【数学】2023-2024学年高一上人教A版（2019）必修第一册 同角三角函数的基本关系

第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.素养要求通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究1互动合作研析题型关键能力提升2拓展延伸分层精练核心素养达成3内容索引CONTENTS问题导学预习教材必备知识探究WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU一、同角三角函数的基本关系1.问题计算下列式子的值：(1)sin20°＋cos20°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin260°＋cos260°.由此你能得出什么结论？提示3个式子的值均为1.猜想：设任意角α，有sin2α＋cos2α＝1.3.填空(1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝____.1语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的______.(2)同角三角函数基本关系的变形①sin2α＝________________；cos2α＝________________.②sinα＝______________________；cosα＝正切1－cos2α1－sin2αcosαtanα温馨提醒注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.×4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.√××B二、sinα±cosα，sinαcosα之间的关系1.问题利用sin2α＋cos2α＝1，你能否发现(sinα＋cosα)2与sinαcosα的关系？能否用sinαcosα表示sinα－cosα？

提示

(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2.解析左边＝1＋2sinαcosα＋1－2sinαcosα＝2.2.填空(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________.2CHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2题型一基本关系的简单应用∴α是第二或第三象限角.(1)当α是第二象限角时，则(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解思维升华(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.例2已知tanα＝3，求下列各式的值：题型二三角函数式的求值角度1弦切互化求值函关于sinα，cosα的齐次式的求值方法(1)关于sinα，cosα的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值.(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为“1”，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式.数思维升华角度2

sinα±cosα型求值问题由上知，θ为第二象限角，所以sinθ－cosθ>0，1.已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.2.涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.

上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.思维升华∴sinα－3cosα＝－sinα－cosα，则sinα＝cosα.因此sin2α＋sinαcosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.∴tanα＝1.题型三三角函数式的化简与证明角度1化简三角函数式1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.思维升华角度2三角恒等式的证明所以原等式成立.1.证明三角恒等式的常用方法：(1)由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数(式).(2)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式.(3)比较法，证明待证等式的左、右两边之差为0.2.证明三角恒等式关键在于消除差异，有目的的化简.思维升华所以原等式成立.所以原等式成立.课堂小结拓展延伸分层精练核心素养达成1第章TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENGACA.锐角三角形

B.钝角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形B由α是三角形的内角，知sinα>0，∴cosα<0，则α为钝角，△ABC为钝角三角形.4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(

)C解析原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.AB则tanα＝2.21109.已知tanα＝2，求下列代数式的值：所以原等式成立.B(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？则有sin4α－cos4α＝1；sin2α－cos