第十六届中环杯小学数学四年级决赛详解

第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动四年级决赛一、填空题【第1题】计算：9_______【分析与解】计算：提取公因数0.21.990.2631.963219690.2631.926319693.890.23.86319694631969463747946374794741746384632016【第2题】一个质数a比一个完全平方数b小10a的最小值为_____（说明：完全平方数是指能表示为一个整数的平方数的和，比如422,932，所以、都是完全平方数）49【分析与解】数论，质数，完全平方数b2若a2，则不是完全平方数故a是奇数，则ba也是奇数，为奇数的平方根b比大的奇完全平方数从小到达依次为5225,7249,92535是合数93是合数1是质数248故a最小是71【第3题】如图，B三点共线，CBAB,AE//DC,ABCE5，则的面积为______【分析与解】几何，等积变形联结因为//所以SAEDSAEC因为所以SAECCE258220所以SAED20【第4题】三支蜡烛分别能燃烧3050烧状态的时间有1020烛同时处于燃烧状态的时间有____【分析与解】分钟正好有两支蜡烛同时处于燃烧状态的时间有304050103201352【第5题】将一个88512个111512_____个小立方体上既有红色面又有蓝色面【分析与解】由题意，任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色故不妨设上、下、前染红色，左、右、后染蓝色即在正方体染蓝色则红面与蓝面公共的棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面即这8条棱上的小立方体上既有红色面又有蓝色面注意到每个顶点的小立方体都被计算了2次，即多计算了1次故有888个小立方体上既有红色面又有蓝色面【第6题】1k（其中k在1110_____【分析与解】数论，分解质因数，同余将分解质因数：设abc7de1121，521，221，a5218132，33b314151，c2174，d1111e1故842111111因为k1既不是的倍数又不是的倍数故所求的数既不含质因数2又不含质因数3相当于求21k（其中231k而21156于是我们考虑5771138516故在的所有因数中，可以表示为k1（其中k为自然数）的最大因数为385【第7题】67最低为0分，最高为76道题目得分的乘积，如果两个人的得6676的参赛者的得分为________分【说明】⑴此题为错题若两个人6道题每题得分完全相同则6道题目得分的乘积相同，6道题目得分的和也相同则这两个人的排名相同，即这两个人并列由题意，这6位参赛者中没有出现并列则这6位参赛者每题得分均不完全相同而每题的得分为0~7的整数，由乘法原理一共有6种得分情况若甲第1~6题得分为1，乙第1~6题得分为0甲、乙两人6道题目得分的乘积为0,6道题目得分的和为1则甲、乙两人排名相同，即这两个人并列这与“这些参赛者中没有出现并列”矛盾故此题为错题⑵若将原题中“这些参赛者中没有出现并列”改为“这些参赛者中，任意两人这6题的各76的参赛者的得分为1分理由如下：若6题中，至少有一题得分为06道题目得分的乘积为0若6题中，没有一题得分为，则6道题目得分的乘积不为0这种情况下，每题的得分为1~7的整数，由乘法原理一共有76种得分情况故排名为76的参赛者的得分为乘积最小的正整数而第1~6题得分为1的参赛者，得分为1故排名为76的参赛者的得分为1分【第8题】99个点中选出44个点的任意个点既不在一条直线上，也不在一个圆圈上，不同的选法有______种3【分析与解】计数，乘法原理和加法原理因为这4个点中的任意3个点不在一条直线上所以这4个点都不是中心O点故这个4个点均在这两个圆上又因为这4个点中的任意3个点不在一个圆圈上所以在这4个点中，有2个点在小圆上，另外2个点在大圆上⑴如果小圆上的2个点在一条直线上，有2种可能：C或D此时，每种情况下对应大圆上的2个点有1种可能例如：当小圆上的2C时，大圆上的2个点只能为D⑵如果小圆上的2个点不在一条直线上，有4种可能：B或C或D或A此时，每种情况下对应大圆上的2个点有224种可能2B2个点可能为F或H或F或H综上所述，不同的选法有2144种二、填空题第9题】【D如下：A：A这个数小于12175A不能整除这个数2A3乘以这个数的结果小于12乘以这个数的结果大于1000B:B1102能整除这个数B这个数大于34C:1能整除这个数2111000乘以这个数的结果小于39能整除这个数D:D这个数小于12这个数是一个质数37能整除这个数这个数是________分析与解】【设这个数为n我们把条件整理一下：A:AnA不能整除n；A5n70，即n1231B:B12n1000，即n83；B10;Bn10013239010;C9nC:C4;Cn1000,n12113D:DnDn是一个质数；D7n123首先，我们注意到A与D完全相反23⑴若D是真话，A是假话；即7n32A与A中至少有一个是真话13但不可能为A是真话，A是假话13则A是真话；则n3故D是真话1故D是假话2n且7n的正整数只有n772n话矛盾⑵故若D是假话，A是真话；即7不能整除n32A与A中至少有一个是假话13但不可能为A是真话，A是假话13则A是假话；则n1再对A是假话，则n1再对D进行讨论1①若D是真话，即n1故B与B都是假话13则B是真话；则n2但不存在既满足n，又满足n的正整数n②故D是假话，即n1则D是真话，即n是一个质数2故B、C、C均是假话213则C是真话，即n2故B是假话3则B是真话，即n1注意到，符合n且为质数的只有nn，即这个数是89【第如图，是一个等边三角形，在联结，作平行于点G，作EH平行交边于点H，作GFHAFJ。若BDF的面积为45，DEF的面积为30，则_____边上取点E，使得，作等边DEF，_【分析与解】几何，等积变形，燕尾模型延长AF交BC于点K，分别联结AD、AE由共边模型，得BD:DES:S45:303:2BDFDEFBC3DE又因为BD:DE:BC3:2:6所以BD:DE:CE3:2:1所以ABC因为所以DF//ABDK:BKDF:AB1:3所以所以DK:BD=1:2FED=ACB60因为所以EF//ACEK:CKEF:AC1:3所以EK:CK1:2所以BD:DE:CE3:2:1因为3212所以BD:DK:EK:CE3:::16:3:1:2根据燕尾模型，S:SDK:EK3:1ADFAEFSAFGI2,SAFHJ2而注意到，ADFAEFGI:HJS:S3:1故ADFAEFGJHJ3即【第一个55的方格由个11的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a5555方格的四条边长（如图b所示）上最少有________条黑边【分析与解】角上的小方格，每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边14455方格的四条长边上，黑边不少于条这样3条黑边，5525个小方格一共有32575每个小方格有55的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的而在故内部的黑边的条数为偶数则四条长边上的黑边的条数为奇数55方格的四条长边上，黑边不少于5条所以55方格的四条长边上有5条黑边的例子如图所示为55方格的四条长边上至少有5条黑边综上所述，【第如图，在88的正方形网格中，B两点处各有一只臭虫（A点处的臭虫我们称其为a臭虫，B点处的臭虫我们称其为b1格（向上、向下、向左、向右这四个b臭虫走两个，a臭虫走三格，最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点距离的走法有______种【分析与解】计数，乘法原理，加法原理，排列，组合⑴b臭虫走2格，最后b臭虫距离A点3格，最后b臭虫距离A点1格或，最后b臭虫距离A点5格（21长方形的对角线）或以及其排列，最后b臭虫距离A点1格或以及其排列，最后b臭冲距离A点1格以及其排列，最后b臭虫距离A点1格最后b臭虫距离A点1格，有14P29种走法2最后b臭虫距离A点5格（212226种走法最后b臭虫距离A点3格，有1种走法⑵a臭虫走3格或或或或或或，最后a臭虫距离A点3格以及其排列的，最后a臭虫距离A点1格或或或或或或或以及其排列最后a臭虫距离A点5格（21长方形的对角线）或以及其排列，最后a臭虫距离A1或或点格最后a臭出距离A点1格，有4C1C24P336种走法323最后a臭出距离A点5格（21长方形的对角线），有8C1C224种走法23最后a抽出距离A点3格，有4种走法⑶⑷最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点距离当最后b臭出距离A点1格则最后a臭出距离A点1格或5格（21长方形的对角线）或3格36244964576种有9②当最后b臭出距离A点5格（21长方形的对角线）则最后a臭出距离A点5格（21长方形的对角线）或3格244有6168种③当最后b臭出距离A点的3格则最后a臭虫距离A点3格有144种综上所述，最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点的距离的走法有4种三、动手动脑题【第甲、乙两车分别从B两地同时出发（甲从A为千米时和千米时，B两地相距B地后立刻调头开回A千米A地后立刻调头开回B40千米/甲车到达A地后立刻调头开回B千米B地后立刻调头开回A/B两地间不断地开来开去，速度也在40千米/时与千米时之间不断地切换。当两车第2016次相遇时，甲车一共行驶了多少千米？【分析与解】行程问题，多次相遇甲以千米/时的速度从A到B，再以千米/时的速度从B到A乙以千米/时的速度从B到A，再以千米/时的速度从A到B故甲、乙各走了一个来回用时相等在甲、乙各走了一个来回的过程中，甲、乙相遇了2次22，若甲、乙各走了1008个来回的过程中，甲、乙相遇了2016次从第2016次相遇到最后甲、乙同时回到B两地这个过程中甲的速度为千米时，乙的速度为千米时则甲、乙的速度比为50:5:4甲、乙的路程比也为5:454其中甲行驶了9005005故当两车第2016次相遇时，甲车行驶的路程相等于1008个来回再去掉这500千米，即为900100825001813900【第D老师脑子里想了两个正整数、yyx1，然后他将xy的值告诉了A，将xy的值告诉了B，接下来，B有如下的对话（B都知道yx1）B说：我不知道xy的值A说：给你一个提示，xy的值不超过20，一旦你能通过这个提示确定下xy的值，那么我也就知道xy的值了B说：我知道xy的值了求：x和y的值了【分析与解】逻辑推理B不知道xy的值”可得⑴由“将xy的乘积折成两个正整数的乘积方法不唯一即xy既不是1也不是质数，xy为合数⑵再由“xy这个提示下，B知道了xy的值”可得将合数xy的乘积折成两个和不大于的正整数的乘积方法唯一确定137,2222552622739,33334217,3557，934444977,50510,51317,52413,5469,55