高中不等式讲义及例题

不等式一、知识体系：二、基础知识点：1.不等式的基本性质及推论：(1)如果，那么，如果，那么．(对称性)即：；。(2)如果，且，那么．(传递性)即，。(3)如果，那么．即。(4)如果，且，那么．(相加法则)即，(5)如果，且，那么；如果，且，那么(6)如果．(相乘法则)(7)若(8)若2．不等式的证明：（1）几个重要的不等式：设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．均值不等式定理：若，，则，即．常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．极值定理：设、都为正数，则有=1\*GB3①若（和为定值），则当时，积取得最大值．=2\*GB3②若（积为定值），则当时，和取得最小值．（2）不等式的证明方法：=1\*GB3①比较法：作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小。=2\*GB3②综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立的证明方法。逻辑关系是：思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。=3\*GB3③分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。逻辑关系是：思维特点：执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。=4\*GB3④反证法：正难则反。先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题或定理、公理、定义)矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立。=5\*GB3⑤放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小来证明不等式成立。常用的放缩方法有：添加或舍去一些项，如：；；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如：；；利用常用结论：；；（程度大）；（程度小）=6\*GB3⑥换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.=7\*GB3⑦构造法：过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；=8\*GB3⑧数学归纳法：数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．3．不等式的求解：（1）一元二次不等式的解法：先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间；或者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集。（2）分式不等式的解法：主要是转化为，再用数轴标根法求解。（3）高次不等式的解法：主要利用数轴标根法进行求解。（4）绝对值不等式的求解：；（5）根式不等式、指数不等式、对数不等式的求解：利用根式、指数函数、对数函数的定义及性质将其转化为普通的不等式（组）进行求解。（6）含参不等式的求解：具体问题具体分析，基本模型依然是前面几种不等式，灵活利用前面的方法。4．不等式的综合应用。不等式比较灵活，可以和数学的很多知识相结合考察，如集合、函数、数列等等。在面对这样的综合性比较强的习题时，利用基本的概念和定理，熟练利用基本技巧，不断的分析，将其转化成一个一个小的习题来求解，是一般的求解思路。【例题】已知，求证。【例二】已知a、b，比较与的大小。【例三】若【例四】已知，，，，。（1）通过某种“试验”，你能很快地猜测出A、B、C、D的大小关系吗？（2）证明你的“猜测”。【例五】已知，求证.【例六】已知a<b<0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【例七】下列命题中正确命题的个数是（）①；②；③；④。A．1 B．2 C．3 D．【例八】若（）A． B．C． D．【例九】设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【例十】若，则为何值时有最小值，最小值为多少？【例十一】若0<a<b，且a+b＝1，则a，b，，2ab，a2+b2从小到大的顺序是_______。【例十二】已知，则的取值范围是；【例十三】已知都是正数，求证：①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值。【例十四】已知，且，则的最小值是【例十五】已知：a，b是正常数，x，y∈R*，且a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．【例十六】已知a,b都是正数，并且ab，求证：【例十七】设a,bR+，求证：【例十八】已知，求证：【例十九】已知x、y均为正数，设M=,N=,试比较M和N的大小【例二十】已知a，b∈R，且a+b=1.求证：【例二十一】若a,b,c,dR+，求证：【例二十二】求证：。【例二十三】若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2。【例二十四】设0<a,b,c<2，求证：，不可能同时大于1。【例二十五】已知,求证-(a。【二十六】解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1【例二十七】解关于x的不等式。【例二十八】设函数f(x)，求使f(x)≥的x取值范围．【例二十九】k为何值时，