20232024北师大八年级上册第四章一次函数知识梳理

第四章一次函数【函数知识梳理】①一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.②表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图像法【考点巩固】1.李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是

(

)

A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量2.声音在空气中传播的速度v(简称声速)与空气温度t的关系(如下表所示)，则下列说法错误的是(

)温度t/°C−20−100102030声速v/(m/s)318324330336342348A.温度越高，声速越快

B.在这个变化过程中，自变量是声速v，因变量是温度t

C.当空气温度为20℃，声速为342m/s

D.声速v与温度t之间的关系式为v=3.已知正方形的边长为4，如果边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数关系式为(

)A.y=x2+16 B.y=(x+4)2 4.对于圆的面积公式S=πR2，下列说法中正确的是

(

)A.π是自变量 B.R2是自变量 C.R是自变量 D.π5.下列说法中，正确的是(

)A.在球的体积公式V=43πr3中，V不是关于r的函数

B.若变量x，y满足y2=x，则y是关于x的函数

C.在圆锥的体积公式V=13πR2ℎ中，当ℎ=4cm，R=2cm时，V是关于π的函数6.下列式子中，能表示y是x的函数的是(

)A.y=±x B.|y|=x C.y=x2 7.下列图象不能表示y是x的函数的是(

)A.B.C. D.【变式】在平面直角坐标系中，下列各曲线中表示y是x的函数的是(

)A.B.C. D.8.函数y=x+2中，自变量x的取值范围是(

)A.x≥−2 B.x<−2 C.x≥0 D.x≠−2【变式】函数y=1x+3中，自变量x的取值范围是(

)A.x>−3 B.x<3 C.x≠−3 D.x≠39.函数y=x−2x−5的自变量x的取值范围是A.x≠5 B.x>2且x≠5 C.x≥2 D.x≥2且x≠5【变式】函数y=2x+11−x中自变量x的取值范围是______10.如图，根据流程图中的程序，当输出y=5时，输入x的值为(

)

A.7 B.−3 C.7或−3 D.7或−7【变式1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是−2，若输入x的值是−8，则输出y的值是

(

)

A.5 B.19 C.0 D.21【变式2】如图所示的程序图，当输入x=2时，输出的结果y=

．

【一次函数与正比例知识梳理】若两个变量x和y的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x【考点巩固】11.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？C=2πr，y=23x+200，t=200v，【变式1】下列函数：①y=πx；②y=2x−1；③y=1x；④y=2−1−3x；⑤y=A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【变式2】下列函数中，不是一次函数的是(

)A.y=x+4 B.y=25x C.y=2−3x12.若函数y=(k−4)x+5是一次函数，则k应满足的条件为(

)A.k>4 B.k<4 C.k=4 D.k≠4【变式1】若函数y=(m−1)xm2+3是一次函数，则mA.−1 B.1 C.0 D.−1或1【变式2】若函数y=(a−4)x|a|−3+2a+1是一次函数，则13.在一次函数y=kx+3(k≠0)中，当x=2时，y的值为5，则k的值为(

)A.1 B.−1 C.5 D.−5【变式1】已知一次函数y=kx+b(k≠0)，当x=1时，y=3;当x=0时，y=1.则当x=2时，y的值是(

)A.2 B.3 C.4 D.5【变式2】一次函数y=kx+b(k≠0)，当x=1时，y=1;当x=2时，y=−4.k与b的值为(

)A.k=3,b=−2 B.k=−3,b=4 C.k=−5,b=614.函数、一次函数和正比例函数之间的关系是(

)A.B.C. D.15.下列函数中，y随x的增大而减小的函数是(

)A.y=2x+8 B.y=−2+4x C.y=−2x+8 D.y=4x【变式1】一次函数y=−3x+1的图象过点(x1,y1)，A.y1<y2<y3 B.y【变式2】已知一次函数y=kx+b，当x减少3时，y增加2，则k的值是_________．16.如图，直线y=2x必过的点是(

)A.(2,1)B.(2,2)C.(−1,−1)D.(0,0)【变式】下列各点中，在直线y=−2x+1上的点是(

)A.(1,−1) B.(−1,1) C.(2,3) D.(−2,−3)

17.函数y=kx−k(k<0)的图象是(

)A.B.C. D.【变式1】已知一次函数y=(k−3)x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是______．【变式2】如图，一次函数y=kx+b与y=bx+k在同一坐标系中的图像大致是(

)A.B.C.D.18.将直线y=5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为(

)A.y=5x−2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x−2)【变式】一次函数y=2x−1的图象向上平移2个单位后，对应函数关系是(

)A.y=2x B.y=2x+2 C.y=2x+1 D.y=2x−319.关于一次函数y=−2x+b(b为常数)，下列说法正确的是(

)A.y随x的增大而增大B.当b=0时，图象过原点

C.图象一定过第一、二象限D.与直线y=3−2x相交于第四象限内一点【变式】已知一次函数y=kx+b(k≠0)中，自变量x与函数值y的几组对应值如下表，根据表中数据判断，下列说法正确的是(

)x…−2−1123…y…−8−1132027…该函数的表达式为y=6x+7B.点(0,6)不在该函数的图象上

C.该函数图象经过第一、二、三象限D.该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为720.已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x−2成正比例.当x=1时，y=0;当x=−3时，y=4，则当x=3时，【变式】已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2．

(1)求y与x的函数关系式；(2)求当x=−1时的函数值．

21.已知一次函数y=kx+b的图象经过点0,1和1,−2．

(1)求函数的解析式；

(2)求直线y=kx+b上到x轴距离为7的点的坐标．

【变式1】已知一次函数的图像经过A(−2,−3)，B(1,3)两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点P(−1,1)是否在这个一次函数的图像上；(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．

22题图21题【变式2】图【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象经过A(−2,−2)，B(1,4)两点，则△AOB的面积为________．

22题图21题【变式2】图22.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−34x+3分别交x、y轴于点B、A.点C是直线AB上不同于点B的点，且CA=AB.则点C的坐标______

【变式1】如图，已知A(3,1)，B(−2,3)，线段AB与y轴相交于点C．(1)求△AOB的面积；(2)求点C的坐标；(3)请直接写出直线AB与x轴的交点坐标．

【变式2】如图，已知点A(6,0)、点B(0,2)．

(1)求直线AB所对应的函数表达式；

(2)若C为直线AB上一动点，当△OBC的面积为3时，试求点C的坐标．23.已知一次函数y=−2x−2．

(1)根据关系式画出函数的图象．

(2)求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，

(3)求A、B两点间的距离．

(4)在坐标轴上有点C，使得AB=AC，写出C的坐标．24.如图，直线l1的表达式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．

(1)求点D的坐标；

(2)求直线l2的表达式；

(3)点P是x轴上的一个动点，当【变式】如图，在平面直角坐标系中，过点C(0,6)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2)，动点M在线段OA和射线AB上运动．求：(1)直线AB的解析式．(2)求ΔOAB的面积．(3)当ΔOMB的面积是ΔOAB的面积的12时，求出这时点M的坐标．

25.如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题：(1)请将下表补充完整：

(2)整齐叠放在桌面上碗的高度y(cm)与碗的数量x(个)之间的函数表达式为

;当碗的数量为10个时，碗的高度是

cm．(3)若这摞碗的高度为20.8cm，求这摞碗的数量．

26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，动点P在CA上从点C向终点A匀速运动，同时，动点Q在AB上从点A向终点B匀速运动，它们同时到达终点.设CP=x，BQ=y，则y关于x的函数表达式是______．27.如图，已知A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离(千米)与甲所用时间(分)之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为______．28.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系．小雨家去年用水量为15029.某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

30.某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：运输方式运输速度(km/ℎ)装卸费用(元)途中综合费用(元/ℎ)汽车60200270火车100410240(1)请分别写出汽车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(km)之间的函数关系；

(2)你能说出哪种运输方式省钱吗？

31.某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费.年用天然气量310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出310立方米为第二档.某户应交天然气费y(元)与年用天然气量x(立方米)的关系如图所示，观察图象并回答下列问题：

(1)年用天然气量不超过310立方米时，求y关于x的函数解析式(不写定义域)；

(2)小明家2021年一年天然气费为1227元，求小明家202132.甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠20%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x(x>1)件，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．

(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式；

(2)当所买商品为5件