2021-2022学年湖北省荆州市石首市高二上学期期中数学试题

20212022学年湖北省荆州市石首市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，如果，那么等于（

）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】利用空间向量共线的条件求解即可【详解】，，，故选：B2．过点且平行于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A3．两平行直线和间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把直线化简得，然后利用两平行线间的距离公式求解即可【详解】由，得．故两平行直线间的距离，故选：A4．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.【详解】由题意得：，，且，又，，，，.故选：D.5．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，设异面直线与所成角为，则，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.6．已知直线：是圆作圆的一条切线，切点为，则A．2 B． C．6 D．【答案】C【详解】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.【解析】切线长7．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据两圆有三条公切线得到两圆的位置关系，从而得到满足的等式，再根据的几何意义求解出的最小值.【详解】因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆外切，因为，，，，所以，所以，所以的轨迹是圆心在原点、半径为的圆，又因为表示与的距离，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：(1)两圆外离时有四条公切线，外切时有三条公切线，相交时有两条公切线；(2)圆外一定点到圆上动点距离的最大值为定点到圆心的距离加上半径，最小值为定点到圆心的距离减去半径.8．在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，设平面的法向量y，，则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB所成角为，1，，，，，．直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选B．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．二、多选题9．（多选）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（

）.A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.【详解】选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则和三角形法则，属于基础题.10．对于直线：，下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线的倾斜角为D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为【答案】AD【分析】：，令：，分别令，，求得x，y轴上的截距求解判断.【详解】对于直线：，令，得，所以直线恒过定点，故A正确；当时，直线斜率不存在，故B错误；当时，，因为，则，所以直线的倾斜角为，故错误；D.当时，直线：，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故正确.故选：AD11．已知，，圆，则以下选项正确的有A．圆C上到B的距离为2的点有两个B．圆C上任意一点P都满足C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为【答案】BCD【解析】由以点为圆心，半径为的圆与圆相切判断A；设，分别求出，即可判断B；由圆的对称性可知当时，最小，从而判断C；对于D项，先确定点的轨迹为圆心为原点，半径为的圆，从而得出的最小值.【详解】对于A，以点为圆心，半径为的圆与圆相切，即圆C上到B的距离为2的点只有一个，则A错误；对于B，设，满足，，，则B正确；对于C，过点的直线被圆C所截得的弦为，要最小，即时，最小，，则C正确；对于D，设过点的两条直线与圆的切点分别为，则，且，，则四边形为正方形，即，设点，则有，即点的轨迹为圆心为原点，半径为的圆，由此当点在轴的正半轴时，最小，为，则D正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：对于A项，关键是将问题转化为两圆的位置关系进行求解；对于D项，关键是确定点的轨迹为圆心为原点，半径为的圆，从而得出的最小值.12．如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．则下列结论中正确的是（

）A． B．四面体的外接球表面积为C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】BCD【分析】根据题意知EB，ED，EA‘两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得异面直线，线面夹角问题.【详解】由题知，为正三角形，，将沿折起，使到，且平面平面，则，，两两垂直，以E点坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，对于A，，，，，，，则，故与不垂直，故A错误；对于B，取CE的中点F，联结DF，又，则，过F作平面CDE，四面体的外接球球心O在FO上，作，设，，在，中，有，解得，，故四面体的外接球表面积为，故B正确；对于C，，，设与所成角为，则，故C正确；对于D，，，，设平面的法向量则，取，则，则，故直线与平面所成角的正弦值为，D正确；故选：BCD三、填空题13．已知向量，，，则______【答案】9【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算可得.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：914．已知直线，直线，若，则实数______．【答案】【分析】由由有，即可求，然后验证、是否重合.【详解】∵，有，∴，解得或，当时，，，即、为同一条直线；当时，，，即；∴，故答案为：15．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，高为1，则点D到平面ACD1的距离是_____．【答案】【分析】利用等体积法，根据可得.【详解】因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，，，所以，记AC中点为O，则，所以，记三棱锥的高为h，因为，所以，解得.故答案为：.16．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.【答案】【分析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.【详解】直线的斜率为，线段的中点为，所以，线段的垂直平分线的斜率为，则线段的垂直平分线方程为，即，联立，解得，即的外心为，所以，的外接圆的半径为，因此，的外接圆方程为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．四、解答题17．已知三个顶点的坐标分别为.（1）求边中线所在直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出边的中点为M，即可求出，用点斜式方程即可求解；（2）先求出线段BC和A到直线的距离，即可求出的面积.【详解】（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴.∴直线的方程为，即，∴边中线所在直线的方程为.（2）∵，∴.由得直线的方程为，∴A到直线的距离，∴.18．已知圆：与圆：.(1)若圆与圆外切，求实数m的值;(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.【答案】(1)m=5(2)或【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.【详解】(1)圆：，则，半径r1=1，由圆：，得，则，半径.∵圆与圆外切，∴，∴，解得m=5.(2)由(1)得m=5，圆的方程为，则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离，当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意;当直线l斜率为k时，则直线方程为，化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离，解得k=0，得直线方程为y=1.综上，直线l的方程为或.19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形.(1)求证：平面；(2)若M为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用已知求出棱长，然后利用勾股定理证明，，然后可证；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，用向量法直接计算可得.【详解】(1)，则，取中点为H，连接，，∵为等边三角形，∴，，又，，平面，平面，∴面，∴，H为中点，AH为PB的垂直平分线，∴，∴，∴，同理由，得，又，平面，平面，∴平面.(2)底面是是正方形，由（1）可知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，M(0，0，)设平面的法向量为，∵，，则有：，取得，又有设直线与平面所成角为，∴.20．（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）设直线l的方程为，若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求面积取最小值时，直线l的方程．【答案】（1）x＋y－1＝0或3x＋4y＝0；（2）x＋y－2＝0【分析】（1）分直线过原点和不过原点，当直线不过原点时设截距式方程，代入点可得；（2）求出M，N两点坐标，利用坐标表示出面积，分离常数后使用基本不等式可得.【详解】（1）当直线不过原点时，设l的方程为＋＝1，∵点在直线上，∴＋＝1，解得，所以直线方程为x＋y－1＝0；当直线过原点时，直线斜率，∴直线的方程为，即3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）∵，∴M，，∴＝＝≥2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.21．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，．(1)证明：(2)当为何值时，面与面所成的二面角的余弦值最大？【答案】(1)证明见解析(2)时，面与面所成的二面角的余弦值最大【分析】（1）利用线面垂直性质可知，结合可证得平面，由和线面垂直性质可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】(1)三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，，又，平面，，平面，又平面，；四边形为正方形，，.(2)以为坐标原点，为轴可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，则，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，，则当时，，即当时，面与面所成的二面角的余弦值最大.22．已知圆的圆心在射线上，截直线所得的弦长为6，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）已知点，在直线上是否存在点（异于点），使得对圆上的任一点，都有为定值？若存在，请求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在,为,【分析】（1）由题,设圆心为,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出,进