l+x)-2x,则h'(x)=------2=----.

i+x1+x

当一1vxv0时，hr(x)>0,h(x)在(一1,0)上为增函数，

当x>0时，hf(x)<0,〃(x)在(0,+8)上为减函数.

所以〃。)在工=0处取得极大值，而/i(x)=0,所以g'(x)v0(xw。)，

函数g(x)在(-1,+8)上为减函数.

于是当一1cx<0时，g(x)>g(0)=0,

当%>0时，g(元)vg(0)=0.

所以，当一IvxvO时,r(无)>0,/(此在(一1,0)上为增函数.

当无>0时，ff(x)<0,/(%)在(0,+8)上为减函数.

故函数/(%)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+8).

(II)不等式(1+工)""4e等价于不等式(〃+a)]n(l+1)41.由1+,>1知，

nnn

设G(x)=,/、-L,xw(0,l],则

ln(l+x)x

2

由(I)知，lia+x)--匚40,即(l+x)ln2(l+x)-fwo.

1+x

所以6'。)<0,8«0,|],于是6*)在(0,1]上为减函数.

故函数G(x)在(0,1]上的最小值为66=+一1.

所以a的最大值为「--1.

In2

1—x

2.山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题已知a>0,函数/(x)=—+lnx.

ax

(I)试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；

(II)若/(X)在区间[1,+00)上是单调递增函数，试求实数4的取值范围；

（Ill）当a=l时，设数列的前”项和为S“，求证：5“一1<八〃）—匕4<5,1（〃€/7*且〃22）

\nJn

（i）y（x）的定义域为（o,”o）,尸（%）=竺二，由r（x）=o得x=L......2分

解：ax~a

当％£（4,L）时，f\x）<0,/（X）递减：

a

当xe（±+8）时，f\x）>0,/（x）递增.

a

所以y=/（%）不是定义域上的单调函数......................4分

（II）若/（幻在［L+O0）是单调递增函数，贝1」/'（幻之0恒成立，即。恒成立.

X

.......................6分

即aN｛」｝max,XG［1,+OO）<1,\a>l............8分

(III)当。=1时，由(II)知，/(x)=—^+lnx在工+o。)上为增函数，

x

1-r1

又当x>l时，/(x)>/(I),-----Flnx>0,即lnx>l——.

xx

令g(x)=%—1-Inx,则g'(x)=l——,当％£(l,+oo)时，gr(x)>0.

x

从而函数g（x）在［1,+00）上是递增函数，所以有g（x）>g（l）=0,即得x-l>Inx

综上有：1-—<lnx<x-l,(.v>1)........................10分

x

x+1xx

令1=1,2,…，〃-1,(〃wN*且〃22)时，不等式」一<In上也<也成立,

X+1XX

于是代入，将所得各不等式相加，得

111,111

即nn1--F...H<InH.V1H---F...H-----.

23n2n—\

1—iq

即S„-l<f(n)-----<S,I(〃eN*且〃>2)....................14分

n

3.2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）已知函数/（乃=/-。111》在（1,2］是增函数，8*）=》-。正在

（0,1）为减函数.

（1）求/（尤）、g（x）的表达式；（2）求证:当1>0时，方程/（x）=g（x）+2有唯一解;

（3）当6>-1时，若/（无）22加-匕•在xG（0,“内恒成立，求b的取值范围.

解：(1)f\x)=2x--,依题意/'(%)>0,%£(1,2],即a<2x2,xe(l,2].

x

;上式恒成立,Aa<2①...................1分

又g'(x)=1%=，依题意g'(x)<0,XG(0,1),即a>2A/X,xG(0,1).

上式恒成立,/.67>2.②...................2分

由①②得。=2.3分

/(x)=x2-2Inx,g(x)=x-2yfx........................................4分

(2)由(1)可知，方程/Cx)=g(x)+2,即r—21nx—x+2五一2=0.

设〃(x)=x2-21n元一人+2«—2,则〃'(x)=2x-------14--^-,

xVx

令〃'(x)>0,并由x>0,得-l)(2xVx+2x+Vx+2)>0,解知x>1.............5分

令〃(幻v0,由%>0,解得Ovxvl..............................................6分

列表分析:

X(0,1)1(loo)

〃'(x)-0+

力(X)递减0递增

可知/i(x)在x=1处有一个最小值0,.......................................7分

当x>()Hx*1时,〃(x)>0,

・・・/i(x)=0在(08)上只有一个解.

即当x>0时，方程/(%)=g(x)+2有唯一解.........................8分

।?2

(3)设夕(%)=f_21nx-2Z?x+—则0(幻=2%-------2b——-<0,...............9分

X"XX'

••.以工)在(0,1］为减函数.・・°(x)min=。⑴=1-2〃+120又b>7...........11分

所以：一1<人41为所求范围....................12分

1—x

4.山东省试验中学2009届高三第三次诊断考试(数学理)已知函数/(x)=±」+lnx(注：ln2=0.693)

ax

(1)若函数/(x)在[1,+8)上为增函数，求正实数a的取值范围；

(2)当a=l时，若直线y="与函数y=/(x)的图象在[；,2]上有两个不同交点,

求实数〃的取值范围:

(3)求证：对大于1的随意正整数几111〃〉工+1+1+”・+，

234n

1—Xax—1

解：(1)因为f(x)=--+in所以/(%)=丝h(4>0)

axax~

—I

依题意可得，对Vx€[1,+00)./'(x)=丝一>0恒成立，

ax~

所以对Vxe[l,+oo)4xTN0恒成立，

所以对立6[1,+8),。之,恒成立，a>(-)max,即aNl

XX

(2)当a=l时，/'(x)=J^■，若,/'(x)WO,/(x)单调递减；

x2

若xe[1,2]./'(x)>0,f(x)单调递增；

故f(x)在x=1处取得微小值，即最小值/(1)=0

又/(g)=l—ln2,/(2)=ln2—；,

所以要使直线y=b与函数y=/(x)的图象在[；,2]上有两个不同交点，

实数b的取值范围应为(/⑴"(2)],即0』n2—J；

(3)当a=l时，由⑴可知，/(》)=上三+也光在[1,+8)上为增函数，

X

n

当〃>1时，令％=——,则x>l,故/(x)>/(l)=0,

n-\

z»〃、n—1.〃1।〃rrrii〃1

即nnf(z----)=------------FIn-----=-----FIn--------->M0Hr以In------>—.

n-\〃n-\nn-\n-\n

n—\

」」,后」』—Q1

故1>—

122334n-\n

_,-r/日,2,3.4,,n1111

相力LI口丁得In—FIn—FIn—|■•♦•+In----->—i----1----F...H—

123n-1234n

234n234n

又因为In—+ln—+ln—+・・++ln-----=ln(---------••・------)=Inn

123〃-1123n-\

所以对大于1的随意正整书〃,ln〃>L+l+L+…+工

234n

5.山东省烟台市2009届高考适应性练习(二)理综试题数列｛2｝的各项均为正数，S“为其前〃项和,

对于随意“eN*,总有成等差数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；(2)设数列他)的前〃项和为7；,且勿=里=，求证：对随意实数xe(l,e](e

%

是常数，e=2.71828...)和随意正整数〃，总有7；<2；

n+l

(3)在正数数列｛c“｝中，«„+1=(c„),(«eN,).求数列｛%｝中的最大项.

解：由已知：对于“wN*,总有2sli=4+七成立…(1)

2S“_|=a,-+a；」(〃22)...(2)..................................................1分

(1)—(2)得.•.2勺=q+片-%一。3

？，〃〃-1均为正数，-<*an-an-\=1(〃22)

・•.数列｛2｝是公差为1的等差数列.............................3分

又〃=1时，2S1=%+〃；，解得q=l

an=n(n£N*)..................................................................................5分

(2)证明：对随意实数xe(l,e]和随意正整数"，总有……6分