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文档简介
第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.素养要求通过同角三角函数式的应用,重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究1互动合作研析题型关键能力提升2拓展延伸分层精练核心素养达成3内容索引CONTENTS问题导学预习教材必备知识探究WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU一、同角三角函数的基本关系1.问题计算下列式子的值:(1)sin20°+cos20°;(2)sin245°+cos245°;(3)sin260°+cos260°.由此你能得出什么结论?提示3个式子的值均为1.猜想:设任意角α,有sin2α+cos2α=1.3.填空(1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:sin2α+cos2α=____.1语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的______.(2)同角三角函数基本关系的变形①sin2α=________________;cos2α=________________.②sinα=______________________;cosα=正切1-cos2α1-sin2αcosαtanα温馨提醒注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.×4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.√××B二、sinα±cosα,sinαcosα之间的关系1.问题利用sin2α+cos2α=1,你能否发现(sinα+cosα)2与sinαcosα的关系?能否用sinαcosα表示sinα-cosα?
提示
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,1-2sinαcosα=(sinα-cosα)2.解析左边=1+2sinαcosα+1-2sinαcosα=2.2.填空(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=________.2CHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2题型一基本关系的简单应用∴α是第二或第三象限角.(1)当α是第二象限角时,则(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解思维升华(2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解.例2已知tanα=3,求下列各式的值:题型二三角函数式的求值角度1弦切互化求值函关于sinα,cosα的齐次式的求值方法(1)关于sinα,cosα的齐次式,可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值.(2)假如代数式中不含分母,可以视分母为“1”,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tanα的代数式.数思维升华角度2
sinα±cosα型求值问题由上知,θ为第二象限角,所以sinθ-cosθ>0,1.已知sinα±cosα,sinαcosα求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.2.涉及的三角恒等式有: (1)(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ; (2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ; (3)(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2; (4)(sinθ-cosθ)2=(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ.
上述三角恒等式告诉我们,已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.思维升华∴sinα-3cosα=-sinα-cosα,则sinα=cosα.因此sin2α+sinαcosα+1=sin2α+cos2α+1=2.∴tanα=1.题型三三角函数式的化简与证明角度1化简三角函数式1.化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.2.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.思维升华角度2三角恒等式的证明所以原等式成立.1.证明三角恒等式的常用方法:(1)由繁到简,从结构复杂的一边入手,经过适当的变形、配凑,向结构简单的一边化简,或从等式两边同时入手,使它们等于同一个数(式).(2)从已知或已证的恒等式出发,根据定理、公式进行恒等变形,推导出求证的恒等式.(3)比较法,证明待证等式的左、右两边之差为0.2.证明三角恒等式关键在于消除差异,有目的的化简.思维升华所以原等式成立.所以原等式成立.课堂小结拓展延伸分层精练核心素养达成1第章TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENGACA.锐角三角形
B.钝角三角形C.等边三角形
D.等腰直角三角形B由α是三角形的内角,知sinα>0,∴cosα<0,则α为钝角,△ABC为钝角三角形.4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(
)C解析原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.AB则tanα=2.21109.已知tanα=2,求下列代数式的值:所以原等式成立.B(2)任取一个α的值,分别计算sin4α-cos4α,sin2α-cos2α,你又有什么发现?则有sin4α-cos4α=1;sin2α-cos
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