《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第8章 第2课 常数项级数的审敛法

第课第课常数项级数的审敛法2常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法第课2PAGE2 PAGE2PAGE9 PAGE9常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法第课2

课题常数项级数的审敛法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握正项级数的定义及其审敛法（2）掌握交错级数的定义及其审敛法（3）掌握绝对收敛与条件收敛的定义及其判定方法思政育人目标：通过学习常数项级数的敛散性，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：正项级数的定义及其审敛法、交错级数的定义及其审敛法教学难点：绝对收敛与条件收敛的判定教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（20min）（10min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解正项级数的定义及其审敛法，并通过例题介绍其应用定义1如果级数的每一项，则该级数称为正项级数．显然，正项级数的部分和数列是递增数列，即．如果数列有上界，根据数列的单调有界准则可知部分和数列有极限，从而级数收敛．反之，若级数收敛，则有极限，故数列必有界．于是就得到了下面判定正项级数敛散性的基本定理．定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，且则有（1）若级数收敛，则级数收敛；（2）若级数发散，则级数发散．证明记，，由于，因此．（1）若级数收敛，其和记为，则

，即部分和数列有上界，由定理1，可知级数收敛．（2）是（1）的逆否命题，即（2）也成立．例1讨论级数的敛散性，其中常数．解当时，，因调和级数发散，由比较审敛法知，级数发散．当时，若时，则有，所以．对于级数，其部分和为，表明数列有界，由定理1可得原级数收敛．综上所述，当时，级数发散；当时，级数收敛．例2证明级数是发散的．证明因为，而级数是发散的，根据比较审敛法可知所给级数也是发散的．定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，如果，则有（1）当时，级数和级数同时收敛或同时发散；（2）当且收敛时，也收敛；（3）当且发散时，也发散．例3判别级数的收敛性．解因为，而级数发散，根据比较审敛法的极限形式知，级数发散．定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设为正项级数，如果，则有（1）当时，级数收敛；（2）当（或）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散．例4判断下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）．解（1）因为，根据比值审敛法可知所给级数收敛．（2）因为，根据比值审敛法可知所给级数发散．（3）因为，由于用比值审敛法无法判断其收敛性，因此改用比较审敛法进行判断，具体过程如下：因为，级数收敛，故级数收敛．*定理5（根值审敛法，柯西判别法）设是正项级数，如果它的一般项的次根极限等于，即，则有（1）当时，级数收敛；（2）当（或）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散．例5证明级数是收敛的．解因为，由根值审敛法可知所给级数收敛．例6判别级数的敛散性．解因为，由根值审敛法知所给级数收敛．【学生】掌握正项级数的定义及其审敛法学习正项级数的定义及其审敛法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（20min）【教师】讲解交错级数的定义及其审敛法，并通过例题讲解介绍其应用各项符号依次正负相间的常数项级数，或，称为交错级数．交错级数的一般形式为，其中．对于交错级数的敛散性，有以下判定法则．定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件：（1）；（2），则该级数收敛，且其和，其余项的绝对值．例7判断下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）．解（1）这是一个交错级数，且满足，，由莱布尼茨定理知，该级数是收敛的．（2）这是一个交错级数，且满足，，由莱布尼茨定理知，该级数是收敛的．（3）这是一个交错级数，且满足，，由莱布尼茨定理知，该级数是收敛的．例8判定级数的敛散性．解这是一个交错级数．先考虑通项中的取连续变量时的情形，记，有．当时，，即时，单调递减．从而当时，也单调递减，即成立．再由洛必达法则，可得，于是有，由莱布尼茨定理知，交错级数是收敛的．【学生】理解交错级数的定义及其审敛法【教师】讲解绝对收敛与条件收敛的定义，并通过例题介绍解其判定方法定义2设有一般常数项级数，取各项的绝对值构成级数．（1）若绝对值级数收敛，则称绝对收敛；（2）若原级数收敛，而发散，则称条件收敛．绝对收敛和收敛之间有如下关系．定理7（绝对收敛准则）如果级数绝对收敛，则级数必定收敛．证明由于，有．因为收敛，由正项级数的比较审敛法，可得也收敛．又，而级数和都收敛，由级数性质知，级数收敛．例9判断下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）；（2）；（3）．解由例7知以上级数都收敛．下面讨论它们是绝对收敛还是条件收敛．（1），而调和级数是发散的．因此是条件收敛．（2），利用比值审敛法可知是收敛的．因此是绝对收敛．（3），利用比值审敛法可知是收敛的．因此是绝对收敛．【学生】理解绝对收敛与条件收敛的定义，并掌握其判定方法学习交错级数的定义及其审敛法，绝对收敛与条件收敛的定义及其判定方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（10min）【教师】组织学生讨论以下问题1．适用比较审敛法或比值审敛法的正项级数各有什么特点？2．如果级数发散，我们能不能断定级数也发散？请举例说明．3．“一个级数要么绝对收敛，要么条件收敛”这句话对吗？【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了正项级数的定义及其审敛法，交错级数的概念及其审敛法，绝对收敛与条件收敛的定义及其判定，课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后