2023-2024年湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考联考数学试题（含解析）

第第页2023-2024年湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考联考数学试题（含解析）2023-2024年湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则()

A.B.C.D.

2.命题“对于任意正数，都有”的否定是()

A.对于任意正数，都有B.对于任意正数，都有

C.存在正数，使得D.存在非正数，使得

3.高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过的最大整数，如，已知，，则“”是“”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为()

A.B.C.D.

5.函数的图象大致为()

A.B.

C.D.

6.已知是第四象限角，且，则()

A.B.C.D.

7.已知定义在上的函数满足，且，则()

A.B.C.D.

8.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是()

A.B.

C.D.，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知函数的定义域和值域均为，则()

A.函数的定义域为B.函数的定义域为

C.函数的值域为D.函数的值域为

10.已知，角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若，则下列点在角的终边上的是()

A.B.C.D.

11.已知，，，，则下列判断正确的是()

A.B.C.D.

12.关于的不等式在上恒成立，则()

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为．

14.已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的，，都有，若，则的解集为．

15.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，从点测得点的仰角，从点测得点的仰角为已知山高百米，，，则山高百米．

16.已知，，，则．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知在数列中，，，且为等差数列．

求的通项公式

记为数列的前项和，证明：．

18.本小题分

在中，内角，，对应的边分别是，，，且A.

求

若的面积是，，求的周长．

19.本小题分

某批发市场供应的排球中，来自甲厂的占，来自乙厂的占，来自丙厂的占，甲厂生产的排球的合格率为，乙厂生产的排球的合格率为，丙厂生产的排球的合格率为．

若小张到该市场购买个排球，求购得的排球为合格品的概率．

若小李到该市场批发个排球回去销售，购买的个球来自甲厂，个球来自丙厂，已知来自甲厂的每个排球售出后可获得纯利润元，没有售出则每个球将损失元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润元，没有售出则每个球将损失元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率求小李到该市场批发个排球进行销售获得的纯利润的数学期望．

20.本小题分

如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，为的中点．

证明：．

若二面角的平面角为，是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值．

21.本小题分

在直角坐标系中，动点到直线的距离是它到点的距离的倍，设动点的轨迹为曲线．

求曲线的方程

直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．

22.本小题分

已知函数．

求的单调区间

证明：当时，．

答案和解析

1.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，属于基础题．

根据题意求出集合，从而由交集的定义即可得结果．

【解答】解：，，

．

故选D．

2.【答案】

【解析】【分析】

本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．

利用全称量词命题的否定为存在量词命题可得出结论．

【解答】

解：因为命题“对于任意正数，都有”是全称量词命题，

所以其否定为“存在正数，使得”．

3.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了充分、必要、充要条件的判断，是基础题．

根据新定义和充要条件的判断可得结论．

【解答】

解：若，则，

但当时，，不定相等，例如，，

所以“”是“”的充分不必要条件．

4.【答案】

【解析】【分析】

此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题．

根据扇形公式，代入数据运算即可得出答案．

【解答】

解：由题意得，，，

，

故选：．

5.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了函数图象的识别，属基础题．

利用偶函数可排除，，再根据，排除．

【解答】

解：由题可知，函数的定义域为，且，

故函数为偶函数，排除，．

又，排除．

故选D．

6.【答案】

【解析】【分析】

本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题

先解方程求出，然后再根据诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解。

【解答】

解：由，解得或因为是第四象限角，所以

，故．

7.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了求函数值和周期函数，是基础题．

先得出的周期为，计算即可．

【解答】

解：由，可得，

所以的周期为，

则．

8.【答案】

【解析】【分析】

本题考查余弦型函数的图象和性质，属于中档题．

由题意可得或解不等式组即可．

【解答】

解：由题可知，解得，．

因为函数在区间上恰有两个零点，所以或

解得或，即

9.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了函数的定义域和函数的值域，是基础题．

根据函数的定义域和函数的值域逐一判定即可．

【解答】

解：函数中的需满足，解得，

故函数的定义域为，

函数中的需满足解得，

故函数的定义域为．

函数和的值域都为．

故选ABC．

10.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了两角和与差的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，是基础题．

先得出，由，展开计算，结合任意角的三角函数的定义可得结论．

【解答】

因为，所以，

则，即，

所以，

由任意角的三角函数的定义得选项BD符合题意，

故选BD．

11.【答案】

【解析】【分析】

本题考查对数函数的性质，根据对数函数的性质和对数运算进行求解即可。

【解答】

解：，，所以，即．

易得，，所以，则，

12.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，是较难题．

易得记，，令，利用导数得当时，，所以，当且仅当时，等号成立所以直线为与的图象在处的公切线时，才能使原不等式恒成立，利用导数的几何意义求解可得、的值．

【解答】

解：由，

可得．

记，，

令，，

则，

令，则恒成立，

所以在上单调递增且，

所以当时，，

所以，当且仅当时，等号成立．

又，，且，

所以直线为与的图象在处的公切线时，才能使原不等式恒成立，此时，，

故选BC．

13.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了不等式恒成立问题，属于基础题．

分、和三种情况，综合求解即可出结果．

【解答】

解：当时，不等式化为恒成立，符合题意

当时，若不等式对任意恒成立，

则，解得

当时，不等式不能对任意恒成立．

综上，的取值范围是．

14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了函数单调性、奇偶性的综合应用，属于基础题．

易得是偶函数，结合单调性求解即可．

【解答】

解：因为对任意的，，都有，，令，

则，又因为的定义域为，

所以是偶函数，

由，得，

又函数在上是增函数，

所以由得，解得，

故的解集为．

15.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了利用余弦定理解决高度问题，属于中档题．

过作垂直于，交于点设，则，，在中，由余弦定理求解得出，可得．

【解答】

解：过作垂直于，交于点．

因为，

设，则，由题可知，

则，，

在中，，

即，

化简可得，

所以负值已舍去，

则．

16.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了三角函数性质，是中档题．

易得再由三角函数性质和二次函数得出两边的取值范围，取等号即可．

【解答】

解：由，

可得．

因为，，

所以当且仅当，时，等式成立．

又因为，，所以，

故．

17.【答案】解：由题意，可得，，

则数列是以为首项，为公差的等差数列，

，

，．

证明：由得，

因此

，

而，所以．

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，利用递推关系式求通项，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．

由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；

把数列的通项公式代入，再由裂项相消法求数列的前项和可得结果．

18.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

由，可得，

，

，

由及，

得，

又，

．

故周长为

【解析】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．

运用正弦定理和诱导公式、两角和正弦公式，化简整理，即可得到所求角的余弦值；

运用余弦定理和面积公式，计算即可得到所求值．

19.【答案】解：设，，分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，表示购买的排球是合格品，

则，，，，，所

以

．

设小李到该市场批发个排球进行销售获得的纯利润为元，

依题意可得的可能取值为，，，，即，，，，

，

，

，

所以，

故小李到该市场批发个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为元．

【解析】本题考查全概率公式和离散型随机变量的数学期望

设，，分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，表示购买的排球是合格品，根据全概率公式进行求解；

依题意可得的可能取值为，，，，即，，，，求出对应的概率，即可求出数学期望。

20.【答案】证明：如图，取的中点，连接，．

底面是正方形，，，．

，，平面，平面．

又平面，．

解：由可知，二面角的平面角为，且为，

过点作垂直于直线，垂足为．

以为原点，，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，

则，，，，，

，，，，

设平面的法向量为，则

得取，则．

设，，

则，

设直线与平面所成的角为，

则，

，

令，则，

．

当时，，

当时，

，

当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．

所以直线与平面所成角的最大值为．

【解析】本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．

先证明平面，由线面垂直的性质即可得证；

建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，设，利用空间向量和函数的性质可得直线与平面所成角的最大值．

21.【答案】解：设，

因为点到直线的距离是它到点的距离的倍，

所以，

则，

整理得，

故曲线的方程为．

设，，联立方程组

整理得，

则，，

因为过点，所以

令，，，

则在上恒成立，

则，则

故面积的最大值为．

【解析】本题主要考查了利用直接法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的面积问题，属于中档题．

根据点到直线的距离是它到点的距离的倍，列出相应的等式方程，化简可得轨迹的方程；

由题意联立直线和椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形的面积，运用换元法和基本不等式求最值可得所求．

22.【答案】解：的定义域为，，令，得．

由，