2023-2024学年苏教版必修第二册 13-1-1　棱柱、棱锥和棱台 学案VIP

13.1基本立体图形13.1.1棱柱、棱锥和棱台新课程标准解读核心素养利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构数学抽象、直观想象观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.问题你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？

知识点一棱柱的结构特征类别定义图形及表示相关概念分类棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF95-A'B'C'D'E'F'底面：平移起止位置的两个面；侧面：多边形的边平移所形成的面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等.下面多面体中，是棱柱的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：D根据棱柱的结构特征进行判定知，这3个图都满足.故选D.知识点二棱锥的结构特征类别定义图形及表示相关概念分类棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥如图可记作：棱锥S-ABCD底面：多边形面；侧面：有一个公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：由棱柱的一个底面收缩而成按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥.下面图形中，为棱锥的是（）A.①③B.①③④C.①②④D.①②解析：C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.知识点三棱台的结构特征类别定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D'上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……提醒（1）棱柱、棱锥、棱台的关系：在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系：注意：①正方体也叫作正六面体；②四棱柱一定是六面体，但六面体不一定是四棱柱.棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点.下列几何体是棱台的是（）解析：DA、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A、C不满足题意.B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意.D符合棱台的定义.知识点四多面体定义由若干个平面多边形围成的空间图形图形相关概念面：围成多面体的各个平面多边形；棱：相邻两个面的交线；顶点：棱与棱的公共点分类按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面体……提醒凸多面体的定义：把一个多面体的任意一面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫作凸多面体.棱柱、棱锥、棱台都是简单的凸多面体.题型一棱柱的结构特征【例1】（1）下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是.

（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.（1）答案③④（2）解①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.通性通法判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征：（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.提醒以上三个本质特征缺一不可.下列命题中正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形解析：D由棱柱的定义知D正确.题型二棱锥、棱台的结构特征【例2】有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，故①错误；棱台的侧棱必交于一点，故②③错，④正确，故选B.答案B通性通法判断棱锥、棱台的方法（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法.（2）直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是.

解析：棱台的侧棱必交于一点，故侧面一定不是平行四边形，由四个平面围成的封闭图形是四面体（三棱锥），故①②正确.答案：①②题型三棱柱、棱台、棱锥的画法【例3】画一个三棱柱和四棱台.解（1）画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.（2）画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）.通性通法棱柱、棱锥、棱台的画法步骤（1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次连接这些线段的另一个端点.（2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点.（3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去.提醒在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得空间图形更加富有立体感.画一个四面体（三棱锥）.解：画四面体可分以下两步完成：第一步，画底面——画一个△ABC；第二步，画侧棱——在底面上方任取一点P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）.1.（多选）下列四个命题中错误的是（）A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱解析：ABCA中棱柱的底面可以是任意平面多边形，A错误；B中棱锥的底面可以是任意平面多边形，B错误；C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的部分都是棱锥，C错误；D中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱，D正确.故选A、B、C.2.下列说法错误的是（）A.多面体至少有六条棱B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析：D由棱柱的定义知D不正确.3.下列几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台B.②不是棱柱C.③是棱锥D.④不是棱柱解析：C①不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；②是棱柱；③是棱锥；④是棱柱.故选C.4.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为（）A.20