2021-2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高二上学期期中数学试题

20212022学年湖北省十堰市城区普高协作体高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线与直线，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两直线垂直其斜率的关系即求.【详解】由题得，∴.故选：B.2．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】C【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.【详解】圆的圆心为，半径为，可化为，圆的圆心为，半径为，圆心距,，所以两个圆的位置关系是相交.故选：C3．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．4．如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，设异面直线与所成角为，则，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.5．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断过圆的圆心，然后结合与直线垂直设出的方程，利用求得的方程.【详解】因为直线将圆平分，所以直线过圆心，因为直线与直线垂直，假设直线的方程为，将代入得：，所以直线的方程为.故选：C6．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（

）A．与互斥 B．与对立C． D．【答案】C【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件，然后计算概率．【详解】与不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件表示向上点数为之一，∴．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题．7．直线为常数）的倾斜角的取值范围是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得，可得倾斜角的范围.【详解】直线为常数）的斜率为，故直线的倾斜角满足．又，，，，或，，故选：D．8．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】首先根据题意得到曲线表示半圆，再结合图象即可得到直线与曲线有且仅有一个公共点时b的取值范围.【详解】将方程变形为．当直线与曲线相切时，满足，即，解得．由图可知，当或时，直线与曲线有且仅有一个公共点．故选：B.二、多选题9．（多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（

）A． B．3 C． D．1【答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于的方程，进而可求出实数的值.【详解】解：由题意得，解得或3.故选:AB.【点睛】本题考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题.10．已知向量，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则【答案】AC【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D选项错误.【详解】对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11．下列说法中，正确的有（

）A．直线y＝ax﹣3a+2（a∈R）必过定点（3，2）B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为2C．直线xy+1＝0的倾斜角为30°D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7【答案】ACD【解析】对A,化简方程令的系数为0求解即可.对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.对D,利用横坐标的差求解即可.【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.对B,在轴上的截距为.故B错误.对C,直线的斜率为,故倾斜角满足,即.故C正确.对D,因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了直线的基础知识点,属于基础题.12．圆和圆的交点为A，B，则有（

）A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为【答案】ABD【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD三、填空题13．已知，，则___________.【答案】6【分析】根据空间向量坐标表示的减法运算求出，再根据空间向量的模的坐标运算即可得出答案.【详解】解：因为，，所以，所以.故答案为：6.14．经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则此直线的方程______【答案】【分析】由已知条件写出斜率，按照点斜式写出方程即可.【详解】由直线知斜率为，倾斜角为，故要求的直线倾斜角为，斜率为，又过点，故直线方程为，化简得.故答案为：.15．过点的直线，截圆所得弦长为，则直线的方程为______．【答案】或【分析】根据题意，设出直线的方程，利用圆的弦长公式进行求解即可.【详解】当直线的斜率不存在时，则直线的方程为：，把代入圆的方程中，得，符合题意；当直线的斜率存在时，设为，所以直线方程设为：，设圆的圆心到该直线的距离为因为圆的半径为2，弦长为，所以由圆的垂径定理可知：，所以有，所以，故答案为：或16．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________【答案】【分析】设点的坐标为，点，结合已知条件用点的坐标表示出的坐标，再利用点与圆的关系，即可求解．【详解】解：设点的坐标为，点，为的中点，的坐标为，，解得，点满足，即，故点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，点的轨迹方程为：．故答案为：四、解答题17．直线过点且与直线平行.(1)求直线的方程；(2)求圆心在直线上且过点、的圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出直线方程，代入点计算即可；（2）利用条件求出圆心坐标，即可得到圆的方程.【详解】(1)因为直线与直线平行，则直线的方程可设为，又因为直线过点，所以，所以直线的方程为；(2)因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，又因为该圆过点、，所以有，解得，所以圆心坐标为，半径，故圆的方程为.18．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位：h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92.（1）求n的值.（2）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数精确到0.01).（3）如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.【答案】（1）200；（2）13.64；13.83；（3）.【分析】（1）先由频率分布直方图可知每一组的频率和为1，列方程求出的值，从而可得的频率，进而可求出n的值；（2）用每一组的中间值乘以其对应的频率，再把所得的积相加可得平均值，由频率分布直方图可知中位数在第3组，若设中位数为x，则，解方程可得中位数；（3）先利用分层抽样的方法计算出从和所选的人数，然后利用列举法列出从这5人中随机抽取2人的所有情况，进而可求出概率【详解】（1）由已知可得，.则，得.（2）这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值为：设中位数为x，则，得.（3）按照分层抽样的方法从内选取的人数为，从内选取的人数为.记二等奖的4人分别为，一等奖的1人为A，事件E为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”.从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，共10种，其中2人均是二等奖的情况有，，共6种，由古典概型的概率计算公式得.【点睛】此题考查由频率分布直方图求平均数和中位数，考查分层抽样，考查古典概型的概率计算，考查分析问题的能力，属于中档题19．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．(1)求证：D1F平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先求出平面A1EC1的法向量，再证明和法向量垂直即可；（2）直接按照线面角的向量求法求解即可.【详解】(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.，，设平面的法向量为，则，故可设.由于，所以平面.(2)直线与平面所成角为，，则.20．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.【详解】（1）依题，解得（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件，则；；.故.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.21．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝2.（1）证明：MB⊥平面ABCD；（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）由，平面平面，知平面，有，由勾股定理的逆定理及平行性质可证，再根据线面垂