椭圆的标准方程小练习 高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

.1.1椭圆的标准方程小练习(2)一、单项选择题1.若方程＋＝1表示椭圆C，则下列结论中正确的是()A.k∈(1，9)B.椭圆C的焦距为2eq\r(,2)C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5)D.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(5，9)2.已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝eq\f(2π,3)时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝13.已知F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是()A.eq\r(3) B.eq\r(3)＋1 C.eq\r(2) D.eq\r(2)＋14.已知椭圆＋＝1的左、右焦点是F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于()A.3∶5 B.5∶3 C.3∶4 D.4∶3二、多项选择题5.已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同，且a1＞a2.给出如下四个结论，其中正确的结论有()A.椭圆C1和椭圆C2没有公共点 B.－＝－C.> D.－<－6.椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是()A.(－3，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(－2，0)三、填空题7.已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，且PF1∶PF2＝1∶2，则cos∠F1PF2的值为________．8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．四、解答题9.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1≠PF2，求的值．10.已知在椭圆＋＝1中，P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°.(1)求△PF1F2的面积；(2)若将条件“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．参考答案一、单项选择题1.若方程＋＝1表示椭圆C，则下列结论中正确的是()A.k∈(1，9)B.椭圆C的焦距为2eq\r(,2)C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5)D.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(5，9)【解析】由方程表示椭圆可得9－k>0，k－1>0，且9－k≠k－1，解得k∈(1，5)∪(5，9)，故A错误；当焦点在x轴上时，9－k>k－1>0，解得k∈(1，5)，故D错误，C正确；当焦点在x轴上时，则c2＝9－k－(k－1)＝10－2k，当焦点在y轴上时，c2＝k－1－(9－k)＝2k－10，故B错误．故选C.2.已知F1(－3，0)，F2(3，0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝eq\f(2π,3)时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1【解析】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的交点重合．因为α＝时，△F1PF2的面积最大，所以a＝＝2eq\r(,3)，b＝eq\r(,3)，所以椭圆的标准方程为＋＝1．故选A.3.已知F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是()A.eq\r(3) B.eq\r(3)＋1 C.eq\r(2) D.eq\r(2)＋1【解析】由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2eq\r(2)，则＋＝，所以△PF1F2是以∠F2为直角的直角三角形，所以＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)．故选C.4.已知椭圆＋＝1的左、右焦点是F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于()A.3∶5 B.5∶3 C.3∶4 D.4∶3【解析】因为线段PF1的中点在y轴上，原点为F1F2的中点，所以y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则－＝4c2＝4×(16－12)＝16.又PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，所以PF1∶PF2＝5∶3．故选B.二、多项选择题5.已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同，且a1＞a2.给出如下四个结论，其中正确的结论有()A.椭圆C1和椭圆C2没有公共点 B.－＝－C.> D.－<－【解析】由已知条件可得－＝－，即－＝－.因为>，所以>，所以两椭圆无公共点，故A正确；B正确；若＝2，＝eq\r(,3)，＝eq\r(,2)，＝1，满足－＝－，但＝eq\r(,2)，＝eq\r(,3)，<，故C不正确；因为>>0，>>0，所以＋>＋>0.又由(＋)(－)＝(＋)(－)，可得－<－，故D正确．故选ABD.6.椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是()A.(－3，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(－2，0)【解析】记椭圆的两焦点为F1，F2，则PF1＋PF2＝2a＝10.m＝PF1·PF2≤＝25，当且仅当PF1＝PF2＝5，即点P位于椭圆与x轴的交点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－3，0)或(3，0)．故选AC.三、填空题7.已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，且PF1∶PF2＝1∶2，则cos∠F1PF2的值为________．【解析】由题意得a＝3，b＝eq\r(5)，则c＝2.因为P是椭圆上的一点，所以PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝1∶2，所以PF1＝2，PF2＝4.因为F1F2＝2c＝4，所以由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(22＋42－42,2×2×4)＝eq\f(1,4)．故答案为：eq\f(1,4)．8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】设PF1＝r1，PF2＝r2，则PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.由PF1⊥PF2，得＋＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(＋)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以△PF1F2的面积为＝eq\f(1,2)r1r2＝eq\f(1,2)×2b2＝b2.又因为△PF1F2的面积为9，所以b2＝9，解得b＝3(负值舍去)．故答案为：3．四、解答题9.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1≠PF2，求的值．【解析】由已知，得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2eq\r(5)．①若∠PF1F2为直角，则＋＝，即＋20＝(6－PF1)2，解得PF1＝eq\f(4,3)，PF2＝eq\f(14,3)，所以＝eq\f(2,7)；②若∠F1PF2为直角，则＝＋，即＋(6－PF1)2＝20，解得或所以＝eq\f(1,2)或＝2；③若∠PF2F1为直角，则＋＝，即(6－PF1)2＋20＝，解得PF1＝eq\f(14,3)，PF2＝eq\f(4,3)，所以＝eq\f(7,2)．综上所述，的值为eq\f(2,7)或eq\f(7,2)或eq\f(1,2)或2．10.已知在椭圆＋＝1中，P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°.(1)求△PF1F2的面积；(2)若将条件“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．【解析】(1)由＋＝1，得a＝2，b＝eq\r(,3)，则c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得＝＋－2PF1·F1F2·cos∠PF1F2，即＝＋4＋2PF1.①又PF1＋PF2＝2a＝4，②由①②联立，解得PF1＝e