MM定理的严格推导

MM定理的严格推导一基本模型未确定现金流的资本化率假设公司只进行股权融资。假设1：公司拥有的实物资产会带来一系列现金流（即收益），现金流是随机变量，不同个体对各现金流的预期期望值相同。假设2该假设过于严格，它保证了任何情况下MM定理的成立。该假设可放宽，比如，如果人们的投资决策只与投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。：某一公司的股票收益与同一类别（这应该就是类别的定义吧）的另一公司的股票收益的比值为常数。也就是说，对同一类别的公司，该假设过于严格，它保证了任何情况下MM定理的成立。该假设可放宽，比如，如果人们的投资决策只与投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。在上述假设下，每一类别的公司股票收益与其股价的比值的期望为常数。即，或其中，是第k类公司中、公司j的股价，是其股票收益的期望，为常数。 具有三个含义：式(2)表示是1单位股份的期望收益。式(1)中，令，则，表示是为获得1单位收益所支付的成本。从终身年金的角度考虑，式(1)表示是未确定现金流的贴现率，即未确定现金流的资本化率。债务融资和其对股价的影响可发债情况下，债务比例越高，公司的破产风险越大，股价波动也越大。公司有不同的“杠杠”，因此同一类别的公司的股票不是完全替代了，高杠杆公司的股票应该要求更高的收益率。假设1：所有债券在单位时间内有确定的现金流。假设2：债券市场完全竞争。即所有债券的收益与价格的比值相同，且是确定的。命题：在类别k中，设公司j的息前收益的期望为，公司债务的市场价值为，公司普通股的市场价值为，公司价值为，则表述1对在类别k下的任一公司j，有即：同一类别下的各公司价值与资本结构无关，仅取决于公司的期望收益和无杠杠公司的资本化率。同一类别所有公司的价值都是其期望收益的常数倍。表述2对在类别k下的任一公司j，有即：同一类别下各公司的平均资本成本与资本结构无关，且等于无杠杆公司的资本化率。证明：考虑同一类别下的两个公司。公司1全部用股权融资，公司2有杠杠。设两家公司的息前收益为，根据前面的假设，为常数。考虑如下两种资产组合：组合1：用1元钱买公司2的股票。组合2：用1元钱+借入的买公司1的股票。组合1的收益为，组合2的收益为。组合1-组合2构成的新组合的成本为0，收益为，得 又，，代入上式得。 证毕。命题：记为第k类别公司j的普通股收益率，为相应的资本化率，则即：股票的期望收益率等于相应的资本化率+杠杠化的风险溢价证明：该命题是命题的推论。由命题，，即，化简即得。证毕。可以发现是加权平均资本成本，即。还是每股份额的期望收益率，即。证明该式只需将代入命题。一些评论和MM定理的数学解释可以发现在推导命题1和2时，资本化率扮演了一个非常重要的角色，公司的价值由其期望收益和资本化率完全决定，与其资本结构无关。事实上，资本化率是风险中性测度下的贴现率，它将具有不同风险的现金流贴现到现期，从而得到公司价值。有税情况下的MM定理本质与无税情况相同，这里不再讨论。MM定理是无套利定价方法的一个特例。我们可以将不同资本结构的公司股权看成金融资产。由于MM定理只考虑了同一类别下不同资本结构公司的市场价值，这其实是假设了现实中其他金融资产与公司股权不相关，没有作为无套利定价的参考变量。那么，在这问题中所有的金融资产即为：不同资本结构的公司股票和无风险债券。仅利用这些金融工具，我们要考虑的问题就是：公司的股票价值要满足什么条件，才能保证无套利？这相当于给金融衍生品定价，标的资产就是公司的收益。而衍生品定价的无套利方法非常直观明白易懂。这个问题比MM定理更简单明了，而且解决起来很简单，也更容易推广。下面具体来解决问题。下面讨论的所有公司都处于同一类别。设公司j发行一份合约，该合约给持有人的收益为公司的净利润，即资本收益-债券利息，则该合约是一份衍生品（MM定理貌似没有考虑破产风险，这个合约不是看涨期权，即在资本收益小于债券利息的情况下持有人要蒙受损失），标的资产为公司的资本收益，其价格为公司股权价值，设债权价值为，无风险收益率为r，公司的资本收益为。如何给该合约定价是我们要考虑的问题。由于公司的资本收益具有完全相关性，这里只需要两个不同的公司即可构造无风险组合。对任意公司，每期末合约的收益为，。设，消去波动性，购买1份公司i的合约，卖出份公司j的合约，则每期末收益为其成本为这是一个无风险组合，具有无风险收益率，则，即成本=收益的现值。MM定理构造了每期的无套利组合，这里构造了整个时期的无套利组合。（3）MM定理构造了每期的无套利组合，这里构造了整个时期的无套利组合。若i公司为无杠杠公司，则又代入（3）式即得实际上，由（3）式可直接得出公司价值与资本结构无关。化简（3）式得即公司价值只与资本收益的均值相关，与资本结构无关。对的进一步解释既然公司的价值只与资本收益有关，则不只是表示了无杠杠公司的资本报酬率，实际上它是对公司价值和资本收益的关系的一种测度。对于任意公司，以该公司的资本收益除以公司价值，该值就是，然后可以用去计算同一类别的其他公司的价值。实际上是该类别的特征价格。经过上面的讨论，有如下结论：(1)公司的价值只取决于两个因素